1、2019 年四川省宜宾市中考数学试卷年四川省宜宾市中考数学试卷 一、选择题一、选择题:(本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 24 分分)在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。 1 （3 分）2 的倒数是（ ） A B2 C D 2 （3 分）人体中枢神经系统中约含有 1 千亿个神经元，某种神经元的直径约为 52 微米， 52 微米为 0.000052 米将 0.000052 用科学记数法表示为（ ） A5.210 6 B5.210 5
2、 C5210 6 D5210 5 3 （3 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，E 是 DC 上一点，DE1，将ADE 绕着点 A 顺时针旋转到与ABF 重合，则 EF（ ） A B C5 D2 4 （3 分）一元二次方程 x22x+b0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1+x2为（ ） A2 Bb C2 Db 5 （3 分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯 视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（ ） A10 B9 C8 D7 6 （3 分）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩： 次数 环数 运动员 第 1 次 第 2 次 第
3、3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 甲 10 7 7 8 8 8 9 7 乙 10 5 5 8 9 9 8 10 根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为 s甲 2，s 乙 2， 则下列结论正确的是（ ） A，s甲 2s 乙 2 B，s甲 2s 乙 2 C，s甲 2s 乙 2 D，s甲 2s 乙 2 7 （3 分） 如图， EOF 的顶点 O 是边长为 2 的等边ABC 的重心， EOF 的两边与ABC 的边交于 E， F， EOF120， 则EOF 与ABC 的边所围成阴影部分的面积是 （ ） A B C D 8 （3 分）已知抛物线 yx2
4、1 与 y 轴交于点 A，与直线 ykx（k 为任意实数）相交于 B， C 两点，则下列结论不正确的是（ ） A存在实数 k，使得ABC 为等腰三角形 B存在实数 k，使得ABC 的内角中有两角分别为 30和 60 C任意实数 k，使得ABC 都为直角三角形 D存在实数 k，使得ABC 为等边三角形 二、填空题二、填空题:(本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 24 分分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。请把答案直接填在答题卡对应题中横上。 9 （3 分）分解因式：b2+c2+2bca2 10 （3 分）如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，ADBC，则DAB
5、11 （3 分）将抛物线 y2x2的图象，向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象 的解析式为 12（3 分） 如图， 已知直角ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高， AC4， BC3， 则 AD 13 （3 分）某产品每件的生产成本为 50 元，原定销售价 65 元，经市场预测，从现在开始 的第一季度销售价格将下降 10%， 第二季度又将回升 5% 若要使半年以后的销售利润不 变，设每个季度平均降低成本的百分率为 x，根据题意可列方程是 14 （3 分）若关于 x 的不等式组有且只有两个整数解，则 m 的取值范围 是 15 （3 分）如图，O 的两条相交弦 AC、BD，AC
6、BCDB60，AC2，则O 的面积是 16 （3 分）如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且点 A、C、E 在同一直线上，AD 与 BE、BC 分别交于点 F、M，BE 与 CD 交于点 N下列结论正确的是 （写出所有 正确结论的序号） AMBN；ABFDNF；FMC+FNC180； 三、解答题三、解答题:(本大题共本大题共 8 小题小题,共共 72 分分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） （1）计算： （2019）02 1+|1|+sin245 （2）化简：（+） 18 （6 分）如图，ABAD，ACAE，BAEDAC求
7、证：CE 19 （8 分）某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、 二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获 得纪念奖有 17 人，获得三等奖有 10 人，并制作了如图不完整的统计图 （1）求三个年级获奖总人数； （2）请补全扇形统计图的数据； （3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占，其余为九年级的同学，现从 获一等奖的同学中选 2 名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的 2 人 中既有七年级又有九年级同学的概率 20 （8 分）甲、乙两辆货车分别从 A、B 两城同时沿高速公路向 C 城运送货物已知 A、C
8、 两城相距 450 千米，B、C 两城的路程为 440 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/小时， 甲车比乙车早半小时到达 C 城求两车的速度 21 （8 分）如图，为了测得某建筑物的高度 AB，在 C 处用高为 1 米的测角仪 CF，测得该 建筑物顶端 A 的仰角为 45，再向建筑物方向前进 40 米，又测得该建筑物顶端 A 的仰 角为 60求该建筑物的高度 AB （结果保留根号） 22 （10 分）如图，已知反比例函数 y（k0）的图象和一次函数 yx+b 的图象都过 点 P（1，m） ，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 A，O 为坐标原点，OAP 的面积为 1 （1）求反比例函数和一
9、次函数的解析式； （2） 设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为 M， 过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 B， 求五边形 OAPMB 的面积 23 （10 分）如图，线段 AB 经过O 的圆心 O，交O 于 A、C 两点，BC1，AD 为O 的弦，连结 BD，BADABD30，连结 DO 并延长交O 于点 E，连结 BE 交O 于点 M （1）求证：直线 BD 是O 的切线； （2）求O 的半径 OD 的长； （3）求线段 BM 的长 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax22x+c 与直线 ykx+b 都经过 A（0，3） 、B（3，0）两点，该抛物线
10、的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB 的解析式； （2）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求 点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当PAB 面积最大时，求点 P 的坐标， 并求PAB 面积的最大值 2019 年四川省宜宾市中考数学试卷年四川省宜宾市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题:(本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 24 分分)
11、在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。 1 （3 分）2 的倒数是（ ） A B2 C D 【分析】根据倒数的定义，可以求得题目中数字的倒数，本题得以解决 【解答】解：2 的倒数是， 故选：A 【点评】本题考查倒数，解答本题的关键是明确倒数的定义 2 （3 分）人体中枢神经系统中约含有 1 千亿个神经元，某种神经元的直径约为 52 微米， 52 微米为 0.000052 米将 0.000052 用科学记数法表示为（ ） A5.210 6 B5.210 5 C5
12、210 6 D5210 5 【分析】由科学记数法可知 0.0000525.210 5； 【解答】解：0.0000525.210 5； 故选：B 【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法 a10n中 a 与 n 的意义是解题的关 键 3 （3 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，E 是 DC 上一点，DE1，将ADE 绕着点 A 顺时针旋转到与ABF 重合，则 EF（ ） A B C5 D2 【分析】根据旋转变换的性质求出 FC、CE，根据勾股定理计算即可 【解答】解：由旋转变换的性质可知，ADEABF， 正方形 ABCD 的面积四边形 AECF 的面积25， BC5，BF
13、DE1， FC6，CE4， EF2 故选：D 【点评】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换 的性质是解题的关键 4 （3 分）一元二次方程 x22x+b0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1+x2为（ ） A2 Bb C2 Db 【分析】 根据 “一元二次方程 x22x+b0 的两根分别为 x1和 x2” ， 结合根与系数的关系， 即可得到答案 【解答】解：根据题意得： x1+x22， 故选：C 【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的 关键 5 （3 分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与
14、俯 视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（ ） A10 B9 C8 D7 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层 小正方体的层数和个数，从而算出总的个数 【解答】解：从俯视图可得最底层有 5 个小正方体，由主视图可得上面一层是 2 个，3 个或 4 个小正方体， 则组成这个几何体的小正方体的个数是 7 个或 8 个或 9 个， 组成这个几何体的小正方体的个数最多是 9 个 故选：B 【点评】 本题考查三视图的知识及从不同方向观察物体的能力， 解题中用到了观察法 确 定该几何体有几列以及每列方块的个数是解题关键 6 （3 分）如表记录了两位射击运动员
15、的八次训练成绩： 次数 环数 运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 甲 10 7 7 8 8 8 9 7 乙 10 5 5 8 9 9 8 10 根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为 s甲 2，s 乙 2， 则下列结论正确的是（ ） A，s甲 2s 乙 2 B，s甲 2s 乙 2 C，s甲 2s 乙 2 D，s甲 2s 乙 2 【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案 【解答】解： （1）（10+7+7+8+8+8+9+7）8；（10+5+5+8+9+9+8+10） 8； s甲 2 （108）2+（7
16、8）2+（78）2+（88）2+（88）2+（88）2+（98） 2+（78）21； s乙 2 （108）2+（58）2+（58）2+（88）2+（98）2+（98）2+（88） 2+（108）2 ， ，s甲 2s 乙 2， 故选：A 【点评】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这 组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据 分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 7 （3 分） 如图， EOF 的顶点 O 是边长为 2 的等边ABC 的重心， EOF 的两边与ABC 的边交于 E， F， EOF120， 则E
17、OF 与ABC 的边所围成阴影部分的面积是 （ ） A B C D 【分析】连接 OB、OC，过点 O 作 ONBC，垂足为 N，由点 O 是等边三角形 ABC 的内 心可以得到OBCOCB30，结合条件 BC2 即可求出OBC 的面积，由EOF BOC，从而得到EOBFOC，进而可以证到EOBFOC，因而阴影部分面 积等于OBC 的面积 【解答】解：连接 OB、OC，过点 O 作 ONBC，垂足为 N， ABC 为等边三角形， ABCACB60， 点 O 为ABC 的内心 OBCOBAABC，OCBACB OBAOBCOCB30 OBOCBOC120， ONBC，BC2， BNNC1， ON
18、tanOBCBN1， SOBCBCON EOFAOB120， EOFBOFAOBBOF，即EOBFOC 在EOB 和FOC 中， ， EOBFOC（ASA） S阴影SOBC 故选：C 【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三 角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助 线构建全等三角形是解题的关键 8 （3 分）已知抛物线 yx21 与 y 轴交于点 A，与直线 ykx（k 为任意实数）相交于 B， C 两点，则下列结论不正确的是（ ） A存在实数 k，使得ABC 为等腰三角形 B存在实数 k，使得ABC 的内角中有两角分别
19、为 30和 60 C任意实数 k，使得ABC 都为直角三角形 D存在实数 k，使得ABC 为等边三角形 【分析】通过画图可解答 【解答】解：A、如图 1，可以得ABC 为等腰三角形，正确； B、如图 3，ACB30，ABC60，可以得ABC 的内角中有两角分别为 30和 60，正确； C、如图 2 和 3，BAC90，可以得ABC 为直角三角形，正确； D、不存在实数 k，使得ABC 为等边三角形，不正确； 本题选择结论不正确的， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数和正比例函数图象，等边三角形和判定，直角三角形的判 定，正确画图是关键 二、填空题二、填空题:(本大题共本大题共 8 小题小题,
20、每小题每小题 3 分分,共共 24 分分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。请把答案直接填在答题卡对应题中横上。 9 （3 分）分解因式：b2+c2+2bca2 （b+c+a） （b+ca） 【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解 【解答】解：原式（b+c）2a2（b+c+a） （b+ca） 故答案为： （b+c+a） （b+ca） 【点评】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组比如本 题有 a 的二次项，a 的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组 10 （3 分）如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，ADBC，则DAB 60 【分析】
21、先根据多边形内角和公式（n2）180求出六边形的内角和，再除以 6 即可 求出B 的度数，由平行线的性质可求出DAB 的度数 【解答】解：在六边形 ABCDEF 中， （62）180720， 120， B120， ADBC， DAB180B60， 故答案为：60 【点评】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用 多边形内角和公式及平行线的性质 11 （3 分）将抛物线 y2x2的图象，向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象 的解析式为 y2（x+1）22 【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案 【解答】解：将抛物线 y2x2的图象，向左平移
22、1 个单位，再向下平移 2 个单位， 所得图象的解析式为：y2（x+1）22 故答案为：y2（x+1）22 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键 12 （3 分）如图，已知直角ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AC4，BC3，则 AD 【分析】根据勾股定理求出 AB，根据射影定理列式计算即可 【解答】解：在 RtABC 中，AB5， 由射影定理得，AC2ADAB， AD， 故答案为： 【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直 角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 13 （3 分）某产品每件的生产成本为 50 元，原定销
23、售价 65 元，经市场预测，从现在开始 的第一季度销售价格将下降 10%， 第二季度又将回升 5% 若要使半年以后的销售利润不 变，设每个季度平均降低成本的百分率为 x，根据题意可列方程是 65（110%） （1+5%）50（1x）26550 【分析】 设每个季度平均降低成本的百分率为 x， 根据利润售价成本价结合半年以后 的销售利润为（6550）元，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为 x， 依题意，得：65（110%）（1+5%）50（1x）26550 故答案为：65（110%）（1+5%）50（1x）26550 【点评】本题考查了由实际
24、问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二 次方程是解题的关键 14（3 分） 若关于 x 的不等式组有且只有两个整数解， 则 m 的取值范围是 2m1 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于 m 的不等式组，求出即可 【解答】解： 解不等式得：x2， 解不等式得：x， 不等式组的解集为2x， 不等式组只有两个整数解， 01， 解得：2m1， 故答案为2m1 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应 用，解此题的关键是求出关于 m 的不等式组，难度适中 15 （3 分）如图，O 的两条相交弦 AC、BD，ACBC
25、DB60，AC2，则O 的面积是 16 【分析】由ABDC，而ACBCDB60，所以AACB60，得到 ACB 为等边三角形，又 AC2，从而求得半径，即可得到O 的面积 【解答】解：ABDC， 而ACBCDB60， AACB60， ACB 为等边三角形， AC2， 圆的半径为 4， O 的面积是 16， 故答案为：16 【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大 16 （3 分）如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且点 A、C、E 在同一直线上，AD 与 BE、BC 分别交于点 F、M，BE 与 CD 交于点 N下列结论正确的是 （写出 所有正确结论的序号） A
26、MBN；ABFDNF；FMC+FNC180； 【分析】根据等边三角形性质得出 ACBC，CECD，ACBECD60，求出 BCEACD，根据 SAS 推出两三角形全等即可； 根据ABC60BCD，求出 ABCD，可推出ABFDNF，找不出全等的 条件； 根据角的关系可以求得AFB60，可求得 MFN120，根据BCD60可解 题； 根据 CMCN， MCN60， 可求得CNM60， 可判定 MNAE， 可求得 ，可解题 【解答】证明：ABC 和CDE 都是等边三角形， ACBC，CECD，ACBECD60， ACB+ACEECD+ACE， 即BCEACD， 在BCE 和ACD 中， ， BCE
27、ACD（SAS） ， ADBE，ADCBEC，CADCBE， 在DMC 和ENC 中， ， DMCENC（ASA） ， DMEN，CMCN， ADDMBEEN，即 AMBN； ABC60BCD， ABCD， BAFCDF， AFBDFN， ABFDNF，找不出全等的条件； AFB+ABF+BAF180，FBCCAF， AFB+ABC+BAC180， AFB60， MFN120， MCN60， FMC+FNC180； CMCN，MCN60， MCN 是等边三角形， MNC60， DCE60， MNAE， ， CDCE，MNCN， ， 1， 两边同时除 MN 得， 故答案为 【点评】本题考查了全等
28、三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性 质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题 三、解答题三、解答题:(本大题共本大题共 8 小题小题,共共 72 分分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） （1）计算： （2019）02 1+|1|+sin245 （2）化简：（+） 【分析】 （1） 先根据 0 指数幂、 负整数指数幂的意义、 特殊角的三角函数值， 计算出 （2019 ）0、2 1、sin245的值，再加减； （2）先算括号里面的加法，再把除法转化为乘法，求出结果 【解答】解： （1）原式1
29、+1+（）2 2+ 2 （2）原式 y 【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值、分式的混合 运算等知识点，题目难度不大，综合性较强，是中考热点题型a01（a0） ； a p （a0） 18 （6 分）如图，ABAD，ACAE，BAEDAC求证：CE 【分析】由“SAS”可证ABCADE，可得CE 【解答】证明：BAEDAC BAE+CAEDAC+CAE CABEAD，且 ABAD，ACAE ABCADE（SAS） CE 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明CABEAD 是本题的关键 19 （8 分）某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有
30、一等奖、 二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获 得纪念奖有 17 人，获得三等奖有 10 人，并制作了如图不完整的统计图 （1）求三个年级获奖总人数； （2）请补全扇形统计图的数据； （3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占，其余为九年级的同学，现从 获一等奖的同学中选 2 名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的 2 人 中既有七年级又有九年级同学的概率 【分析】 （1）由获得纪念奖的人数及其所占百分比可得答案； （2）先求出获得三等奖所占百分比，再根据百分比之和为 1 可得一等奖对应百分比，从 而补全图形； （3）画树状图（用 A
31、、B、C 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有 12 种 等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利 用概率公式求解 【解答】解： （1）三个年级获奖总人数为 1734%50（人） ； （2）三等奖对应的百分比为100%20%， 则一等奖的百分比为 1（14%+20%+34%+24%）4%， 补全图形如下： （3）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有 1 人，八年级有 1 人，九年级有 2 人， 画树状图为： （用 A、B、C 分别表示七年级、八年级和九年级的学生） 共有 12 种等可能的结果数， 其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为
32、 4， 所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率也 考查了统计图 20 （8 分）甲、乙两辆货车分别从 A、B 两城同时沿高速公路向 C 城运送货物已知 A、C 两城相距 450 千米，B、C 两城的路程为 440 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/小时， 甲车比乙车早半小时到达 C 城求两车的速度 【分析】设乙车的速度为 x 千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时，路程知道，且甲 车比乙车早半小
33、时到达 C 城，以时间做为等量关系列方程求解 【解答】解：设乙车的速度为 x 千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时 根据题意，得：+， 解得：x80，或 x110（舍去） ， x80， 经检验，x，80 是原方程的解，且符合题意 当 x80 时，x+1090 答：甲车的速度为 90 千米/时，乙车的速度为 80 千米/时 【点评】本题考查分式方程的应用、分式方程的解法，分析题意，找到合适的等量关系 是解决问题的关键根据时间，列方程求解 21 （8 分）如图，为了测得某建筑物的高度 AB，在 C 处用高为 1 米的测角仪 CF，测得该 建筑物顶端 A 的仰角为 45，再向建筑物方向前进
34、40 米，又测得该建筑物顶端 A 的仰 角为 60求该建筑物的高度 AB （结果保留根号） 【分析】 设 AMx 米， 根据等腰三角形的性质求出 FM， 利用正切的定义用 x 表示出 EM， 根据题意列方程，解方程得到答案 【解答】解：设 AMx 米， 在 RtAFM 中，AFM45， FMAMx， 在 RtAEM 中，tanAEM， 则 EMx， 由题意得，FMEMEF，即 xx40， 解得，x60+20， ABAM+MB61+20， 答：该建筑物的高度 AB 为（61+20）米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键 2
35、2 （10 分）如图，已知反比例函数 y（k0）的图象和一次函数 yx+b 的图象都过 点 P（1，m） ，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 A，O 为坐标原点，OAP 的面积为 1 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2） 设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为 M， 过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 B， 求五边形 OAPMB 的面积 【分析】 （1）根据系数 k 的几何意义即可求得 k，进而求得 P（1，2） ，然后利用待定系 数法即可求得一次函数的解析式； （2）设直线 yx+3 交 x 轴、y 轴于 C、D 两点，求出点 C、D 的坐标，然后联立方程 求得 P、M 的坐
36、标，最后根据 S五边形SCODSAPDSBCM，根据三角形的面积公式列 式计算即可得解； 【解答】解： （1）过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 A，O 为坐标原点，OAP 的面积为 1 SOPA|k|1， |k|2， 在第一象限， k2， 反比例函数的解析式为 y； 反比例函数 y（k0）的图象过点 P（1，m） ， m2， P（1，2） ， 次函数 yx+b 的图象过点 P（1，2） ， 21+b，解得 b3， 一次函数的解析式为 yx+3； （2）设直线 yx+3 交 x 轴、y 轴于 C、D 两点， C（3，0） ，D（0，3） ， 解得或， P（1，2） ，M（2，1） ， PA1，
37、AD321，BM1，BC321， 五边形 OAPMB 的面积为：SCODSBCMSADP331111 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数 系数 k 的几何意义，求得交点坐标是解题的关键 23 （10 分）如图，线段 AB 经过O 的圆心 O，交O 于 A、C 两点，BC1，AD 为O 的弦，连结 BD，BADABD30，连结 DO 并延长交O 于点 E，连结 BE 交O 于点 M （1）求证：直线 BD 是O 的切线； （2）求O 的半径 OD 的长； （3）求线段 BM 的长 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到AADO30，求出DOB60，求出
38、 ODB90，根据切线的判定推出即可； （2）根据直角三角形的性质得到 ODOB，于是得到结论； （3）解直角三角形得到 DE2，BD，根据勾股定理得到 BE， 根据切割线定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：OAOD，AB30， AADO30， DOBA+ADO60， ODB180DOBB90， OD 是半径， BD 是O 的切线； （2）ODB90，DBC30， ODOB， OCOD， BCOC1， O 的半径 OD 的长为 1； （3）OD1， DE2，BD， BE， BD 是O 的切线，BE 是O 的割线， BD2BMBE， BM 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角
39、三角形的性质，勾股定理， 切割线定理，正确的识别图形是解题的关键 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax22x+c 与直线 ykx+b 都经过 A（0，3） 、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB 的解析式； （2）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求 点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当PAB 面积最大时，求点 P 的坐标， 并求P
40、AB 面积的最大值 【分析】 （1）将 A（0，3） 、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函 数解析式即可求解； （2）先求出 C 点坐标和 E 点坐标，则 CE2，分两种情况讨论：若点 M 在 x 轴下方， 四边形 CEMN 为平行四边形，则 CEMN，若点 M 在 x 轴上方，四边形 CENM 为平 行四边形，则 CEMN，设 M（a，a3） ，则 N（a，a22a3） ，可分别得到方程求出 点 M 的坐标； （3）如图，作 PGy 轴交直线 AB 于点 G，设 P（m，m22m3） ，则 G（m，m3） ， 可由，得到 m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可 【解答
41、】解： （1）抛物线 yax22x+c 经过 A（0，3） 、B（3，0）两点， ， ， 抛物线的解析式为 yx22x3， 直线 ykx+b 经过 A（0，3） 、B（3，0）两点， ，解得：， 直线 AB 的解析式为 yx3， （2）yx22x3（x1）24， 抛物线的顶点 C 的坐标为（1，4） ， CEy 轴， E（1，2） ， CE2， 如图，若点 M 在 x 轴下方，四边形 CEMN 为平行四边形，则 CEMN， 设 M（a，a3） ，则 N（a，a22a3） ， MNa3（a22a3）a2+3a， a2+3a2， 解得：a2，a1（舍去） ， M（2，1） ， 如图，若点 M 在
42、x 轴上方，四边形 CENM 为平行四边形，则 CEMN， 设 M（a，a3） ，则 N（a，a22a3） ， MNa22a3（a3）a23a， a23a2， 解得：a，a（舍去） ， M（，） ， 综合可得 M 点的坐标为（2，1）或（） （3）如图，作 PGy 轴交直线 AB 于点 G， 设 P（m，m22m3） ，则 G（m，m3） ， PGm3（m22m3）m2+3m， SPAB SPGA+SPGB ， 当 m时，PAB 面积的最大值是，此时 P 点坐标为（） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问 题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题
