1、2020 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标卷） 理科数学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 | 2Pxx ， 2 |230Qx xx ，则P Q
2、A(2, ) B(1,) C(2,3 D 1,2) 2已知i为虚数单位，(2i)67iz ，则复平面内与z对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若 2 6cos2cos21 ，则tan A2 B3 C2 D3 4已知实数, ,a b c满足 lg2 2 2,log,sinaba cb，则, ,a b c的大小关系是 Aab c Bbca Cacb Dbac 5已知函数( )sin3cosf xxx（ 0）的图象与x轴的交点中，两个相邻交点的距离为，把函 数 ( )f x的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x轴向左平移 3 个单位长度，然后纵坐标扩 大到原来的 2
3、 倍得到函数 ( )g x的图象，则下列命题中正确的是 A ( )g x是奇函数 B( )g x的图象关于直线 6 x 对称 C ( )g x在, 3 12 上是增函数 D当, 6 6 x 时， ( )g x的值域是0,2 6函数 2 ( )cossin(1) 31 x f xx 的图象大致为 7在ABC中，已知 1 () 2 ADABAC， 1 3 AEAD ，若以,AD BE为基底，则DC可表示为 A 21 33 ADBE B 2 3 ADBE C 1 3 ADBE D 12 33 ADBE 8记不等式组 21 3 1 2 yx xy y ykx 表示的平面区域为D，若平面区域D 为四边形
4、，则实数k 的取值范围是 A 111 44 k B 111 44 k C 111 33 k D 111 33 k 91872 年，戴德金出版了著作连续性与无理数，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义 了无理数，建立起了完整的实数理论我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分 为两类，使得一类的点在另一类点的左边同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合 A 和 B，使得集合 A 中的任意元素都小于集合 B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为 A/B以下对 有理数集的分割不会出现的类型为 AA 中有最大值，B 中无最小值 BA 中无最大值，B 中有最小值 CA 中无
5、最大值，B 中无最小值 DA 中有最大值，B 中有最小值 10已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，O为坐标原点，A为OM的中点，若C的渐近 线与以AM为直径的圆相切，则双曲线C的离心率等于 A 3 2 4 B 2 3 3 C 3 D2 11已知函数 ( )|2|2f xx ， ( )lng xaxx ，若 0 (0,e)x， 12 ,(0,e)x x满足 0 ()f x 12 ()()g xg x ， 其中 12 xx ，则实数 a 的取值范围是 A 5 ,e) e B 1 ( ,e) e C 1 1,e) e D 1 5 1, e e 12如图，已知平面
6、四边形PCAB中，ACBC，且 6AC ， 2 7BC ， 2 14PCPB，沿直线BC将 PBC折起到PBC的位置，构成一个四面 体，当四面体PABC的体积最大时，四面体PABC的外接球的体积等于 A 500 3 B 256 3 C50 D96 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13抛物线 2 1 4 yx上一点 M 到焦点的距离是它到 x 轴距离的 2 倍，则 M 点的坐标为_ 142020 年是中国全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年，为确保脱贫攻坚任务如期全面 完成，某单位根据帮扶对象的实际精确定位，为帮扶对象制定 6 个农业种植项目和 7 个农
7、闲时间的务 工项目，现需要从中选取 2 个农业种植项目和 4 个农闲时间的务工项目，则农业种植项目甲与农闲时 间的务工项目乙不同时被选取的方法有_种 15在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 6 cos 3 A，2CA，2c ，则ABC的面积等于 _ 16已知函数( )e x f xax ,若方程 ( )20f xx 没有实数解，则实数a的取值范围为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 已
8、知数列 n a满足 1 1 2 a ，且对于任意 * ,m tN，都有 m tmt aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 2 (1) log nn bna ，数列 * 1 () n n b N 的前n项和为 n S，求证： 1 1 2 n S 18（12 分） 如图，已知矩形 11 BCC B与平行四边形 11 ABB A所在的平面相互垂 直， 1 12ABAB， ， 1 5BB （1）求证： 111 ABAC ； （2）若直线 1 AC与平面 11 ABB A所成的角等于 3 ，求二面角 1 CACB 的平面角 19（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab
9、ab 的离心率 6 3 e ，且过点( 3,1)N （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点 (3,0)M 的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，点P关于x轴的对称点为 P ，判断直 线P Q 是否经过定点，若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由 20（12 分） 已知函数 2 ( )lnf xaxx （1）当 1 2 a 时，求函数 ( )f x在 1 e e , 上的最大值和最小值； （2）已知 2 1 ( )22ln 2 g xxaxx ，若 (1+ )x , ， ( )( )f xg x 恒成立，求实数 a 的取值范围 21（12 分） 中国国家统计局2019年9月30日发布数
10、据显示， 2019年9月中国制造业采购经理指数 （PMI） 为49.8%， 反映出中国制造业扩张步伐有所加快以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装 备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展已 知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布 2 ( ,)N ，并把质量差 在( ,) 内的产品称为优等品，质量差在( ,2 ) 内的产品称为一等品，优等品与一等 品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理现从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测得 产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查
11、样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数x作为的近似 值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差 2 ( ,)X N ，求该企业生产的产品为正品的概率P； （同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（2n ，且 * nN）件一等品装在同一个箱子中，质检 员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为 A，否则该箱产 品记为 B 试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为 B 的概率p； 设抽检 5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率为 ( )f p，求当n为何值时，( )f p取得最大值，并求出最 大值 参考数据：若随机变量
12、服从正态分布 2 ( ,)N ，则： ()0.6827P ， (22 )0.9545P ， (33 )0.9973P （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 4cos 44sin x y （为参数），以O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线T的极坐标方程为 cossin10tt （tR） （1）求曲线C的普通方程和直线T的直角坐标方程； （2）试判断曲线C与直线T的位置关系？若曲线C与直线T有两个公共点,M N，试求| |MN的最
13、小 值与最大值；若没有，请说明理由 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 ( ) |2|3|f xxax （1）当3a 时，求不等式 ( )6f x 的解集； （2）若 1 2 x ，不等式 2 ( )3f xxx恒成立，求实数a的取值范围 答案+全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B A C C B A D A A A 1C 【解析】由| | 2x ，解得2x 或2x ，所以集合 |2Px x 或2x ；由 2 230xx ，即 (1)(3)0xx ，解得13x ，所以集合 | 13Qxx ，所以 |23PQxx 故选 C 2D 【解析】因为(
14、2i)67iz，所以 67i(67i)(2i)520i 14i 2i(2i)(2i)5 z ，所以14iz ，所以 复平面内与z对应的点为(1, 4) ，在第四象限故选 D 3 B 【解析】 由已知可得 22 6cos2(2cos1)1， 2 1 c o s 10 ， 2 9 sin 10 ， 2 t a n9， 即t a n 3，故选 B 4 A 【解析】 因为0 lg2lg101 ， 所以 0lg21 222 ， 即12a 因为 2 loglg2ba， 所以01b 记 ()s i nf xxx ，则 ( )1cos0fxx ，所以函数 ( )f x 在R上单调递增，所以当 (0,1)x 时
15、， ( )(0)0f xf ，即sinxx，所以lg2 sin(lg2) ，即 bc综上，abc故选 A 5C 【解析】由题意，知 ( )sin3cos2sin() 3 f xxxx ，因为函数 ( )f x的图象与x轴的交点中， 两 个 相 邻 交 点 的 距 离 为， 所 以 函 数 ( )f x 的 最 小 正 周 期 2 2T ， 所 以=1， 所 以 ( )2sin() 3 f xx ；由题意，可得( )4sin2()4sin(2) 333 g xxx ，是非奇非偶函数，故 A 错 误；又 2 ( )4sin 63 g 2 32，所以 B，D 错误；由 222 232 kxkk Z，
16、得 1212 kxkk Z，所以函数( )g x的单调增区间为, 1212 kk ，k Z，所以函数 ( )g x在, 3 12 上是增函数，C 正确故选 C 6C 【解析】方法一：由题可知函数 ( )f x 的定义域为R，因为 231 1 3131 x xx ，所以 ()fx 31 cos() sin() 31 x x x 1 3 cossin()( ) 13 x x xf x ，所以函数 ( )f x为奇函数，故可排除选项 A、B又 cos10， 2 sin(1) 31 1 sin0 2 ，所以 1 (1)cos1 sin0 2 f，故排除选项 D故选 C 方法二：因为 1 ( 1)cos
17、1 sin()0 2 f ， 1 (1)cos1 sin0 2 f，所以观察各选项中的图象可知 C 符合题 意，故选 C 7B 【解析】由 1 () 2 ADABAC，得 D 为 BC 的中点，由 1 3 AEAD ，得 2 3 EDAD ，所以DCBD 2 3 EDBEADBE ，故选 B 8A 【解析】如图，画出不等式组表示的平面区域由题意，直线 =2y kx 恒过定点 (0, 2)A ，则若平面 区域 D 为四边形，k 的取值范围应该满足 ABAC kkk，又(4, 1 )B， 4 5 ( , ) 3 3 C， 121 404 AB k ， AC k 5 2 11 3 4 4 0 3 ，
18、所以 111 44 k故选 A 9D 【解析】当 A，B 的分界点为某一有理数a时，aA，则 A 中有最大值，B 中无最小值若a B， 则 A 中无最大值，B 中有最小值当 A，B 的分界点为某一无理数时，A 中无最大值，B 中无最小值， 故选 D 10A 【解析】由题意，双曲线C的右顶点为 ( ,0)A a ，渐近线方程为 b yx a ， 即 0b x a y 由A为OM 的中点，可知 (2 ,0)Ma 故以AM为直径的圆的圆心坐标为 3 (,0) 2 a ，半径 1 | 22 a rAM 由题意知 双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即 22 3 |0| 2 2
19、baa a ab ，整理得 22 3abb ，即 22 3cca ， 222 99cca，解得 2 2 2 9 8 c e a ，所以 3 2 4 e 故选 A 11 A 【 解 析 】 当 (0,e)x 时 ， ( )|2|2f xx ， ( )f x 2,4) ( )lng xaxx ， 11 ( ) ax g xa xx ，若0a ，则 ( )0g x ，此时 ( )g x在(0,e)上单调递减，不符合题意， 0a 令 ( ) 0g x 得 1 (0,e)x a ， 则 ( )g x 在 1 (0,) a 上 单 调递 减， 在 1 ,e) a 上 单 调递 增， 由题 意 ，得 1 (
20、0,e) 11 ( )1ln1ln2 (e)e lnee 14 a ga aa gaa ，解得 5 e e a 故选 A 12A 【解析】如图，取BC的中点H，连接PH，则PH BC 因为三角形ABC的面积为定值，所以当PH 平面ABC时，四面体PABC的体积最大 因为ABC为直角三角形，所以其外接圆圆心为AB的中点M，设四面体PABC的外接球球心为O， 则OM 平面ABC，易知点O、点P位于平面ABC同侧 又因为PH 平面ABC，所以OMPH连接MH，OP， 故四边形OMHP为直角梯形，过O作ONPH于点N，则四边形OMHN为矩形 连接OB设四面体的外接球的半径为R，OMd 在ABC中， 1
21、 3 2 MHAC， 2222 6(2 7)8ABACCB，所以4MB 在OMB中， 22222 416dOMOBMBRR ，所以 22 16Rd 在PBC中， 2222 (2 14)( 7)7PHPCCH 在直角梯形OMHP中，3ONMH，NHOMd，7PNd 在PON中， 222 OPONNP，即 222 3(7)Rd 解组成的方程组，得3d 所以 22 31625R ，解得 5R （负值舍去） 所以四面体的外接球的体积 33 44500 5 333 VR故选 A 13(2,1)或( 2,1) 【解析】抛物线 2 1 4 yx，即 2 4xy，其准线方程为 1y ，由抛物线的定义可知点 M
22、 到焦点的距离与点 M 到准线的距离相等，由题意可得点 M 的纵坐标为 1，所以把 1y 代入抛物线 方程可得2x ，所以 M 点的坐标为(2,1)或( 2,1) 14425 【解析】方法一（直接法）（1）农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙都不选取时，不同的 选取方法有 24 56 C C10 15150（种）；（2）选取农业种植项目甲，不选农闲时间的务工项目乙时， 不同的选取方法有 14 56 C C5 1575 （种）；（3）不选农业种植项目甲，选取农闲时间的务工项目乙 时 ， 不 同 的 选 取 方 法 有 23 56 C C10 20200（ 种 ） 所 以 甲 乙 不 同 时 被
23、选 取 的 方 法 共 有 15075200425（种） 方法二（排除法）先从 6 个农业种植项目和 7 个农闲时间的务工项目中选取 2 个农业种植项目和 4 个 农闲时间的务工项目，此时不同的选取方法有 24 67 C C15 35525（种）； 若农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙都选，则不同的选取方法为 13 56 C C5 20100 （种） 所以农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙不同时被选取的方法有525100425（种） 15 5 2 6 【解析】由0A ， 6 cos 3 A，得 3 sin 3 A ，所以 3 sinsin22sincos2 3 CAAA 62 2 33 ，
24、 22 61 coscos22cos12()1 33 CAA 由正弦定理 sinsin ac AC ， 可得 sin sin cA a C 3 2 6 3 22 2 3 在ABC中，由余弦定理 222 2coscababC，得 222 661 2()2 223 bb，即 2 65 0 32 bb ， 解得 5 6 6 b 或 2 6 b （舍去） ， 所以 115 635 2 sin2 22636 ABC SbcA 16(2e,2 【解析】方程( )20f xx没有实数解，即方程e(2)0 x a x 没有实数解， 令( )e(2) x g xa x ，则 (2)e1 ( )e2 e x x
25、x a g xa 当2a 时，( )e0 x g x ，此时( )g x无零点； 当2a 时，显然( )g x单调递减，又 1 2 1 ()e10 2 a g a ，且(0)10g ，此时( )g x有零点； 当2a 时，令 (2)e1 ( )0 e x x a g x ，可得ln(2)xa ， 所以当(, ln(2)xa 时，( )0g x ，函数( )g x单调递减； 当( ln(2),)xa 时，( )0g x ，函数( )g x单调递增， 所以当ln(2)xa 时，函数( )g x取得最小值，为( ln(2)(2)1ln(2)gaaa， 令(2)1ln(2)0aa，解得2e2a， 此时
26、函数( )g x没有零点，即方程e(2)0 x a x 没有实数解. 综上，实数a的取值范围为(2e,2. 17（12 分） 【解析】（1）对于任意 * ,m tN，都有 m tmt aaa 成立， 令,1mn t，得 11nn aaa ，即 * 1 1 2 nn aan N，（3 分） 数列 n a是首项和公比都为 1 2 的等比数列， 于是 1 111 ( ) 222 n n n a ， * nN（6 分） （2）由（1）得 2 (1) log(1) nn bnan n ， 1111 (1)1 n bn nnn ，（9 分） 12 1111111111 1 122311 n n S bbb
27、nnn 又易知函数 1 ( )1 1 f x x 在1, )上是增函数，且( )1f x ，而 1 1 2 S ，所以 1 1 2 n S（12 分） 18（12 分） 【解析】（1）因为平面 11 BCC B 平面 11 ABB A，平面 11 BCC B平面 111 ABB ABB，且 111 C BBB， 所以 11 C B 平面 11 ABB A，故 111 C BAB（2 分） 在 11 AAB中， 111 12ABABAB， 11 5BBAA， 所以 222 1111 ABABAA，故 111 ABAB （4 分） 又 11111 C BABB，所以 1 AB 平面 111 ABC
28、， 又 11 AC 平面 111 ABC，所以 111 ABAC（6 分） （2）由（1）可知， 11 C B 平面 11 ABB A， 所以 11 C AB为 1 AC与平面 11 ABB A所成的角， 由已知可得 11 3 C AB ，故 11 1 tan3 3 C B AB ，所以 11 2 3C B （7 分） 又 111 ABAB ，如图，以 1 B为坐标原点，分别以 11111 ,B A B A BC所在直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标 系，则 (0,2,0)A ， ( 1,2,0)B ， 1(0,0,2 3) C，( 1,2,2 3)C 所以( 1,0,0)AB ， 1
29、 (0, 2,2 3)AC ，( 1,0,2 3)AC （8 分） 设平面 1 ABC的法向量为 111 ( ,)x y zm ， 则由 1 AB AC m m ，可得 1 111 0 22 30 ABx ACyz m m ，即 1 11 0 30 x yz 令 1 3y ，则 1 1z 所以 (0, 3,1)m是平面 1 ABC的一个法向量（9 分） 设平面 1 CAC的法向量为 222 (,)xyzn， 则由 1 AC AC n n ，可得 122 22 22 30 2 30 ACyz ACxz n n ，即 22 22 30 2 30 yz xz 令 2 1z ，所以 (2 3, 3,1
30、)n是平面 1 CAC的一个法向量（10 分） 所以 22222 33141 cos, |242 ( 3)1(2 3)( 3)1 m n m n mn 设二面角 1 CACB的平面角为，由图可得(0,) 2 ， 所以 1 coscos, 2 m n，所以二面角 1 CACB的平面角为 3 （12 分） 19（12 分） 【解析】（1）由 6 3 c e a ，得 222 2 3 1 3 bacc aaa ，即3ab 又因为点( 3,1)N在椭圆上， 所以 22 22 ( 3)1 1 ab ，解得 2 2 6 2 a b ， 故椭圆C的标准方程为 22 1 62 xy （4 分） （2）设 11
31、 (,)P x y、 22 (,)Q xy 直线l的斜率显然存在，设为k，则直线l的方程为 (3)yk x 将直线l与椭圆C的方程联立得： 22 (3) 1 62 yk x xy ， 消去y，整理得 2222 (31)182760kxk xk， （6 分） 2 2222 ( 18)4 (31)(276)12(32)0kkkk ， 2 2 3 k 由根与系数之间的关系可得： 2 12 2 18 31 k xx k ， 2 12 2 276 31 k xx k （8 分） 点P关于x轴的对称点为 P ，则 11 (,)P xy 直线P Q 的斜率 21 21 yy k xx ， 直线P Q 的方程
32、为： 21 11 21 () yy yyxx xx ，（9 分） 即 2121 11 2121 () yyxx yxxy xxyy 21211211 2121 ()() yyyy xxx y x xxyy 211221 2121 () yyx yx y x xxyy 211221 2121 (3)(3) (3)(3) yyx k xx k x x xxk xk x 211212 2112 23() 6 yyx xxx x xxxx 22 22 21 2 21 2 27618 23 3131 () 18 6 31 kk yy kk x kxx k 21 21 (2) yy x xx 直线P Q
33、过x轴上的定点(2,0)（12 分） 20（12 分） 【解析】（1）当 1 2 a 时， 2 1 ( )ln (0) 2 f xxx x，则 2 11 ( )= x fxx xx 1 e e x, ，令 ( )0fx ，得=1x（2 分） 1 1) e x,时，( )0fx ， ( )f x单调递减；(1 ex , 时， ( )0fx ， ( )f x单调递增 又 2 2 11e ( )+1(e)1 e2e2 ff， 1 e e x, 时， ( )f x的最大值为 2 e (e)1 2 f，最小值为 11 (1)ln1 22 f （5 分） （2）设 ( )( )( )h xf xg x ，
34、则 2 1 ( )()2ln 2 h xaxaxx， 1(1)(21)1 ( )(21)2 xax h xaxa xx (1,)x ，( )( )f xg x 恒成立，等价于当1x 时， ( )0h x 恒成立，（7 分） 当 1 1 2 a时， 在 1 (1,) 21a 上， ( )0h x ， 函数 ( )h x单调递减， 在 1 () 21a ， 上， ( )0h x ， 函数 ( )h x 单调递增， 又 2 414444 ()()()2 ()ln()ln()ln20 21221212121 aaaaa haa aaaaa ，不合题意； 当1a 时， ( )0h x ， ( )h x在
35、(1), 上单调递增， 又 2 212224 ()()()2 ()ln()ln()ln20 1111 221 2222 aaaaa haa a aaaa ，不合题意；（9 分） 当 1 2 a 时， ( )0h x ，( ) h x在(1), 上单调递减， 当1x 时，( ) 0h x 恒成立 11 (1)0 22 haa ， 11 22 a （11 分） 综上所述，a 的取值范围为 1 1 , 2 2 （12 分） 21（12 分） 【解析】（1）由题意， 465656666676 0.010 100.020 100.045 100.020 10 222 x 76868696 0.005 1
36、0 22 70（2 分） 样本方差 2 100s ，故 2 10s ，所以 2 (70,10 )X N， 所以该企业生产的产品为正品的概率 1 (6090)(6070)(7090)(0.6827 2 PPXPXPX 0.9545)0.8186 （5 分） （2）从2n 件正品中任选两个，有 2 2 Cn种选法，其中等级相同有 22 2 CC n 种选法， 某箱产品抽检被记为 B 的概率为 222 2 222 2 CC2 11 C3232 4 n n nnn p nnnn （7 分） 由题意，一箱产品抽检被记为 B 的概率为p，则 5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率 33232345 5
37、( )C(1)10(1 2)10(2)f ppppppppp， 所以 234222 ( )10(385)10(3 85)10(1)(53)fpppppppppp，（9 分） 所以当 3 (0, ) 5 p时，( )0fp，函数( )f p单调递增； 当 3 ( ,1) 5 p时，( )0fp，函数( )f p单调递减 所以当 3 5 p 时，( )f p取得最大值，最大值为 332 5 333216 ( )C( )(1) 555625 f（10 分） 由 2 43 325 n nn ，解得3n 3n 时，5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率最大，最大值为 216 625 （12 分） 22
38、选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 【解析】（1）由 4cos 44sin x y ，可得 4cos 44sin x y ， 22 得 22 4()16xy， 所以曲线C的普通方程为 22 4()16xy，（3 分） 将 cos sin x y 代入 cossin10tt ，可得曲线T的直角坐标方程为 10txyt （5 分） （2）由（1）得直线T的方程为( 1)(1)0t xy ，故直线T恒过点 ( 1,1)P 曲线C的圆心为 (0,4)C ，半径4r ， 因为 22 (1|( 1)104)PCr，所以点P在圆C内，所以圆C与直线T恒相交（8 分） 所以| |MN的最小值为 222
39、 2|2 4102 6rPC，| |MN的最大值为28r （10 分） 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 【解析】 （1）当3a 时， ( ) |2| 3|1|f xxx ，不等式 ( )6f x 可化为| 2| 3|1| 6xx （1 分） 当2x 时，不等式可化为2336xx ，即45x，无解； 当21x 时，不等式可化为2336xx，即21x，解得 1 1 2 x；（3 分） 当1x 时，不等式可化为2336xx，即47x ，解得 7 1 4 x ， 综上，可得 17 24 x ，故不等式 ( )6f x 的解集为 1 7 (,) 2 4 （5 分） （2）当 1 2 x 时，不等式 2 ( )3f xxx，即 2 2 |3|3xaxxx ，整理得 2 |3|1axx， 即 22 131xaxx ，即 22 24xaxx，因为 1 2 x ，所以分离参数可得 2 4 ax x ax x （8 分） 显然函数 2 ( )g xx x 在 1 ,) 2 上单调递减，所以 17 ( )( ) 22 g xg ， 而函数 44 ( )24h xxx xx ，当且仅当 4 x x ，即2x 时取等号， 所以实数a的取值范围为 7 ,4 2 （10 分）
