专题18几何变式探究和类比变换综合类问题（原卷版）（苏科版）.doc

1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 18 几何变式探究和类比变换综合类问题 【方法指导】【方法指导】 图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形 全等或相似的性质与判定，难度较大此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行 类比解答根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等 解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、 方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识

2、综合起来，渗透数形 结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力. 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】几何类比变换综合题】几何类比变换综合题 【例 1】 （2018 秋盐都区期中） 【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相 等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题 （1）如图 1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，120BDC，探索线段DA、DB、DC之 间的数量关系 解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据180BACBDC，可证ABDACE 易 证得ABDAC

3、E ，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的 数量关系 根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是_； 【拓展延伸】 （2）如图 2，在Rt ABC中，90BAC，ABAC若点D是边BC下方一点，90BDC，探索线 段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图 3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距 离PQ的长分别为_cm 【变式 1-1】 （2019亭湖区二模） 【阅读材料】 小明遇到这样一个问题：如图 1，点P在等边三角形ABC内，且150APC，3PA ，4P

4、C ，求PB的 长 小明发现， 以AP为边作等边三角形APD， 连接BD， 得到ABD； 由等边三角形的性质， 可证ACPABD ， 得PCBD；由已知150APC，可知PDB的大小，进而可求得PB的长 （1）请回答：在图 1 中，PDB_，PB _ 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图 2，ABC中，90ACB，ACBC，点P在ABC内，且1PA，17PB ，2 2PC ，求AB 的长 【灵活运用】 （3）如图 3， 在Rt A B C中，90ACB，BAC，且 4 ta n 3 ，点P在ABC外， 且3PB ，1PC ， 直接写出PA长的最大值 【变式 1-2】

5、 （2018亭湖区二模）如图，在等腰Rt ABC与等腰Rt ADE中，90BACDAE （1）连接BD，CE（如图)，请直接写出线段BD，CE的数量关系_； （2）在（1）的基础上，延长BD交CE于点F，连接AF（如图)，试探究线段AF，BF，CF的数量 关系，并证明你的结论； （3）连接BE，取BE的中点O，连接AO（如图)，若5AD ，2AO ， 3 tan 4 DAO，求AB的长 【类型【类型 2 2】几何旋转变换综合题】几何旋转变换综合题 【例 2】 （2019海州区一模）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中90C， 30BE （1）操作发现： 如图 2，固

6、定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： 线段DE与AC的位置关系是_； 设BDC的面积为 1 S，AEC的面积为 2 S，则 1 S与 2 S的数量关系是_ （2）猜想论证： 当DEC绕点C旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 1 S与 2 S的数量关系仍然成立，并尝试分别 作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知60ABC，点D是角平分线上一点，6BDCD，/ /DEAB交BC于点E（如图4)，若在射线BA 上存在点F，使 DCFBDE SS ，请求出相应的BF的长 【变式 2-1】 （2019辽阳模拟）旋转变换是解

7、决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散 的条件集中到一起，从而方便解决问题 已知，ABC中，ABAC，BAC，点D、E在边BC上，且 1 2 DAE （1）如图 1，当60时，将AEC绕点A顺时针旋转60到AFB的位置，连接DF， 求DAF的度数； 求证：ADEADF ； （2）如图 2，当90时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当120，4BD ，5CE 时，请直接写出DE的长为_ 【变式 2-2】（2019宜兴市二模）【问题提出】 如图 1， 四边形ABCD中，ADCD，120ABC，60ADC， 2AB ，1BC ，求四边形ABCD的面积 【

8、尝试解决】 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题 （1） 如图 2， 连接BD， 由于ADCD， 所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60， 得到DAB， 则B D B 的形状是_ （2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积 类比应用如图 3，四边形ABCD中，ADCD，75ABC，60ADC，2AB ，2BC ，求四 边形ABCD的面积 【类型【类型 3 3】几何翻折变换综合题】几何翻折变换综合题 【例 3】 （2019江都区三模）如图 1，有一张矩形纸片ABCD，已知5AB ，6AD ，现将纸片进行如下 操作：首先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落

9、在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2)；然后将纸 片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3) （1）如图 2，判断四边形ABEF的形状，并说明理由； （2）如图 3，求BG的长 【变式 3-1】 （2019广陵区校级二模）如图，将矩形ABCD先过点A的直线 1 L翻折，点DA的对应点D刚好 落在边BC上，直线 1 L交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线 2 L翻折，使点B的对应点G落在 AD上，EG的延长线交AD于点H （1）当四边形AED H是平行四边形时，求AD H的度数 （2）当点H与点D刚好重合时，试判断AEF的形状，并说明理由

10、 【变式 3-2】 （2018深圳模拟）已知矩形纸片ABCD中，2AB ，3BC 操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上 探究： （1）如图 1，若点B与点D重合，你认为 1 EDA和FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不 全等，请说明理由； （2）如图 2，若点B与CD的中点重合，请你判断 1 FCB、 1 B DG和 1 EAG之间的关系，如果全等，只 需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比； （3）如图 2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即 1 B C的长度为多少时， 1 FCB与 1 B DG全等 【达标检测】【达标检测】 1如图 1，在 RtABC 中，ABA

11、C，D、E 是斜边 BC 上两动点，且DAE45，将ABE 绕点 A 逆时 针旋转 90 后，得到AFC，连接 DF （1）试说明：AEDAFD； （2）当 BE3，CE9 时，求BCF 的度数和 DE 的长； （3）如图 2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90，D 是斜边 BC 所在直线上 一点，BD3，BC8，求 DE2的长 2如图，在等腰ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，且BACDAE120 （1）求证：ABDACE； （2）把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图的位置，连接 CD，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的 中点，连接 MN、PN、PM，判

12、断PMN 的形状，并说明理由； （3）在（2）中，把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB6，请分别求出PMN 周长的最 小值与最大值 3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，4） ，B（4，0） ，C（4，0） ，D（0，4） ，连 接 AB，AC，BD，点 P 是线段 AB 上的一个动点，连接 PD，过点 P 作 PEPD，交线段 AC 于点 E，将 线段 EP 绕点 E 逆时针旋转 90至 EF （1）过点 P 的横坐标为，则 AE_； （2）当点 P 在线段 AB 上运动到何处时，线段 AE 最长？求出此时点 P 的坐标； （3）连接 OF当点 P 在线段 AB

13、 上运动时，线段 OF 的长度随之变化，求线段 OF 长度的最小值 4如图 1，RtABC 中，C90，AB15，BC9，点 D，E 分别在 AC，BC 上，CD4x，CE3x， 其中 0x3 （1）求证：DEAB； （2）当 x1 时，求点 E 到 AB 的距离； （3）将DCE 绕点 E 逆时针方向旋转，使得点 D 落在 AB 边上的 D处在旋转的过程中，若点 D 的位置有且只有一个，求 x 的取值范围 5在ABC 中，B45，C30，作 APAB，交 BC 于 P 点 （1）如图 1，若 AB3，求 BC 的长； （2）点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时

14、针旋转 90，得到线段 AE 如图 2，当点 E 落在 AC 边上时，求证：CE2BD； 如图 3，当 ADBC 时，直接写出的值 6 【操作发现】如图 1，ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上的一点，DCE30，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60得到线段 CF，连接 AF、EF，请直接写出下列结果： EAF 的度数为_； DE 与 EF 之间的数量关系为_； 【类比探究】 如图 2， ABC 为等腰直角三角形， ACB90， 点 D 为 AB 边上的一点， DCE45， 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CF，连接 AF、EF 则EAF 的度数为_； 线段 AE

15、，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由； 【实际应用】如图 3，ABC 是一个三角形的余料，小张同学量得ACB120，ACBC，他在边 BC 上取了 D、E 两点，并量得BCD15、DCE60，这样 CD、CE 将ABC 分成三个小三角形， 请求BCD、DCE、ACE 这三个三角形的面积之比 7综合与实践： 如图 1，已知ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在边 AB、AC 上，ADAE，连接 DC，点 M，P，N 分 别为 DE，DC，BC 的中点 （1）观察猜想 在图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是_，MPN 的度数是_； （2）探究证明 把ADE 绕点 A 逆时针方向

16、旋转到图 2 的位置， 判断PMN 的形状，并说明理由； 求MPN 的度数； （3）拓展延伸 若ABC 为直角三角形，BAC90，ABAC10，点 DE 分别在边 AB，AC 上，ADAE4，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，如图 3，请直接写 出PMN 面积的最大值 8 【问题提出】在ABC 中，ABACBC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧，BDBC，BAC，DBC ，且 +120，连接 AD，求ADB 的度数 （不必解答） 【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当 90，30时，利用轴对称知识，以 AB 为对称轴 构造

17、ABD 的轴对称图形ABD，连接 CD（如图 2） ，然后利用 90，30以及等边三角形 等相关知识便可解决这个问题 请结合小聪研究问题的过程和思路， 在这种特殊情况下填空： DBC 的形状是_三角形； ADB 的度数为_ 【问题解决】 在原问题中，当DBCABC（如图 1）时，请计算ADB 的度数； 【拓展应用】 在原问题中， 过点 A 作直线 AEBD， 交直线 BD 于 E， 其他条件不变若 BC7， AD2 请 直接写出线段 BE 的长为_ 9点 D 为ABC 外一点，ACB90，ACBC （1）如图 1，DCE90，CDCE，求证：ADCBEC； （2）如图 2，若CDB45，AEB

18、D，CECD，求证：AEBD； （3）如图 3，若ADC15，CD，BDn，请直接用含 n 的式子表示 AD 的长 10如图，ABC 是等边三角形，D 是 BC 边的中点，以 D 为顶点作一个 120的角，角的两边分别交直线 AB、直线 AC 于 M、N 两点以点 D 为中心旋转MDN（MDN 的度数不变） ，当 DM 与 AB 垂直时（如 图所示） ，易证 BM+CNBD （1） 如图， 当 DM 与 AB 不垂直， 点 M 在边 AB 上， 点 N 在边 AC 上时， BM+CNBD 是否仍然成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图，当 DM 与 AB 不垂直，点 M

19、 在边 AB 上，点 N 在边 AC 的延长线上时，BM+CNBD 是否 仍然成立？若不成立，请写出 BM，CN，BD 之间的数量关系，不用证明 11在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在边 AB 上，点 D、Q 分别为边 BC 上的点，线段 AD 的延 长线与线段 PQ 的延长线交于点 F，连接 CP 交 AF 于点 E，若BPFAPC，FDFQ （1）如图 1，求证：AFCP； （2）如图 2，作AFP 的平分线 FM 交 AB 于点 M，交 BC 于点 N，若 FNMN，求证：DQBC； （3）在（2）的条件下，连接 DM、MQ，分别交 PC 于点 G、H，求的值 12已知ABC

20、 和ADE 都是等腰直角三角形，ACBADE90，点 F 为 BE 中点，连结 DF，CF （1）如图 1，点 D 在 AC 上，请你判断此时线段 DF，CF 的关系，并证明你的判断； （2）如图 2，在（1）的条件下将ADE 绕点 A 顺时针旋转 45 时，若 ADDE2，AB6，求此时线 段 CF 的长 13如图，将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 A 坐标是（3，0） ，点 C 坐标是（0，2） ， 点 O 的坐标是（0，0） ，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处 （1）求点 E、F 的坐标

21、； （2）如图 2，若点 P 是线段 DA 上的一个动点（点 P 不与点 D，A 重合） ，过 P 作 PHDB 于 H，设 OP 的长为 x，DPH 的面积为 S，试用关于 x 的代数式表示 S 14如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A，点 D 重 合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP，BH （1）求证：BP 平分APH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论 15已知：矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 M、N 分别在边 AB、CD 上，直线 MN 交矩形对角线 AC 于 点 E，将AME 沿直线 MN 翻折，点 A 落在点 P 处，且点 P 在射线 CB 上 （）如图，当 EPBC 时，求证 CECN；求 CN 的长； （）请写出线段 CP 的长的取值范围，及当 CP 的长最大时 MN 的长