1、材料力学附附 录录平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学一、定一、定 义义1、静矩、静矩oyzAdAyz AydAzS AzdAyS图形对图形对y轴的静矩轴的静矩图形对图形对z轴的静矩轴的静矩单位：单位：3m平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学 讨论讨论（1）静矩可）静矩可 0；0；0。（2）若图形形心）若图形形心C已知，由静力学可知：已知，由静力学可知：oyzACczcyAydAyAcASzAzdAzAcASy（3）求静矩的另一公式：）求静矩的另一公式：AySczAzScy平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学（3）若）若yzAC,0,0cczy则则.0,0yzSS若图形
2、对某一轴的静距等于零，若图形对某一轴的静距等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，则该轴必然通过图形的形心；反之，某一轴通过形心，则图形对该轴的静某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。矩等于零。平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学2、惯性矩、惯性矩oyzAdAyz AydAzI AzdAyI图形对图形对y轴的惯性矩轴的惯性矩图形对图形对z轴的惯性矩轴的惯性矩单位：单位：4m平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学 讨论讨论（1）惯性矩恒）惯性矩恒 0；（2）,2AiIyyAiIzz2所以所以,AIiyyAIizzzyii,惯性半径惯性半径（单位：（单位：）m平面图形的几何性质平
3、面图形的几何性质材料力学3、极惯性矩、极惯性矩oyzAdAyzAPdAI2图形对图形对o点的极惯性矩点的极惯性矩单位：单位：4m 讨论讨论（1）222yz APdAI2AdAyz)(22AAdAydAz22zyII 平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学oyzAdAyzyzzy222yz且且APdAI2AdAyz)(22zyII即即对对o o点极惯矩点极惯矩 =对过对过o o点同一平面内任意一点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和对相互垂直轴的惯矩之和平面图形的几何性质平面图形的几何性质zyII 材料力学PI所以所以 只与原点只与原点o有关，即有关，即constIIzy（2）0,0y
4、zII0恒pI平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学4、惯性积、惯性积AyzyzdAI图形对图形对y、z两轴的惯性积两轴的惯性积单位：单位：4moyzAdAyz 讨论讨论（1）可可 0；0；0；yzI（2）若坐标轴）若坐标轴y或或z中有一根是图形的对称轴，则：中有一根是图形的对称轴，则：0yzI平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学yzIAIIAIIIAIVAIIIAAyzdAyzdAIVIIIAAyzdAyzdAIAyzyzdAIIIAyzdAIVIIIAAyzdAyzdA0（3）若）若,0yzI则则y、z轴称为轴称为主惯性轴（主轴）主惯性轴（主轴）。对称轴一定是主轴，主轴不一定
5、是对称轴。对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。通过形心的主轴称为形心主惯性轴。通过形心的主轴称为形心主惯性轴。平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学yzbh例：例：1、矩形。求、矩形。求zyyzyzyziiIIISS,解：解：.0,0yzSS（1）（2）dAzIAy2zdz222hhbdzz2233hhzb3121bh同理同理dAyIAz23121hbAIiyyAIizz,63hb63c平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学（3）AyzyzdAI0例：例：2、圆形。、圆形。yzd已知已知APdAI24321d则则pzyIIIzyII 而而所以所以zyII pI214641d平面图
6、形的几何性质平面图形的几何性质材料力学二、组合图形的几何性质二、组合图形的几何性质dD根据定义：根据定义：整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积）等于各个）等于各个分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积）之和。）之和。平面图形的几何性质平面图形的几何性质IIIIIIyz材料力学例如例如:IIIIIIAAAA则则dAzIAy2IIIIIIyzdAzdAzdAzIIIIIIAAA222yIIIyIIyIIIImiyiI1同理同理,1mizizII,1mizizSS,1miyiySSmiyziyzII1平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力
7、学空心圆空心圆小大PPPIII44321321dD)1(32144D其中其中Dd小大zzzyIIII)1(64144D平面图形的几何性质平面图形的几何性质dDyz材料力学IIIIIIyz31iyiyIIy1平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学A三、平行移轴公式三、平行移轴公式CyzdAyzo1y1zba1z1y已知已知:,yzyzIII(y、z轴过形心轴过形心C)求求1111,zyyzIII及),(11zzyy解：解：,1bzz,1ayy代入定义式：代入定义式：平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学ACyzdAyzo1y1zba1z1ydAzIAy211dAbzA2)(dAbdA
8、zbdAzAAA222AbbSIyy22AbIIyy21同理同理AaIIzz21dAzyIAzy1111dAaybzA)(dAabdAbydAazdAyzAAAA00abAIyz平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学平行移轴公式平行移轴公式AbIIyy21AaIIzz21abAIIyzzy11 注意：注意：ACyzdAyzo1y1zba1z1y平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学20cm3173例：例：T字形截面字形截面,求其对形心轴的惯性矩。求其对形心轴的惯性矩。解解:(1)求形心求形心zyC1yczcz1y任选参考坐标系任选参考坐标系,如如cyzAS1IIIIIyIyySSS
9、111而而IIIAAAASzyc1IIIIIyIyAASS11173203)5.83(173)5.1(203cm1.6平面图形的几何性质平面图形的几何性质y1材料力学,zcIycI(2)求求IIzcIzczcIII3331712120312142048 cmIIycIycycIII20cm3173zyC1yczczIII)5.1(32032012123cz)5.8(31717312123cz44030 cm平面图形的几何性质平面图形的几何性质y1材料力学四、转轴公式四、转轴公式oyzAdAyz1z1y1y1z设一平面图形设一平面图形,已知已知 求求,yzyzIIIA1111,zyyzIII解解
10、:sincos1zyysincos1yzzAydAzI211AdAyz2)sincos(AdAz22cosAyzdAcossin2AdAy22sin22sin2sincoszyzyIII平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学oyzAdAyz1z1y1y1z同理同理22sin2sincos1yyzzzIIII改写为改写为2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2sin2cos221yzzyzyyIIIIII并且并且constIIIIzyzy11 角从原始坐标轴量起角从原始坐标轴量起,逆时针转向为正逆时针转向为正,反之则为负反之则为负.平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学oy
11、zAdAyz1z1y1y1zAzydAzyI1111AdAyzzy)sincos)(sincos(AdAyzcossin)(22AyzdA)sin(cos222cos2sin)(21yzzyIII平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学五、主惯性轴及主惯性矩五、主惯性轴及主惯性矩oyzAdAyz0z0y00若若,000zyI则则 轴称为轴称为主惯性轴（主轴）主惯性轴（主轴）。00,zy如坐标原点与形心重合如坐标原点与形心重合,则称为形心主惯性轴。则称为形心主惯性轴。对主惯性轴的的惯矩称为对主惯性轴的的惯矩称为主惯性矩主惯性矩平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学方向方向 的求解的求解
12、:002cos2sin)(210000yzzyzyIIIIzyyzIIItg220代入代入,得主惯矩为得主惯矩为002sin2cos220yzzyzyyIIIIII002sin2sin220yzzyzyzIIIIII平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学求求 minmax,II02cos22sin)(1yzzyyIIIddIzyyzIIItg2202tg因此主惯性轴的惯性矩因此主惯性轴的惯性矩 即过即过o o点各轴中的惯矩极值点各轴中的惯矩极值.00,zyII可求得可求得:00max2sin2cos22yzzyzyIIIIII00min2sin2sin22yzzyzyIIIIII0zI0yI平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学定理定理:截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯轴截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯轴,则则 所有通过该点的轴都是主惯轴所有通过该点的轴都是主惯轴.推论推论:(1)当当截面图形过某点的一对主惯轴的惯矩相等截面图形过某点的一对主惯轴的惯矩相等,则过则过该点的轴都是主惯轴该点的轴都是主惯轴.(2)任何具有三个或三个以上对称轴的任何具有三个或三个以上对称轴的截面图形截面图形,它它所有的形心轴都是主惯轴所有的形心轴都是主惯轴,且惯矩相等且惯矩相等.平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学FF/nF/nF/nF/nFF1F2TFQ
