1、 20122012年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛试题试题 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共8 8小题，每小题小题，每小题8 8分，共分，共6464分分把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上 1.1.设设P是函数是函数 2 yx x （0x）的图）的图像上任意一点，过点像上任意一点，过点P分别向直线分别向直线yx和和y轴作轴作 垂线，垂足分别为垂线，垂足分别为,A B，则，则PA PB的值是的值是_._. 2.2.设设ABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,且满足且满足 3 acoscos 5 BbAc， 则， 则 tan tan
2、 A B 的值的值 是是 3.3.设设, ,0,1x y z，则，则Mxyyzzx的最大值是的最大值是 4.4.抛物线抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为的焦点为F，准线为，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点，且满足是抛物线上的两个动点，且满足 3 AFB ,设线段设线段AB的中点的中点M在在l上的投影为上的投影为N，则，则 MN AB 的最大值是的最大值是 5.5.设同底的两个正三棱锥设同底的两个正三棱锥P P- -ABCABC和和Q Q- -ABCABC内接于同一个球，若正三棱锥内接于同一个球，若正三棱锥P P- -ABCABC的侧面与底面所的侧面与底面所 成的角为成的角为4545 0
3、 0，则正三棱锥 ，则正三棱锥Q Q- -ABCABC的侧面与底面所成角的正切值是的侧面与底面所成角的正切值是 6.6.设设( )f x是定义在是定义在R上的奇函数，且当上的奇函数，且当0x时，时，( )f xx若对任意的若对任意的 ,2xa a， 不等式不等式()2 ( )f xaf x恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围是的取值范围是_._. 7 7满满足足 11 sin 43n 的所有正整数的所有正整数n的和是的和是_._. 8 8某情报站有某情报站有, ,A B C D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从
4、上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第设第1 1周使用周使用种密码，那么第种密码，那么第7 7周也使周也使 用用A种密码的概率是种密码的概率是_._.（用最简分数表示）（用最简分数表示） 二、二、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤 9 9（本小题满分（本小题满分1616分）已知函数分）已知函数 131 ( )sincos2,0 22 f xaxxaaR a a （1 1）若对任意）若对任意xR，都有，都有( )0f x ，求，求a的取值范围；的取值范围
5、； （2 2）若）若2a，且存在，且存在xR，使，使得得( )0f x ，求，求a的取值范围的取值范围 1010（本小题满分（本小题满分分）分）已知数列已知数列 n a的各项均为非零的各项均为非零实数，且对于任意的实数，且对于任意的正整数正整数n， 都有都有 2333 1212 () nn aaaaaa （1 1）当）当3n时，求所有满足条件的三项组成的数列时，求所有满足条件的三项组成的数列 123 ,a a a; ; （2 2）是否存在满足条件的无穷数列）是否存在满足条件的无穷数列 n a，使得，使得 2013 2012?a 若存在，若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明
6、理由求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由 1111（本小题（本小题满分满分2020分）分） 如图如图5 5，在平面直角坐标系，在平面直角坐标系XOY中，菱形中，菱形ABCD的边长为的边长为4，且，且6OBOD （1 1）求证：）求证：| |OAOC为定值；为定值； （2 2）当点）当点A A在半在半圆圆 22 (2)4xy（24x）上运动）上运动时，求时，求 点点C的轨迹的轨迹 20122012年全国高中数学联赛加试试题年全国高中数学联赛加试试题 一、（本题满分一、（本题满分4040分）分） 如图，在锐角如图，在锐角ABC中，中，ABACABAC， M,NM,N是是BCBC边上
7、不同的两点，使得边上不同的两点，使得BAMCAN,设设 ABC和和AMN的外心分别是的外心分别是O O1 1，O O2 2，求证：，求证：O O1 1，O O2 2，A A三点共线。三点共线。 二、（本题满分二、（本题满分 4040 分）分） 三、（本题满分三、（本题满分 5050 分）分） 设设 012 , n P P PP是平面上是平面上1n个点，它们两两间的距离的最小值为个点，它们两两间的距离的最小值为(0)d d 求证：求证： 01020 ( )(1)! 3 n n d PPPPPPn 四、（本题满分四、（本题满分 5050 分）分） 设设 11 1 2 n S n ，n是正整数证明：对满足是正整数证明：对满足01ab的任意实数的任意实数, a b，数列，数列 nn SS中有无穷多项属于中有无穷多项属于( , )a b这里，这里， x表示不超过实数表示不超过实数x的最大整数的最大整数 来源来源:21:21 世纪教育网世纪教育网
