1、高考数学冲刺系列讲座高考数学冲刺系列讲座 解析几何解析几何 一一.考点透视考点透视 1 高考命题特点：高考命题特点： 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分 左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择 题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点 考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直 线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课 时强化. 高考预测高考预测
2、 1求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参 数法等） 。 2掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。 3解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带。 直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的 全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有： （1）直线方程； （2）圆锥曲线的标准方程； （3）圆锥曲线的几何性质； （4）直线与圆锥曲线的位置关系； （5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关 系问题是高考解析几何问题的热中之热。 二二.考点聚焦考点聚焦 &nbs
3、p;直线与圆的位置关系考点透析直线与圆的位置关系考点透析 【考点聚焦】【考点聚焦】 考点 1：直线的倾角与斜率的概念； 考点 2：直线平行与垂直的条件； 考点 3：直线与圆的位置关系（特征三角形） 。 .1 考查直线与园相关的基本概念 _ 4y 2 1 x0 2 1 1 2 2 的轨迹方程为，则点于交 的垂直平分线上一动点，线段：是园，已知例 PPBF ABFBA 解析:本题主要考查椭圆的定义和基本图形的结构，利用椭圆的 定义即可求解 值范围是，则直线的倾斜角的取的距离为 直线上至少有三个不同点到湖南卷）若园（例 220: 01044072 22 byax
4、l yxyx 2 0 36 . 12 5 12 . 4 , 12 . ， ， ， DCBA 2 22 22 232201044yxyxyx整理为解析：园 圆心坐标为(2，2)，23半径为 要求圆上至少有三个不同的点到直线220:的距离为byaxl 则圆心到直线的距离应小于等于，2 0142 22 2 22 b a b a ba ba b a k b a , 3232 , 3232k 直线l的倾斜角的取值范围是 12 5 12 ， ，选 B. _ 0632:3. 3 的倾斜角的取值范围是则直线 的交点位于第一象限，与直线若直线例 l yxlkxy 解析：解析：
5、如图所示 2x+3y-6=0 在第一象限部分的点 与定点 C3, 0 的连线的倾斜角的变化范围即为所求. 故倾斜角的取值范围是 22 ACB 2662 故又ACB 例 4 （辽宁卷）若直线 2x-y+c=0 按向量5) 1, 1 ( 22 yxa平移后与园相切，则 c 的值 x=1 1 O 5 3 4 2 1 6 y 3x+5y-30=0 x-3y+4=0 x 2x-y=0 5423 0: 2 C A l l 6 l B 1 为（ A ） A8 或2 B6 或4 C4 或6 D2 或8 的最小值的最大值、，求如果实数满足例yx2 x y 3y2x. 5 2 2 的最大值连线的斜率 上一点到原点
6、的问题可转化为求园解析： x y k yx 321 2 2 作切线，点向园由图形性质可知，由原32 2 2 yx 的最大值即为其中切线斜率的最大值 x y 设过原点的直线为 y=kx,即 kx-y=0, 33, 3 1 02 2 kk k k 或解得 由 max 3 y x 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 32,2 2 2 yxyx满足 23cos 3sin x y 242 3cos3sin415sinxy min2
7、415xy 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 线性规划问题线性规划问题 例例 6 6、已知 x、y 满足约束条件 x1， x-3y -4， 3x+5y 30， 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. 解：解：根据 x、y 满足的约束条件作出可行域， 即如图所示的阴影部分（包括边界）. 作直线 0 l：2x-y=0，再作一组平行于 0 l的直线l： 2x-y=t，tR R. 可知，当l在 0 l的右下方
8、时，直线l上的点（x，y）满足 2x-y0，即 t0，而且直线l 往右平移时，t 随之增大.当直线l平移至 1 l的位置时，直线经过可行域上的点 B，此时 所对应的 t 最大；当l在 0 l的左上方时，直线l上的点（x，y）满足 2x-y0，即 t0， 而且直线l往左平移时，t 随之减小.当直线l平移至 2 l的位置时，直线经过可行域上的 点 C，此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0， 由 解得点 B 的坐标为（5，3） ； 2 1 -3 -2-1 -2 -1 1 o y x O B 3x+5y-30=0，
9、 x=1， 由 解得点 C 的坐标为（1， 5 27 ）. 3x+5y-30=0， 所以， 最大值 z=25-3=7； 最小值 z=21- 5 27 = 5 17 . 例例 7 7 某人承揽一项业务：需做文字标牌 2 个，绘画标牌 3 个。现有两种规格的 原料，甲种规格每张 3 2 m,可做文字标牌 1 个、绘画标牌 2 个；乙种规格每张 2 2 m,可做 文字标牌2 个、 绘画标牌 1 个 求这两种规格的原料用多少张才能使总的用料面积最小？ 讲解讲解 设用甲种规格原料 x 张，乙种规格原料 y 张，则可做文字标牌 x+2y
10、 个，绘 画标牌 2x+y 个由题意可得 NyNx yx yx , 32 22 ， 所用原材料的总面积 z=3x+2y，作出可行域如图示阴 影部分内的整点，023: 0 yx作直线， )(23: 0 Rttyxl平行的直线作一组与直线 当直线通过 2x+y=3 与直线 x+2y=2 的交点 3 14 t) 3 1 , 3 4 (取得最小值时，A 不是整点，因为) 3 1 , 3 4 (A 3 2 4, 3 1 , 3 4 zyx时所以它不是最优解。当 时，可知当Nyx,代入约束条件，则令 2 35 , 523, 5 x yyxz 1, 2 3
11、 1xx所以可得， 即经过可行域内的整点， 点 B （1， 1） 满足 3x+2y=5， 使 t 最小， 所以最优解为 B （1， 1） 故用甲种规格的原料 1 张，乙种规格的原料 1 张，能使总的用料面积最小，其最小 值是 5 2 m 点评点评 求整点最优解时，可先转化为普通线性规划求解若所求得的最优解不是整 点时，再借助不定方程的知识调整最优值，最后求出整点最优解因为在考试时，常需 要作出一些图形，而要解决作图的准确性问题，就必须抓住图形中的一些关键点和图形 的变化趋势只有抓住了局部的关键点，也就带动了整体的图形状态 【问题问题 1】直线的方程与平行、垂直条件直线的方程与平行、
12、垂直条件 例例 8.自点 A(-3,3)发出的光线l射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 22 4470xyxy相切,求光线l所在的直线方程 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 解:由已知可得圆 C： 22 221xy关于 x 轴对 A C' C 3 2 1 -3-2-1321 o y x 称的圆 C 的方程为 22 221xy，其圆心 C （2，-2） ，则l与圆 C相切， 设l: y-3=
13、k(x+3), 2 55 1 1 k k ， 3 4 4 3 , 0122512 2 kkkk或解得整理得 3 3 4 33 4 3 3xyxy或所以所求直线方程为 即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 【问题问题 2】圆的方程】圆的方程 例例 9.一个圆和已知圆 22 20xyx外切,并与直线l:30xy相切于点 M（3,3）, 求该圆的方程 新疆新疆 源头学
14、子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 已知圆方程化为: 22 (1)1xy,其圆心 P（1,0）,半径为 1 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 设所求圆的圆心为 C（a,b）, 则半径为 2 2 33ab , 因为两圆外切,331 2 2 baPC &
15、nbsp;从而 2 2 2 2 3311baba ,3, 303:Mxxl相切与又所求园与直线 1, lCM kklCM 直线 即于是343, 1 3 3 3 1 ab a b 将（2）代入（1）化简,得, 04 2 aa a=0 或 a=4 363434b0a 2 2 yx，所求园方程为时，当 440b4a 2 2 yx，所求园方程为时，当 【问题问题 3】直线与圆的位置关系】直线与圆的位置关系 例例 10(陕西卷陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 的值为相切，则且与园a2 22 yx A. 2 B.2
16、; B.2 2 D.4 解析：解析：设直线过点(0，a)，其斜率为 1， 且与圆 x2+y2=2 相切， 设直线方程为yxa，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2， | 2 2 a ， a 的值 2，选 B 例例 11 （湖北卷） （湖北卷）已知直线5120xya与圆 22 20xxy相切， 则a的值为 。 解：圆的方程可化为 22 (1)1xy，所以圆心坐标为（1，0） ，半径为 1， 由已知可得 |5| 1|5| 13 13 a a ，所以 a 的值为18 或 8。 圆锥曲线考点透析圆锥曲线考点
17、透析 【考点聚焦】【考点聚焦】 考点 1：圆锥曲线的定义与标准方程的求法； 考点 2：离心率与准线方程； 【典型考例】【典型考例】 【问题【问题 1】求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等】求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等 例例 1 1 （福建卷） （福建卷）已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x (a0,bb0),其半焦距 c=6 2222 12 2112126 5aPFPF3 5a ,b 2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为 22 1 459 xy （2）点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点
18、P ，(2，5)、F 1 ，(0，-6)、 F2 ，(0，6). 设所求双曲线的标准方程为 22 11 22 11 1(0,0) xy ab ab 由题意知，半焦距 c1=6 2222 112 2112124 5aP FP F 1 2 5a ,b1 2=c 1 2-a 1 2=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 22 1 2016 xy 7 （全国卷（全国卷 I I）在平面直角坐标系xOy中，有一个以 1 0,3F和 2 0, 3F为焦点、离 心率为 3 2 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切 线与xy、轴的交点分别为 A、B，且向
19、量OMOA OB。求： （）点 M 的轨迹方程； （）OM的最小值。 .解解: 椭圆方程可写为: y2 a2 + x2 b2 =1 式中 ab0 , 且 a 2b2 =3 3 a = 3 2 得 a2=4,b2=1,所以曲 线 C 的方程为: x2+ y2 4 =1 (x0,y0). y=21x2 (02) ()| OM 2= x2+y2, y2= 4 1 1 x2 =4+ 4 x21 , OM 2= x21+ 4 x21+54+5=9.且当 x 21= 4 x21 ,即 x= 31 时,上式取等号. 故OM的最小值为 3. 8(
20、上海卷上海卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线 2 y2x相交于 A、B 两点 （1）求证： “如果直线l过点 T（3，0） ，那么 OA OB3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 解解（1）设过点 T(3,0)的直线l交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为 x=3,此时,直线l与抛物线相交于点 A(3,6)、B(3,6). OBOA=3； 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为(3)yk x，其中0k， 由 2 2 (3) yx yk x 得 2 12 26
21、06kyyky y 又 22 1122 11 , 22 xyxy， 2 12121212 1( )3 4 OA OBx xy yy yy y， 综上所述，命题“如果直线l过点 T(3,0)，那么OBOA=3”是真命题； (2)逆命题逆命题是：设直线l交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果OBOA=3,那么该直线过 点 T(3,0).该命题是假命题假命题. 例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B( 2 1 ,1)，此时OA OB=3,直线 AB 的方程为： 2( 1) 3 yx，而 T(3,0)不在直线 AB 上； 说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2)
22、 满足OBOA=3，可得 y1y2=6， 或 y1y2=2，如果 y1y2=6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2，可证得直线 AB 过 点(1,0),而不过点(3,0). 9 （全国 （全国 II）已知抛物线）已知抛物线 x24y 的焦点为的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且是抛物线上的两动点，且AF FB （0） 过） 过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为两点分别作抛物线的切线，设其交点为 （）证明（）证明FM AB为定值； 为定值； （）设（）设ABM 的面积为的面积为 S，写出，写出 Sf()的表达式，并求的表达式，并求 S 的最小值的最
23、小值 解：解：()由已知条件，得 F(0，1)，0设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由AF FB， 即得 (x1，1y)(x2，y21)， x 1x2 1y1(y21) 将式两边平方并把 y11 4x1 2，y21 4x2 2 代入得 y12y2 解、式得 y1，y21 ，且有 x1x2x2 24y24， 抛物线方程为 y1 4x 2，求导得 y1 2x 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y1 2x1(xx1)y1，y 1 2x2(xx2)y2，即 y 1 2x1x 1 4x1 2，y1 2x2x 1 4x2 2 解出两条切线的交点 M
24、 的坐标为(x1x2 2 ，x1x2 4 )(x1x2 2 ，1) 4 分 所以FM AB(x1x2 2 ，2) (x2x1，y2y1)1 2(x2 2x12)2(1 4x2 21 4x1 2)0 所以FM AB为定值，其值为 0 7 分 ()由()知在ABM 中，FMAB，因而 S1 2|AB|FM| |FM|(x1x2 2 )2(2)2 1 4x12 1 4x22 1 2x1x24 y1y21 2(4)4 1 2 1 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y1 的距离，所以 |AB|AF|BF|y1y221 2( 1 ) 2 于是 S1 2|AB|F
25、M|( 1 ) 3， 由 1 2 知 S4，且当 1 时，S 取得最小值 4 1010 （山东卷） （山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点 所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 4.。()求椭圆的方程； ()直线l过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当AOB 面积取得最大值时，求 直线 l 的方程. 解：解：设椭圆方程为 22 22 1() xy abc ab （）由已知得 2 222 2 4 bc a c abc 2 2 2 2 1 1 a b c 所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y . （） 解法一： 由题意知直线l的斜率存在，
26、设直线l的方程为 1122 2, ( ,), (,)ykxA x yB xy 由 2 2 2 1 2 ykx x y ，消去 y 得关于 x 的方程： 22 (1 2)860kxkx 由直线l与椭圆相交于 A、B 两点， 22 06424(1 2)0kk 解得 2 3 2 k 又由韦达定理得 12 2 12 2 8 12 6 12 k xx k xx k 222 12121 2 |1|1()4ABkxxkxxx x 2 2 2 1 1624 1 2 k k k 原点O到直线l的距离 2 2 1 d k 22 22 116242 2 23 | 21 21 2 AOB kk SAB d kk .
27、解法 1：对 2 2 1624 1 2 k S k 两边平方整理得： 24222 44(4)240S kSkS（*） 0S ， 2222 2 2 2 2 16(4)4 4(24)0, 4 0 24 0 4 SSS S S S S 整理得： 2 1 2 S 又0S ， 2 0 2 S 从而 AOB S的最大值为 2 2 S ， 此时代入方程（*）得 42 428490kk 14 2 k 所以，所求直线方程为：14240xy. 解法 2：令 2 23(0)mkm， 则 22 23km 2 2 22 22 4 42 m S m m m 当且仅当 4 m m 即2m时， max 2 2 S 此时 14
28、 2 k . 所以，所求直线方程为14240y 解 法 二 ： 由 题 意 知 直 线l的 斜 率 存 在 且 不 为 零 . 设 直 线l的 方 程 为 1122 2 ,(,) ,(,)yk xA xyB xy，则直线 l 与 x 轴的交点 2 (,0)D k ， 由解法一知 2 3 2 k 且 12 2 12 2 8 12 6 12 k xx k xx k ， 解法 1： 1212 11 2 | | |22| 22 AOB SODyykxkx k = 12 |xx 22 2 1 2 ()4xxx x 2 2 1624 1 2 k k 2 2 2 2 23 1 2 k k . 下同解法一. 解法 2： AOBPOBPOA SSS 21 1 2 | 2 xx 21 |xx= 2 2 2 2 23 1 2 k k 下同解法一.
