1、第四讲：二次函数与圆综合 1 第四讲：二次函数与圆综合第四讲：二次函数与圆综合 板块板块 考试要求考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数 de 意义； 2.会利用描点法画出二次函数de 图像； 1.能通过对实际问题中 de 情境分析确定二次函数 de 表达式； 2.能从函数图像上认识函数 de 性质； 3.会确定图像 de 顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数de图像求出二次方程de近似解； 1.能用二次函数解决简单 de 实际问题； 2.能解决二次函数与其他知 识结合 de 有关问题； 一、二次函数与圆综合 【例1】 已知：抛物线 2
2、:(1)(2)M yxmxm与x轴相交于 12 (0)(0)A xB x，两点， 且 12 xx （）若 12 0x x ，且m为正整数，求抛物线Mde 解析式； （）若 12 11xx，求mde 取值范围； （ ） 试 判 断 是 否 存 在m， 使 经 过 点A和 点Bde 圆 与y轴 相 切 于 点(0 2)C， 若 存 在 ， 求 出 2 :(1)(2)M yxmxmde 值；若不存在，试说明理由； （）若直线: l ykxb过点(0 7)F，与（）中 de 抛物线M相交于PQ，两点，且使 1 2 PF FQ ，求直线lde 解析式 【解析】 （）解法一：由题意得， 12 20x xm
3、 解得，2m m为正整数，1m 2 1yx 解法二：由题意知，当0x 时， 2 0(1) 0(2)0ymm （以下同解法一） 解法三： 22 (1)4(2)(3)mmm， 12 (1)(3) 12 2 mm xxxm ， 又 122 020x xxm，2m （以下同解法一 ） 解法四：令0y ，即 2 (1)(2)0xmxm， 12 (1)(2)0 12 xxm xxm ， ， （以下同解法三 ） （）解法一： 1212 111010xxxx ， ，即 1212 ()10x xxx 1212 (1)2xxmx xm ， (2)(1)10mm 解得：1m mde 取值范围是 1m 解法二：由题意
4、知，当1x 时， 1(1)(2)0ymm 解得：1m mde 取值范围是1m 解法三：由（）de 解法三、四知， 12 12xxm ， 例题例题精讲精讲 中考要求中考要求 第四讲：二次函数与圆综合 2 12 11xx，21m 1m mde 取值范围是1m x y O D O C(0,2) B A 7 O F P2 P1 P Q2 Q1x y Q （）存在 解法一：因为过AB，两点 de 圆与y轴相切于点(0 2)C，所以AB，两点在y轴 de 同侧， 12 0x x 由切割线定理知， 2 OCOA OB， 即 2 12 2x x 1 2 4x x ， 12 4.x x 24.6mm 解法二：连
5、接O BO C，圆心所在直线 11 222 bmm x a ， 设直线 1 2 m x 与x轴交于点D，圆心为 O ， 则 1 2 2 m O DOCO COD ， 2 21 (3)3 2 AB ABxxmmBD， 3 2 m BD 在RtO DB中， 222 ODDBOB 即 22 2 31 2 22 mm 解得 6m （）设 1122 ()()P xyQ xy，则 22 1122 11yxyx， 过PQ，分别向x轴引垂线，垂足分别为 112 (0)(0)P xQ x， 则 11 PPFOQQ 所以由平行线分线段成比例定理知， 1 1 POPF OQFQ 因此， 1 2 01 02 x x
6、，即 21 2xx 过PQ，分别向y轴引垂线，垂足分别为 2122 (0)(0)PyQy， 则 22 PPQQ所以 22 FP PFQ Q 2 2 P FFP FQFQ 1 2 71 72 y y 12 212yy 22 12 22 11 212(1)1. 23241. xx xx 2 11 42xx，或 1 2x 当 1 2x 时，点(23)P ，直线l过(23)(0 7)PF， 第四讲：二次函数与圆综合 3 70 32. kb kb ， 解得 7 2. b k ， 当 1 2x 时，点( 23)P ，直线l过( 23)(0 7)PF ， 70 3( 2). kb kb ， 解得 7 2.
7、b k ， 故所求直线lde 解析式为：27yx，或27yx 【例2】 已知抛物线 2 yaxbxc与 y 轴 de 交点为 C，顶点为 M，直线 CMde 解析式 2yx 并且线段 CMde 长为2 2 （1）求抛物线 de 解析式。 （2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（X1 ，0） 、B（X2 ，0） ，且点 A 在 Bde 左侧，求线段 ABde 长。 （3）若以 AB 为直径作N，请你判断直线 CM 与Nde 位置关系，并说明理由。 【解析】 （1）解法一：由已知，直线 CM：y=x2 与 y 轴交于点 C（0,2）抛物线 2 yaxbxc过点 C（0,2） ， 所以 c=2，抛物
8、线 2 yaxbxcde 顶点 M 2 4 , 24 bacb aa 在直线 CM 上， 所以 2 42 2 42 abb aa ，解得0b 或2b 若0b ，点 C、M 重合，不合题意，舍去，所以2b 即 M 11 , 2 aa 过 M 点作 y 轴 de 垂线，垂足为 Q，在 222 Rt CMQCMCQQM中， 所以， 22 11 8( )2(2) aa ，解得， 1 2 a 。 所求抛物线为： 2 1 22 2 yxx 或 2 1 22 2 yxx以下同下。 解法二：由题意得(0,2)C,设点 Mde 坐标为( , )M x y 点 M 在直线2yx 上，2yx 由勾股定理得 22 (
9、2)CMxy，2 2CM 22 (2)xy=2 2，即 22 (2)8xy 解方程组 22 2 (2)8 yx xy ，得 1 1 2 4 x y ， 2 2 2 0 x y ( 2,0)M 或(2,0)M 当( 2,4)M 时，设抛物线解析式为 2 (2)4ya x，抛物线过(0,2)点， 1 2 a ， 2 1 22 2 yxx 当(2,0)M时，设抛物线解析式为 2 (2)ya x 抛物线过(0,2)点， 1 2 a ， 2 1 22 2 yxx 所求抛物线为： 2 1 22 2 yxx 或 2 1 22 2 yxx （2）抛物线与 x 轴有两个交点， 2 1 22 2 yxx不合题意，
10、舍去。 抛物线应为： 2 1 22 2 yxx 抛物线与 x 轴有两个交点且点 A 在 Bde 左侧， 2 1 220 2 xx由，得 12 4 2ABxx 第四讲：二次函数与圆综合 4 （3）AB 是Nde 直径，r =2 2 ， N（2，0） ，又M（2，4） ，MN = 4 设直线2yx 与 x 轴交于点 D，则 D（2，0） ，DN = 4，可得 MN = DN， 45MDN，作 NGCM 于 G，在Rt NGD中，sin452 2NGDN= r 即圆心到直线 CMde 距离等于Nde 半径直线 CM 与N 相切 【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数4ykxkde 图象与
11、x轴交于点A，抛物线 2 yaxbxc经过O， A两点 试用含ade 代数式表示b； 设抛物线 de 顶点为D，以D为圆心，DA为半径 de 圆被x轴分为劣弧和优弧两部分若将劣弧沿x轴翻折， 翻折后 de 劣弧落在D内，它所在 de 圆恰与OD相切，求D半径 de 长及抛物线 de 解析式； 设点B是满足(2)中条件 de 优弧上 de 一个动点，抛物线在x轴上方 de 部分上是否存在这样 de 点P，使得 4 3 POAOBA？若存在，求出点Pde 坐标；若不存在，说明理由 D D A O y x n m B D A E P O x y P y x B A EO D 【解析】解法一：一次函数
12、4ykxkde 图象与x轴交于点A 点Ade 坐标为(4，0) 抛物线 2 yaxbxc经过O、A两点 0c ，1640ab，4ba 解法二：一次函数4ykxkde 图象与x轴交于点A 点Ade 坐标为(40，) 抛物线 2 yaxbxc经过O、A两点 抛物线 de 对称轴为直线2x 2 2 b x a ，4ba 由抛物线 de 对称性可知，DODA 点O在D上，且DOADAO 又由(1)知抛物线 de 解析式为 2 4yaxax 点Dde 坐标为(24a，) 当0a 时， 如图1，设D被x轴分得 de 劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA 所在 de 圆与D关于x轴对称，
13、设它 de 圆心为D 点D与点D也关于x轴对称 点O在D上，且OD与D相切 点O为切点，DOOD 45DOAD OA ADO为等腰直角三角形，2 2OD 第四讲：二次函数与圆综合 5 点Dde 纵坐标为2，42a 1 42 2 aba ， 抛物线 de 解析式为 2 1 2 2 yxx 当0a 时， 同理可得：2 2OD 抛物线 de 解析式为 2 1 2 2 yxx 综上，D半径 de 长为2 2，抛物线 de 解析式为 2 1 2 2 yxx或 2 1 2 2 yxx 抛物线在x轴上方 de 部分上存在点P，使得 4 3 POAOBA 设点Pde 坐标为(, x y)，且0y 当点P在抛物
14、线 2 1 2 2 yxx上时(如图2) 点B是Dde 优弧上 de 一点 1 45 2 OBAADO， 4 60 3 POAOBA 过点P作PEx轴于点E，tan EP POE OE ， tan60 y x ，3yx 由 2 3 1 2 2 yx yxx 解得： 12 2 1 42 30 0 64 3 xx y y ，(舍去) 点Pde 坐标为 42 3 64 3， 当点P在抛物线 2 1 2 2 yxx 上时(如图3)，同理可得，3yx 由 2 3 1 2 2 yx yxx 解得： 12 2 1 42 30 0 64 3 xx y y ，(舍去) 点Pde 坐标为 42 364 3， 综上
15、，存在满足条件 de 点P，点Pde 坐标为： 42 3 64 3，或 42 364 3， 点评：本题是一道二次函数与圆 de 综合题，解决本题 de 关键是：作出将劣弧沿x轴翻折后 de 弧所在圆D， 并充分利用轴对称 de 性质本题考点：1直线与圆 de 位置关系(切线 de 性质)；2轴对称；3等腰直角三 角形 de 性质，4三角函数；5二次函数解析式 de 确定 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C，为圆心，半径为4de 圆交y轴正半轴于点A， AB是Cde 切线动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度 de 速度运动，点Q从O点开始沿x轴正 方向以每秒4个单位长度
16、de 速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒) 当1t 时，得到 1 P、 1 Q两点，求经过A、 1 P、 1 Q三点 de 抛物线解析式及对称轴l； 当t为何值时，直线PQ与C相切？并写出此时点P和点Qde 坐标； 在de 条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NPNQ最小，求出点 Nde 坐标并说明理由 第四讲：二次函数与圆综合 6 l Q1 P1 y x Q O P C BA l Q1 P1 M y x Q O P C BA 【解析】 由题意得A， 1 P， 1 Qde 坐标分别为(08)A， 1(1 8)P， 1(4 0)Q， 设抛物线解析式为 2 yaxbx
17、c，则 8 8 0164 c abc abc 2 3 a ， 2 3 b ，8c 所求抛物线为 2 22 8 33 yxx 对称轴为直线l： 1 2 x 设ta时，PQ与C切于点M 连结CP，CM，CQ，则PAPMa，4QOOMa 又CP，CQ分别平分APQ和OQP 而180APQOQP， 90CPQCQP，90PCQ CMPQ，Rt CMPRt QMC CMQM PMCM 即 44 4 a a ，2a 由于时间a只能取正数，所以2a 即当运动时间2t 时，PQ与C相切 此时：(2P，8)，(8Q，0) 点P关于直线lde 对称点为( 1P ，8) 则直线P Qde 解析式为： 864 99
18、yx 直线P Q交直线l于N 1 ( 2 ， 20) 3 ，此时NPNQ最小， 1 ( 2 N， 20) 3 【例5】 如图，点40M， 以点M为圆心、2为半径 de 圆与x轴交于点AB，已知抛物 2 1 6 yxbxc过点A和B， 与y轴交于点C 求点Cde 坐标，并画出抛物线 de 大致图象 点8Qm，在抛物线 2 1 6 yxbxc上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB 最小值 CE是过点CdeMde 切线，点E是切点，求OE所在直线 de 解析式 第四讲：二次函数与圆综合 7 M y x O E D C B A 【解析】由已知，得20A，60B， 抛物线 2 1 6 yxbxc
19、过点A和B， 则 2 2 1 220, 6 1 660, 6 bc bc ，解得 4 , 3 2. b c 则抛物线 de 解析式为 2 14 2 63 yxx，故C02， (说明：抛物线 de 大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确) 如图，抛物线对称轴l是 4x (8Q，)m抛物线上，2m 过点Q作QRx轴于点K，则80K，26QKAK， AQ 22 2 10AKQK 又60B，与20A，关于对称轴 l 对称， PQPBde 最小值2 10AQ 当E在第四象限时，如图，连结EM和CM 由已知，得 2EMOC CE是Mde 切线，90DEM，则DEMDOC 又ODCEDM
20、 ，DEMDOC ODDECDMD， 又在DOE和MDC中， ODEMDCDOEDEODCMDMC，则OECM 设CM所在直线 de 解析式为ykxb，CM过点02C，40M， 40, 2, kb b ，解得 1 2 2 k b 直线CMde 解析式为 1 2 2 yx C A M B x y O D E 图 C A M B x y O D E Q P K 图 l 第四讲：二次函数与圆综合 8 又直线OE过原点O，且OECM，则OEde 解析式为 1 2 yx 当E在第一象限时，易得四边形COME为矩形，此时(4E，2) 直线OEde 解析式为 1 2 yx 点评：本题难度不大，第问中，求距离
21、和最短问题是我们在学习轴对称时 de 一个典型问题；第问需注意， 过圆外一点引圆 de 切线有两条考点：1二次函数解析式 de 确定；2轴对称；3切线 de 性质；4一次 函数解析式 de 确定 【例6】 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 1 l经过点20A ，和点 2 03 3 B ，直线 2 lde 函数表达式为 34 3 33 yx ， 1 l与 2 l相交于点PC是一个动圆，圆心C在直线 1 l上运动，设圆心Cde 横坐标是a过 点C作CMx轴，垂足是点M 填空：直线 1 lde 函数表达式是 ，交点Pde 坐标是 ，FPBde 度数是 ； 当C和直线 2 l相切时，请证明点P到直线
22、CMde 距离等于Cde 半径R，并写出3 22R 时ade 值 当C和直线 2 l不相离时， 已知Cde 半径3 22R ， 记四边形NMOBde 面积为S(其中点N是直线CM 与 2 lde 交点)S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时ade 值；若不存在，请说明理由 y x l1l2 E A O C P 43 2 1 -2 1 2 3 图甲 M y x l2 l1 O G P F E D C B A -2 4 2 1 N 图乙 M y x l2 l1 O P F E C B A -2 4 2 1 【解析】 32 3 33 yx， 13P，60 设C和直线 2 l相切时 de 一种
23、情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CDPD 过点P作CMde 垂线PG，垂足为G， 则RtRtCDPPGC30PCDCPGCPPC， 所以PGCDR 当点C在射线PA上，C和直线 2 l相切时，同理可证 取3 22R 时，13 21aR ，或133 2aR 当C和直线 2 l不相离时，则33 23 21a，由知，分两种情况讨论： 如图乙，当03 21a时， 1 2 334 3 () 2333 Saa 2 3 3 6 aa ， 当 3 3 3 2() 6 a 时，(满足3 21a)，S有最大值 此时 33 3 23 4() 6 S 最大值 (或 9 2 3 ) 当33 20a时， 2 3 3
24、 6 Saa显然C和直线 2 l相切，即33 2a 时，S最大 第四讲：二次函数与圆综合 9 此时 1 2 334 33 3 (33 2) 33 2 23332 S 最大值 综合以上和，当3a 或33 2a 时，存在 Sde 最大值，其最大面积为 3 3 2 点评：本题共 3 问，这 3 问之间难度递增，且环环相扣，解决后面 de 问题时要注意应用前面 de 结论，解决第 问时要先确定ade 取值范围，然后分类讨论考点：1一次函数解析式 de 确定；2等边三角形 de 判定及 性质；3直线与圆 de 位置关系；4全等三角形；5两函数图象交点坐标 de 确定；6二次函数 de 最值 【答案】 （
25、1） 32 3 33 yx， 13P，60； （2）3 21a 或33 2a ； （3）当3a 或33 2a 时，存在 Sde 最大值，其最大面积为 3 3 2 【例7】 已知二次函数图象 de 顶点在原点O，对称轴为y轴一次函数1ykxde 图象与 二次函数 de 图象交于AB，两点(A在Bde 左侧)，且A点坐标为44 ，平行于x轴 de 直线l过01，点 求一次函数与二次函数 de 解析式； 判断以线段tanxCA为直径 de 圆与直线lde 位置关系，并给出证明； 把二次函数 de 图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位0t ，二次函数 de 图象与x轴交于MN，两 点，一次函数图象
26、交y轴于F点当t为何值时，过FMN，三点 de 圆 de 面积最小？最小面积是多少？ l y x O l H F E BA O N M C B A y x 【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系 de 确定，切线 de 性质及判定 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2006 年，山东潍坊 【解析】 把( 44)A ，代入1ykx得 3 4 k ， 一次函数 de 解析式为 3 1 4 yx ； 二次函数图象 de 顶点在原点，对称轴为y轴， 设二次函数解析式为 2 yax， 把( 4 4)A ，代入 2 yax得 1 4 a ，二次函数解析式为 2 1 4 yx 由 2 3 1 4
27、1 4 yx yx ，解得 4 4 x y 或 1 1 4 x y ，(1B， 1 ) 4 ， 过AB，点分别作直线lde 垂线，垂足为 A ， B ， 则 15 4151 44 AABB ， 第四讲：二次函数与圆综合 10 直角梯形AA B B de 中位线长为 5 5 25 4 28 ， 过B作BH垂直于直线 AA 于点H，则5BHA B ， 115 4 44 AH ， 2 2 1525 5 44 AB ， ABde 长等于AB中点到直线lde 距离 de2 倍， 以AB为直径 de 圆与直线l相切 平移后二次函数解析式为 2 (2)yxt， 令0y ，得 2 (2)0xt ， 1 2xt
28、， 2 2xt， 过E三点 de 圆 de 圆心一定在直线D上，点C为定点， 要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线2x de 距离， 此时，半径为 2，面积为4， 设圆心为CMN，中点为E，连CECM，则1CE ， 在三角形CEM中， 2 213ME ， 2 3MN ，而 21 2MNxxt，3t 当3t 时，过FMN，三点 de 圆面积最小，最小面积为4 点评：本题综合了函数与圆 de 有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心 位置，要求学生较好 de 掌握圆 de 有关性质，并能灵活运用考点：1一次函数，二次函数解析式 de 确定； 2直线与圆 de
29、位置关系，3二次函数图象 de 平移；4圆心 de 性质；5点到直线垂线段最短 【答案】 （1）一次函数 de 解析式为 3 1 4 yx ；二次函数解析式为 2 1 4 yx （2）以AB为直径 de 圆与直线l相切 （3） 当3t 时，过FMN，三点 de 圆面积最小，最小面积为4 【例8】 如图 1，Ode 半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为50，顶点D在O上运动 当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与O相切； 当直线CD与O相切时，求OD所在直线对应 de 函数关系式； 设点Dde 横坐标为x，正方形ABCDde 面积为S，求S与x之间 de 函数关系式，并求出Sd
30、e 最大值与最 小值 图1 x y O D A B C 1 5 图2 x y O D1 A B C 1 5 E1 图3 x y O D2 A B C 1 5 E2 【考点】二次函数与圆综合，切线 de 性质及判定，坐标与面积 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2008 年，江苏宿迁 【解析】 四边形ABCD为正方形，ADCD A、O、D在同一条直线上，90ODC，直线CD与O相切； 直线CD与O相切分两种情况： 如图 2， 设 1 D点在第二象限时，过 1 D作 11 D Ex轴于点 1 E，设此时 de 正方形 de 边长为a，则 2 22 15aa，解得4a 或3a (舍去) 由 1
31、1 RtRtBOADOE得 1111 OED EOD OABAOB 第四讲：二次函数与圆综合 11 1 3 5 OE ， 11 4 5 D E ， 1 34 55 D ， 故直线ODde 函数关系式为 4 3 yx ； 如图 3，设 2 D点在第四象限时，过 2 D作 22 D Ex轴于点 2 E，设此时 de 正方形 de 边长为b，则 2 22 15bb，解得3b 或4b (舍去) 由 22 RtRtBOAD OE得 2222 OED EOD OABAOB 2 4 5 OE ， 22 3 5 D E ， 2 43 55 D ，故直线ODde 函数关系式为 3 4 yx 设 0 D xy，则
32、 2 0 1yx ，由50B，得 22 (5)(1)26 10DBxxx 2 11 2610135 22 SBDxx 11x 135181358SS 最大值最小值 ， 【答案】 （1）直线CD与O相切； （2） 4 3 yx 或 3 4 yx ； （3）135Sx，188SS 最大值最小值 ， 【例9】 如图，已知点A从10，出发，以1个单位长度/秒 de 速度沿x轴向正方向运动，以OA，为顶点作菱形OABC， 使点BC，在第一象限内，且60AOC；以03P，为圆心，PC为半径作圆设点A运动了t秒，求： 点Cde 坐标（用含tde 代数式表示） ； 当点A在运动过程中，所有使P与菱形OABCd
33、e 边所在直线相切 detde 值 P CB O A y x1 图1 P CB O A y x D 图2 P C B O A y x E 图3 P C B OA y x F H G 【考点】二次函数与圆综合，动点与几何，切线 de 性质及判定 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2008 年，江苏无锡 【解析】 过C作CDx轴于D， 1OAt ，1OCt ， 1 cos60 2 t ODOC ， 3(1) sin60 2 t DCOC ， 点Cde 坐标为 13(1) 22 tt ， 当P与OC相切时（如图 1） ，切点为C，此时PCOC， cos30OCOP， 3 13 2 t ， 3
34、3 1 2 t （4 分） 当P与OA，即与x轴相切时（如图 2） ，则切点为O，PCOP， 第四讲：二次函数与圆综合 12 过P作PEOC于E，则 1 2 OEOC， 13 3 cos30 22 t OP ，3 31t 当P与AB所在直线相切时（如图 3） ，设切点为F，PF交OC于G， 则PFOC， 3(1) 2 t FGCD ， 3(1) sin30 2 t PCPFOP 过C作CHy轴于H，则 222 PHCHPC， 22 2 13(1)33(1) 3 2222 ttt ， 化简，得 2 (1)18 3(1)270tt， 解得19 36 6t ， 9 36 610t ， 9 36 61
35、t 所求tde 值是 3 3 1 2 ，3 31和9 36 61 【答案】 （1）点Cde 坐标为 13(1) 22 tt ，； （2）所求tde 值是 3 3 1 2 ，3 31和9 36 61 【例10】 已知：抛物线 2 yaxbxc0a ，顶点13C，与x轴交于A、B两点，1 0A ， 求这条抛物线 de 解析式 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为 线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断 PMPN BEAD 是 否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 在de 条件下，
36、若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP，FG分别与边 AE 、BE相交于点F、G(F 与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断 PAEF PBEG 是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由 C x y B N M A D PO E x y B N M A D PO E G HF S C 【考点】二次函数与圆综合 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2008 年，山东济南 【解析】 设抛物线 de 解析式为 2 (1)3ya x 将1 0A ，代入： 2 01 13a ， 3 4 a 第四讲：二次函数与圆综合 13 抛物线 de 解析式为 23 13 4 yx，即： 2 339
37、 424 yxx 是定值，1 PMPN BEAD AB为直径，90AEB，PMAE，PMBE APMABE， PMAP BEAB 同理： PNPN ADAB + ：1 PMPNAPPB BEADABAB 直线EC为抛物线对称轴， EC垂直平分AB EAEB 90AEB AEB为等腰直角三角形 45EABEBA 7 分 如图，过点P作PHBE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， PHME且PHMEP 在APM和PBH中 90AMPPHB ，45EABBPH PHBH 且APMPBH PAPM PBBH PAPMPM PBPHME . 8 分 在MEP和EGF中， PEFG，90FGE
38、SEG 90MEPSEG，FGEMEP 90PMEFEG ， 1 sin 22 ACACAC APC APOAAC PMEF MEEG 由、知： PAEF PBEG 【答案】 （1） 2 339 424 yxx； （2）是定值，1 PMPN BEAD ； （3）成立 【例11】 如图，已知点Ade 坐标是1 0 ，点Bde 坐标是90，以AB为直径作 O ，交y轴 de 负半轴于点C， 连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线 求抛物线 de 解析式； 点E是AC延长线上一点，BCEde 平分线CD交 O 于点D，连结BD，求直线BDde 解析式； 在de 条件下，抛物线上是否存在点P，使得P
39、DBCBD ？如果存在，请求出点Pde 坐标；如果不存 在，请说明理由 第四讲：二次函数与圆综合 14 D C E A y x BO O P1 Q1 Q2 D C E A y x BOO OOB x y A E C D P1 N M OOB x y A E C D N M H G 【考点】二次函数与圆综合 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2008 年，四川资阳 【解析】 以AB为直径作 O ，交y轴 de 负半轴于点C， 90OCAOCB， 又90OCBOBC， OCAOBC ， 又90AOCCOB ， AOCCOB， OAOC OCOB 又1 0A ，90B， 1 9 OC OC ，
40、解得3OC (负值舍去) 03C， 3 分 设抛物线解析式为19ya xx， 30 1 09a ，解得 1 3 a ， 二次函数 de 解析式为 1 19 3 yxx，即 2 18 3 33 yxx AB为 O de 直径，且1 0A ，90B， 4OO ，40 O ， 点E是AC延长线上一点，BCEde 平分线CD交 O 于点D， 11 9045 22 BCDBCE ， 第四讲：二次函数与圆综合 15 连结O D交BC于点M，则224590BO DBCD ，4OO ， 1 5 2 O DAB 45D， 设直线BDde 解析式为0ykxbk 90 65 kb kb 解得 1 9. k b ，
41、直线BDde 解析式为9yx 假设在抛物线上存在点P，使得PDBCBD ， 方法一：设射线DP交 O 于点Q，则BQCD 分两种情况(如答案图 1 所示)： 40 O ，45D，90B，03C， 把点C、D绕点 O 逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点C与点 1 Q重合， 因此，点 1 74Q，符合BQCD， 45D， 1 74Q， 用待定系数法可求出直线 1 DQ解析式为 119 33 yx 解方程组 2 119 33 18 3. 33 yx yxx ， 得 1 1 941 2 2941 ; 6 x y ， 2 2 94 1 2 2 94 1 . 6 x y ， 点 1 P坐标为 9412941 26 ，坐标为 9412941 26 ，不符合题意，舍去 1 74Q， 点 1 Q关于x轴对称 de 点 de 坐标为 2 74Q，也符合BQCD 45D， 2 74Q， 用待定系数法可求出直线 2 DQ
