1、 2004 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） (河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区) 理科数学（必修+选修） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分 钟. 第 I 卷（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）=P（A） P（B） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C k nP k(1P)nk 一、选择题 ：本大题共 12 小题，每小题 6 分，
2、共 60。 1(1i)2i= （ ） A22i B2+2i C2 D2 2已知函数 )(.)(. 1 1 lg)(afbaf x x xf则若 （ ） Ab Bb C b 1 D b 1 3已知 a、b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|a+3b|= （ ） A7 B10 C13 D4 4函数) 1( 11xxy的反函数是 （ ） Ay=x22x+2(x0. 所以当 a=0 时，函数 f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函 数. （II）当, 0 2 , 02,0 2 x a xaxxa或解得由时 由. 0 2 , 02 2 x a axx解得 所以，当 a0 时，函
3、数 f(x)在区间（， a 2 ）内为增函数，在区间（ a 2 ，0）内 为减函数，在区间（0，+）内为增函数； （III）当 a0，解得 0x a 2 , 由 2x+ax20，解得 x a 2 . 所以当 a0 时，函数 f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0， a 2 ）内为增函 数，在区间（ a 2 ，+）内为减函数. 20本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、 运算能力.满分 12 分. （I）解：如图，作 PO平面 ABCD，垂足为点 O.连结 OB、OA、OD、OB 与 AD 交于 点 E，连结 PE. ADPB，ADOB， PA=PD，
4、OA=OD， 于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD 的中点，所以 PEAD. 由此知PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角， PEB=120，PEO=60 由已知可求得 PE=3 PO=PEsin60= 2 3 2 3 3， 即点 P 到平面 ABCD 的距离为 2 3 . （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DA. ) 4 3 , 4 33 , 0(),0 , 2 33 , 0(), 2 3 , 0 , 0(的坐标为中点GPBBP.连结 AG. 又知).0 , 2 33 , 2(),0 , 2 3 , 1 (CA由此得到： 0, 0
5、).0 , 0 , 2(), 2 3 , 2 33 , 0( ), 4 3 , 4 3 , 1 ( PBBCPBGA BCPB GA 于是有 所以的夹角BCGAPBBCPBGA,. 等于所求二面角的平面角， 于是, 7 72 | cos BCGA BCGA 所以所求二面角的大小为 7 72 arccos . 解法二： 如图， 取 PB 的中点 G， PC 的中点 F， 连结 EG、 AG、 GF， 则 AGPB， FG/BC， FG= 2 1 BC. ADPB，BCPB，FGPB， AGF 是所求二面角的平面角. AD面 POB，ADEG. 又PE=BE，EGPB，且PEG=60. 在 RtP
6、EG 中，EG=PEcos60= 2 3 . 在 RtPEG 中，EG= 2 1 AD=1. 于是 tanGAE= AE EG = 2 3 , 又AGF=GAE. 所以所求二面角的大小为arctan 2 3 . 21 （本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想 和综合解题能力.满分 12 分. 解： （I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组 . 1 , 1 2 2 2 yx y a x 有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. . 120 . 0)1 (84 . 01 224 2 aa aaa a 且解得 所以
7、双曲线的离心率 ).,2()2, 2 6 ( 2 2 6 , 120 . 1 11 2 2 的取值范围为即离心率 且 且 e ee aa aa a e （II）设) 1 , 0(),(),( 2211 PyxByxA . 12 5 ).1,( 12 5 ) 1,( , 12 5 21 2211 xx yxyx PBPA 由此得 由于 x1+x2都是方程的根，且 1a20， 13 17 , 0 60 289 1 2 , . 1 2 12 5 . 1 2 12 17 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 aa a a x a a x a a x 所以由 得消去 所以 22本小题主要考查数列，等比
8、数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推 理能力.满分 14 分. 解： （I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以 a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理 a2k1a2k3=3k 1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1) =(3k+3k 1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得 a2k+1a1= 2 3 (3k1)+ 2 1 (1)k1, 于是 a2k+1=. 1) 1( 2 1 2 3 1 k k a2k= a2k1+(1)k = 2 1 2 3 k (1)k 11+(1)k = 2 1 2 3 k (1)k1. an的通项公式为： 当 n 为奇数时，an= ; 1 2 1 ) 1( 2 3 2 1 2 1 n n 当 n 为偶数时， . 1 2 1 ) 1( 2 3 2 2 n n n a
