1、第一章数列第1课时数列的概念一 自“学”提纲（一）知识点1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定排列的一列数叫做数列.（2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的.（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为：.数列的第1项a1也称，an是数列的第n项，叫数列的.2.数列的分类项数有限的数列叫作，项数无限的数列叫作.3.数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n)，那么式子叫作数列an的.4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：、.（二）预习自测1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前项分别是下列个数: (1) (2)2
2、.根据下面数列的通项公式,写出前项.(1) (2) (3)二典型“导”例例1下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4;(4)1,-1,1,-1,1,-1;(5)6,6,6,6,6.例2写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,;(2) ，；(3) ,2, ，8，;(4) ，.变式应用写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31，;（2）1，；（3）0.9，0.99，0.999， 0.，.例3在数列an中通项公式是an（-1）n-1,写出该数列的前
3、5项，并判断是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由. 变式应用以下四个数中，哪个是数列n（n1）中的项（）A. 380B. 39C. 32D.23 例4在数列an中，a1=2,a2=1,且an+2=3an+1-an,求a6+a4-3a5.变式应用4已知数列an的首项a1=1,an=2an-1+1(n2)，那么a5=.例5已知数列an的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列an的通项公式的有（） an=1+(-1) n+1;an=sin2，(nN+);an=1+(-1) n+1+(n-1)(n-2);an=; 1(n为偶数)an= 0(n为奇数)A. 4个B. 3个C
4、. 2个D. 1个三练习反馈一、选择题1.数列，2，则2是该数列的（）A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项2.数列0，的通项公式为（）A.an=B.an=C.an=D.an=3.数列1，3，6，10，x，21，中，x的值是（）A.12B.13C.15D.16二、填空题4.已知数列an的通项公式为an=2n+1,则ak+1=.5.已知数列an的通项公式an= (nN+),则是这个数列的第项.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式.(1)-1,1,-1,1;(2)-3,12,-27,48;(3) ，,，;(4) ，.四归纳总结1知识方面：2思想与方法方面：3典型题
5、型第2课时数列的函数特性一 自“学”提纲（一）知识点1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.（2）一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；（5）如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫做数列.2.数列的递推公式如果已知数列的(或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就
6、叫做这个数列的公式.3.an与Sn的关系 S1(n=1) 若数列an的前n项和记为Sn，即Sn=a1+a2+an,则an= (n2)（二） 预习自测1. 已知数列中的首项且满足此数列的第三项是( )A. 1 B. C. D. 2. 已知数列满足则这个数列的前5项分别为_ .3. 写出下列数列的前5项：(1) (2) 二典型“导”例例1(1)根据数列的通项公式填表：n125nan1533(3+4n) (2)画出数列an的图像，其中an=3n-1. 例2已知函数f(x)=2x-2-x，数列an满足f(log2an) =-2n.(1)求数列an的通项公式；（2）求证数列an是递减数列. 变式应用2写
7、出数列1, ,的通项公式，并判断它的增减性. 例3求数列-2n2+9n+3中的最大项. 变式应用3已知数列an的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.例4在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：该人在A公司工作比在B公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元). 变式应用4某企业由于受2011年国家
8、财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列an，满足an=2n2-15n+3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？ 例5已知an=a（）n(a0且a为常数)，试判断数列an的单调性.三练习反馈一、选择题1.已知数列an,a1=1,an-an-1n-1(n2)，则a6=（）A.7B.11C.16D.172.(2012济南高二检测)数列an中，an=-n2+11n,则此数列最大项的值是（）A. B.30C.31D.32二、填空题4.已知f(1)=2,f(n+1)= (nN+),则f(4)=.5.已知数列an中，an=an+m(a0时，an是数列；当d=0时，an是数列；当d0时，
9、an是数列.（二） 预习自测1. 在下列选项中选出等差数列_（1） -1,1,3(2) 12,22,32,42(3)0,1,2,3,5,6（4）满足通项公式an=2n的数列 （5）满足递推关系an+1=an+3的数列(n为正整数）（6）满足通项公式an=的数列 （7）3,3,3,3,. (8) 9,8,72. 等差数列中，首项a1=4，公差d=-2，则通项公式为_ 3. 等差数列中，第三项a3=0，公差d=-2，则a1=_，通项公式为_4. 等差数列的通项公式为，则它的公差为（ ）A2 B. 3 C. -2 D. -3二典型“导”例例1判断下列数列是否为等差数列.（1）an=3n+2；（2）a
10、n=n2+n. 1 n=1变式应用1试判断数列cn，cn= 是否为等差数列. 2n-5n2例2已知数列an为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11. 变式应用2已知等差数列an中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项. 例3已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？ 变式应用3已知数列xn的首项x1=3,通项xn=2np+nq(nN,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值. 例4某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规
11、律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？ 例5已知数列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3).（1）判断数列an是否为等差数列？说明理由；（2）求an的通项公式.三 练习反馈一、选择题1.（2011重庆文，1）在等差数列an中,a2=2,a3=4,则a10=（）A.12B.14C.1
12、6D.182.已知等差数列an的通项公式an=3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.2D.33.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4 二、填空题4.在等差数列an中，a2=3,a4=a2+8,则a6=.5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a0)的图像与x轴的交点有 个.三、解答题6.在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求通项公式an.四归纳总结 1知识方面：2思想与方法方面：3典型题型第2课时等差数列的性质 一自“学”提纲（一）知识点1.等差数列的项与序号的性质（1）两项关系通项公式的推广：an=am+(m、nN+)
13、.(2)多项关系项的运算性质：若m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则=ap+aq.特别地，若m+n=2p(m、n、pN+)，则am+an=.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a1+an=a2+=ak+=2a (其中n为奇数且n3).3.等差数列的性质（1）若an是公差为d的等差数列，则下列数列：c+an(c为任一常数)是公差为的等差数列；can(c为任一常数)是公差为的等差数列；ank(kN+)是公差为的等差数列.(2)若an、bn分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列pan+qbn(p、q是常数)是
14、公差为的等差数列.（二） 预习自测 1在等差数列中，是方程的两根，求a6的值。 2在等差数列中，a4+a6+a8=12,则a1+a11的值是_3、若an是等差数列，a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=2，则a5+a6+a7=_4、等差数列的首项为a1=2，公差d=2，取出它的奇数项组成的新数列是否为等差数列？_；其通项公式是_；取出它的项数为7倍数的项，组成的新数列是否等差数列_。二典型“导”例例1若数列an为等差数列，ap=q,aq=p(pq)，则ap+q为（）A.p+qB.0C.-(p+q) D.变式应用1已知an为等差数列，a15=8,a60=20,求a75.例2在等差数列an中，已
15、知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求数列的通项公式.变式应用2在等差数列an中，若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为（）A.20B.30C.40D.50例3已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数. 变式应用3已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数. 例4在等差数列an中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=. 三练习反馈一、选择题1.已知an为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A.4B.5C.6D.72.如果等差数列an中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7=（）A.
16、14B.21C.28D.353.等差数列an中，a4+a5=15,a7=12,则a2=（）A.3B.-3C. D.- 二、填空题4.在等差数列an中，a3=7,a5=a2+6，则a6=.5.等差数列an中，若a2+a4022=4,则a2012.四归纳总结 1知识方面：2思想与方法方面：3典型题型第3课时等差数列的前n项和一、自“学”提纲（一）知识点1.等差数列的前n项和公式若数列an是等差数列，首项为a1,公差为d,则前n项和Sn=.2.等差数列前n项和的性质（1）等差数列an的前k项和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成公差为的等差数列.（2）等差数列an的前n项和为Sn,则也是
17、.（二）预习自测1. 已知等差数列中，首项，则前8项和=_ 2已知等差数列中，首项，则前8项和=_ 3已知数列的前项和公式=，则=_二、典型“导”例有关等差数列的基本量的运算例1已知等差数列an中，（1）a1=,d=-,Sn=-15,求n和an;（2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差d.变式应用1在等差数列an中，（1）已知a6=10,S5=5,求a8和S8;（2）已知a3+a15=40,求S17.例2一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.变式应用2已知等差数列an的前n项和为Sn,且Sm=70，S2m=110,则S3m.例3已知数列an
18、是等差数列，a1=50,d=-0.6.(1)从第几项开始有an0,d0.则Sn存在最值；a10，则Sn存在最值.3.等差数列奇数项与偶数项的性质（1）若项数为2n，则S偶-S奇，.(2)若项数为2n-1,则S奇-S偶，.（二）预习自测1.已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为_.2.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27二、典型“导”例例1已知数列an的前n项和Sn=-n2+n,求数列an的通项公式an.变式应用1Sn是数列an的前n项和，根据条件求an.（1）Sn=2n2+3
19、n2；（2）Sn=3n-1.例2已知数列an的前n项和Sn=12n-n2,求数列|an|的前n项和Tn.变式应用2等差数列an的前n项和为Sn=-5n2+20n，求数列|an|的前n项和Sn.等差数列前n项和性质例3项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.变式应用3在等差数列an中，前12项和为354，前12项中奇数项的和与偶数项的和之比为27：32,求公差d.例4从5月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，5月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到5月13日销售量达到最大，然后，每
20、天销售的件数分别递减10件.（1）记该款服装五月份日销售量与销售天数n的关系为an，求an；（2）求五月份的总销售量；（3）按规律，当该商场销售此服装超过1300件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由.例5已知数列an的前n项和Sn满足关系式lg(Sn+1) =n+1(n=1,2,),试求数列an的通项公式.三、练习反馈一、选择题1.已知等差数列an中,前15项之和为S15=90,则a8等于（）A.6B. C.12D. 2.若数列an的前n项和Sn=n2,则（）A.an=2n-1B.an=2n+1C.an=
21、-2n-1D.an=-2n+13.已知等差数列共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1等于（）A.30B.29C.28D.27二、填空题4.在等差数列an中，a5+a10=58,a4+a9=50,则它的前10项和为.5.（2011辽宁文，15）Sn为等差数列an的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5.四、归纳总结 1知识方面：2思想与方法方面：3典型题型3等 比 数 列第1课时等比数列的概念及通项公式一、自“学”提纲（一）知识点1.等比数列的定义如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示.
22、2.等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列an的首项为a1,公比为q(q0),填表：递推公式通项公式=q(n2)an=3.等比中项（1）如果三个数x,G,y组成，则G叫做x和y的等比中项.（2）如果G是x和y的等比中项，那么,即.（二)预习自测1.在等比数列中:(1) (2) (3) 2.利用电子邮件传播病毒的例子中,如果第一轮感染的计算机数是80台， 并且从第一轮开始起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机(一台只能感染一轮)，到第五轮可以感染到_台计算机。二、典型“导”例例1已知数列an的前n项和Sn=2an+1,求证：an是等比数列，并求出通项公式.变式应用2已知等比数
23、列an中，a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 例3等比数列an的前三项的和为168，a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.变式应用3若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a的值.命题方向等比数列的实际应用例4据中国青年报2004年11月9日报导，卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：前我国艾滋病的流行趋势处于世界第14位，在亚洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增，我国已经处于艾滋病暴发流行的前沿，我国政府正在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我国艾滋病感染者至少有80万人，若不采取任何防治措施，则至少到公元年后，我国艾滋病毒感染者将超过1000万人.
24、(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg7=0.8451)例5在等比数列an中，a5、a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，试求a7.三、练习反馈一、选择题1.若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为（）A.3B.4C.5D.62.若an为等比数列，且2a4=a6-a5，则公比是（）A.0B.1或-2C.-1或2D.-1或-23.等比数列an中，a4=4,则a2a6等于（）A.4B.8C.16D.32二、填空题4.2+与2-的等比中项为.5.下列各组数成等比数列的是.1,-2,4,-8;-,2,-2,4;x,x2,x3,x4;a-1,a-2,a-3,a-4.三、
25、解答题6.已知等比数列an中，a1=,a7=27,求an.四、归纳总结 1知识方面：2思想与方法方面：3典型题型第2课时等比数列的性质一、自学“提”纲（一）知识点1.等比数列的项与序号的关系（1）两项关系通项公式的推广：an=am (m、nN+).(2)多项关系项的运算性质若m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则aman=.特别地，若m+n=2p(m、n、pN+），则aman.2.等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即 a1ana2=ak =a2 (n为正奇数).(二）预习自测1、在等比数列中，且，则等于（ ）
26、A、 B、 C、 D、52在等比数列中，如果，那么 ； 3.已知是等比数列，若则= 二、典型“导”例例1在等比数列an中，若a2=2,a6=162,求a10.变式应用1已知数列an是各项为正的等比数列，且q1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.例2在等比数列an中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11=（）A.10B.25C.50D.75.变式应用2在等比数列an中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.例3试判断能否构成一个等比数列an，使其满足下列三个条件：a1+a6=11;a3a4=;至少存在一个自然数m,使am-1,am,am+1+依次成等差数
27、列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.变式应用3在等差数列an中，公差d0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，求数列kn的通项kn.名师辨误做答例4四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1，求这个等比数列的公比.三、练习反馈一、选择题1.在等比数列an中，若 a6=6,a9=9,则a3等于（）A.4B. C. D.32.在等比数列an中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于（）A.90B.30C.70D.403.如果数列an是等比数列，那么（）A.数列a2n是等比数列B.数列2an是等比数列C.数列
28、lgan是等比数列 D.数列nan是等比数列二、填空题4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.5.在等比数列an中，公比q=2,a5=6,则a8=.三、解答题6.已知an为等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.四、归纳总结 1知识方面：2思想与方法方面：3典型题型第3课时等比数列的前n项和一、自学“提”纲（一）知识点1.等比数列前n项和公式（1）等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1时，Sn=;当q=1时，Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列an的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q0,q1，则数列an为.（
29、2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.（二）预习自测1. 等比数列前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比q等于 （ ）A2 B. -2 C.2或 -2 D. 2或12. 等比数列共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则_ 3. 某企业去年的产值是138万元，计划在今后5年内每年比上一年产值增长，这五年的总产值是_.二、典型“导”例例1设数列an是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.变式应用1在等比数列an中,已知S3=,S6=,求an.例2在等比数列an中，已知Sn=48,S2n=60,求S3
30、n.说明等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2等比数列an中，S2=7，S6=91,求S4.例3某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg20.3)变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利
31、息为10，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？例4求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前n项和.三、练习反馈 一、选择题1.等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）A.2 B.4C. D. 2.等比数列an的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A.-2B.1C.-2或1D.2或-13.等比数列2n的前n项和Sn=（）A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2二、填空题4.若数列an满足：a1=1,an+1=2an（nN+），则a5
32、=;前8项的和S8=.（用数字作答）5.在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.三、解答题6.在等比数列an中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求数列an的前8项和.四、归纳总结 1知识方面：2思想与方法方面：3典型题型第4课时等比数列的综合应用一自学“提”纲（一）知识点1.在等比数列的前n项和公式Sn=中，如果令A=，那么Sn=.2.若Sn表示数列an的前n项和，且Sn=Aqn-A(A0， q0且q1)，则数列an是.3.在等比数列an中，Sn为其前n项和.(1)当q=-1且k为偶数时，Sk,S2k-Sk，S3k-S2k (kN+);(2)
33、当q-1或k为奇数时，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k (kN+).（二）预习自测1.等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项和为？2.正项等比数列中，S2=7，S6=91则S4？二、典型“导”例例1(1)等比数列an，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比数列bn中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求a8.变式应用1已知an是等比数列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.例2各项都是正实数的等比数列an，前n项的和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于（）A.150B.-200C.1
34、50或-200D.400或-50变式应用2等比数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=20,则S15等于.例3求数列1，3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1的前n项和（a0）.变式应用3求数列n2n的前n项和Sn.例4若数列an的前n项和为Sn=an-1（a0），则数列an是（）A.等比数列B.等差数列C.可能是等比数列，也可能是等差数列D.可能是等比数列，但不可能是等差数列三、练习反馈一、选择题1.（2011辽宁文，5）若等比数列an满足anan+116n，则公比为（）A.2B.4C.8D.162.在各项为正数的等比数列中，若a5-a4=576,a2-a1=9,则a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A.1061B.1023C.1024D.
