1、4.4 多边形与平行四边形易错清单1. 平行四边形的性质.【例1】(2014湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使ABECDF,则添加的条件不能是().A. AE=CFB. BE=FDC. BF=DED. 1=2【解析】A.当AE=CF无法得出ABECDF,故此选项符合题意;B. 当BE=FD,平行四边形ABCD,AB=CD,ABE=CDF.在ABE和CDF中,ABECDF(SAS),故此选项错误;C. 当BF=ED,BE=DF.平行四边形ABCD,AB=CD,ABE=CDF.在ABE和CDF中,ABECDF(SAS),故此选项错误;D. 当1=2
2、,平行四边形ABCD,AB=CD,ABE=CDF.在ABE和CDF中,ABECDF(ASA),故此选项错误;【答案】A【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.2. 平行四边形的判定.【例2】(2014云南)如图,在平行四边形ABCD中,C=60,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=MN.【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得DNC的度
3、数,根据三角形外角的性质,可得DBC的度数,根据正切函数,可得答案.【答案】(1)ABCD是平行四边形,AD=BC,ADBC.M,N分别是AD,BC的中点,MD=NC,MDNC.四边形MNCD是平行四边形.(2)如图,连接ND,四边形MNCD是平行四边形,MN=DC.N是BC的中点,BN=CN.BC=2CD,C=60,NCD是等边三角形.ND=NC,DNC=60.DNC是BND的外角,NBD+NDB=DNC.DN=NC=NB,【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边
4、形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.名师点拨1. 掌握多边形内角和公式(n-2)180及外角和均为360这个特征.2. 会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.名师点拨1. 掌握多边形内角和公式(n-2)180及外角和均为360这个特征.2. 会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.提分策略1. 综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.【例1】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、B
5、C边上,且AE=CF.求证:(1)ABECDF;(2)四边形BFDE是平行四边形.【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得A=C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定ABECDF.(2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得ADBC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.【答案】(1)四边形ABCD是平行四边形,A=C,AB=CD.在ABE和CDF中,AB=CD,A=C,AE=CF,ABECDF(SAS).(2)四边
6、形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC.AE=CF,AD-AE=BC-CF,即DE=BF.四边形BFDE是平行四边形.2. 平行四边形的判定.利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2014甘肃白银)D,E分别是不等边三角形ABC(即ABBCAC)的边AB,AC的中点.O是ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形.【解析】根据三角形的中位线平
7、行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBC且DE=BC,GFBC且GF=BC,从而得到DEGF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;【答案】D,E分别是AB,AC边的中点,DEGF且DE=GF.四边形DEFG是平行四边形.3. 研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是().A. 正三角形B. 正六边形C. 正方形D. 正五边形【解析】A. 正三角形的一个内角度数为180-3603=60,是360的
8、因数,能镶嵌平面,不符合题意;B. 正六边形的一个内角度数为180-3606=120,是360的因数,能镶嵌平面,不符合题意;C. 正方形的一个内角度数为180-3604=90,是360的因数,能镶嵌平面,不符合题意;D. 正五边形的一个内角度数为180-3605=108,不是360的因数,不能镶嵌平面,符合题意.【答案】D(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是().A. 正方形和正六边形B. 正三角形和正方形C. 正三角形和
9、正六边形D. 正三角形、正方形和正六边形【解析】A选项,正方形和正六边形内角分别为90,120,由于90m+120n=360,得,显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;B选项,正三角形和正方形内角分别为60,90,由于603+902=360,故能铺满;C选项,正三角形和正六边形内角分别为60,120,由于602+1202=360,故能铺满;D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60,90,120,由于60+90+90+120=360,故能铺满.【答案】A专项训练一、 选择题1. (2014北京房山区二模)若正多边形的一个外角是36,则该正多边形为().A. 正八边形B. 正九
10、边形C. 正十边形D. 正十一边形2. (2014江苏常州模拟)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是().A. 当AB=BC时,它是菱形B. 当ACBD时,它是菱形C. 当ABC=90时,它是矩形D. 当AC=BD时,它是正方形3. (2014四川乐山模拟)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,PEF,PDC,PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于().A. 4B. 6C. 8D. 不能确定(第3题)(第4题)4. (2014安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,ABC=ADC=7
11、0,则DAO+DCO的大小是().A. 70B. 110C. 140D. 1505. (2013浙江海宁部分学校联考)如图,1,2,3,4是五边形ABCDE的外角,且1=2=3=4=70,则AED的度数是().A. 110B. 108C. 105D. 100(第5题)(第7题)6. (2013内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180,则该多边形的边数是().A. 5B. 6C. 7D. 87. (2013云南宣威模拟)如图,在平行四边形ABCD中,BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则BCD的度数为().A. 30B. 60或120C. 60D. 1208. (201
12、3陕西西安模拟)下面给出了四边形ABCD中A,B,C,D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是().A. 1234B. 2323C. 2345D. 1223二、 填空题9. (2014江苏南京二模)如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形ABCDE的顶点D落在直线BC上,则至少要旋转.(第9题)10. (2013湖北枣阳模拟)已知ABCD的周长为28,自顶点A作AEDC,垂足为E,AFBC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF=.三、 解答题11. (2014上海长宁区二模)如图,在ABC中,ACB=90,D,E分别是BC,BA的中点,连
13、接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证:四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (2014广东深圳模拟)已知:如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AEBD于点E,CFBD于点F,(1)求证:AEDCFB;(2)若ABC=75,ADB=30,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?(第12题)13. (2013浙江湖州中考模拟试卷)如图,ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若AD=AE=2,A=60,求四边形EBFD的周长.(第13题)参考答案与解析1. C解析多边形外角和均等于360,2. D解析 当AC=BD时,它
14、是矩形.因为对角线相等的平行四边形是矩形.3. C解析PEF的面积是2,PBC的面积是24=8.PDC,PAB的面积和等于PBC的面积均是平行四边形面积的一半,S1+S2=8.4. D解析BAO+BCO=ABO+CBO=ABC=70,所以BOA+BOC=360-140=220,所以AOC=140.5. D解析本题考查多边形的内角和,外角和的概念.6. C解析(n-2)180=3360-180.7. D解析ABE是等边三角形.8. B解析平行四边形对角相等.9. 72解析正五边形每个内角相等,均等于, 至少旋转180-108=72后新五边形ABCDE的顶点D落在直线BC上.11. ACB=90,
15、 E是BA的中点,CE=AE=BE.AF=AE,AF=CE.在BEC中,BE=CE且D是BC的中点,ED是等腰三角形BEC底边上的中线.ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.1=2.AEC=180-1-2=180-21.AF=AE,F=3 .1=3,1=F=3.在AEF中,FAE=180-3-F=180-21.AEC=F AE,CEAF.又CE=AF,四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (1)平行四边形ABCD,AD=BC,ADBC.ADE=CBF.又AEBD于点E,CFBD于点F,AED=CFB=90.AEDCFB (AAS) .(2)在RtAED中,ADE=30,AE=3,AD=2AE=23=6.ABC=75,ADB=CBD=30,ABE=45 .13. (1)在ABCD中,AB=CD,ABCD.E,F分别是AB,CD的中点,BE=DF.四边形EBFD是平行四边形.(2)AD=AE,A=60,ADE是等边三角形.DE=AD=2.又BE=AE=2,由(1)知四边形EBFD是平行四边形,四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8.
