1、S 第 1 页 （共 15 页） 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试 数 学 试 题 (总分总分 160 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟) 一、填空题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上） 1 已知集合0,3,41,0,2,3AB， ，则AB _. 2已知复数 34 1 i z i （i为虚数单位） ，则z=_. 3 某学校共有师生 3 200 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的 样本，已知从学生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是_ 4 如图是一
2、个算法的流程图，则输出的 k 的值为_ 5一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球(除颜色外其余均相同)，现从 中随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率为 _ 6一种水稻品种连续 5 年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为： 9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为_ 7已知离心率2e的双曲线 22 22 :1(0,0) xy Dab ab 的左、右焦 点分别为 12 ,F F，虚轴的两个端点分别为 12 ,A A，若四边形 1122 AF A F的面积为4 3， 则双曲线D的焦距为_. 8 若不等式组 yx2， yx， 0y4，
3、x0 表示的平面区域的面积为 S，则 S 的值为_ 9已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为 1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥 的体积为_ 10 已知函数( )=sin 2(0) 3 f xxx ， 1 ( )( )() 3 ff，则 _. S 第 2 页 （共 15 页） 11设函数 2 1 ( ) lg(1) xx f xee x ，则使得(21)(2)fxf x成立的x的取值范围 是_. 12 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 3xy60 与圆(x 3)2(y1)24 交于 A， B 两点，则直线 OA 与直线 OB 的倾斜角之和为_ 13 各项均为正偶数的数列 1234
4、aaaa， ， ，中， 前三项依次成公差为0d d 的等差数列， 后三项依次成公比为q的等比数列 若 41 88aa ， 则q的所有可能的值构成的集合为 _ 14 在ABC中，D为边BC上一点，若2,BDCD ADBD，则 2 tancosBACB 的最大值是_. 二二、解答题、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 已知向量a=(sin，1)，b=(cos，3)，且ab，其中(0， 2 ) (1)求的值； (2)若sin()= 5 3 ，0 2 ，求cos的值 16(本小题满分
5、 14 分) 如图所示，已知在五棱锥PABCDE中，底面ABCDE为凸五边形，2AEDC， 3ABBC，1DE ，120EABBCDCDEDEA ，F为AE上的点， 且 3 2 AF ，平面PAE与底面ABCDE垂直求证： （1）/BC平面PAE； （2）PAFC （第 16 题图） F C E D A B P S 第 3 页 （共 15 页） 17(本小题满分 14 分) 如图，已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离 AB 为 50 ，B，C 间的距离为 100 ，从 A 到 C，必须先坐船到 BC 上的某一点 D，船速为 25 /h，再乘汽车到 C，车速为 50 /h， 记BDA （1）试
6、将由 A 到 C 所用的时间 t 表示为 的函数 t()； （2）问 为多少时，由 A 到 C 所用的时间 t 最少？ 18(本小题满分 16 分) 已知圆C方程为 22 8(62)610(,0)xymxmymmR m ，椭圆中心在原点，焦 点在x轴上 （1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标； （2）判断直线4330xy与圆C的位置关系，并证明你的结论； （3）当2m 时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方 程；在x轴上是否存在两定点, ,A B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点） ，直 线,QA QB的斜率之积为定值？若存在，求出, A B坐标；若不存在，
7、请说明理由 19(本小题满分 16 分) 设数列 n a的各项均为不等的正整数，其前n项和为 n S，我们称满足条件“对任意的 * mnN，均有()()() n mnm nm Snm SS ”的数列 n a为“好”数列 B A C D S 第 4 页 （共 15 页） （1） 试分别判断数列 n a， n b是否为好数列， 其中21 n an， 1 2n n b ， * nN， 并给出证明； （2）已知数列 n c为好数列 若 2017 2018c，求数列 n c的通项公式； 若 1 cp，且对任意给定正整数ps，（1s ） ，有 1st ccc，成等比数列， 求证： 2 ts 20(本小题满
8、分 16 分) 对任意 xR，给定区间k 2 1 ，k+ 2 1 (kZ)，设函数 f(x)表示实数 x 与 x 所属的给定区 间内唯一整数之差的绝对值 (1)当 x 2 1 ， 2 1 时，求出 f(x)的解析式；xk 2 1 ，k+ 2 1 (kZ)时，写出绝对值符 号表示的 f(x)解析式； (2)求 f( 3 4 )，f( 3 4 )，判断函数 f(x)(xR)的奇偶性，并证明你的结论； (3)当 2 1 ea1 时，求方程 f(x) a logx=0 的实根(要求说明理由， 2 1 e 2 1 ) S 第 5 页 （共 15 页） 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试
9、 数学附加题 （本部分满分本部分满分 40 分，考试时间分，考试时间 30 分钟）分钟） 21选做题选做题（本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作 答若多做，则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A.（选修 4-2：矩阵与变换） （本小题满分 10 分） 已知矩阵 10 0 2 1 , 20 01 NM，试求曲线xysin在矩阵MN变换下的函数解 析式. B.（选修 4-4：坐标系与参数方程） （本小题满分 10 分） 已知曲线C的极坐标方程是 4cos() 3 以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
10、直线l的参数方程是 2 3 2 2 3 2 xt yt ， （t为参数） ， 直线l与曲线C相交于A B，两点 （1）求AB的长； S 第 6 页 （共 15 页） （2）求点(33)P，到A B，两点的距离之积 C(选修 4-5：不等式选讲） （本小题满分 10 分） 已知实数x，y，z满足x + y + z = 2，求 222 32zyx的最小值 必做题必做题 （第 22、 23 题， 每小题 10 分， 计 20 分 请把答案写在答题纸的指定区域内） 22 （本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，已知ABAC，2AB ，4AC ， 1 3AA . D是线段BC
11、的中点. （1）求直线 1 DB与平面 11 AC D所成角的正弦值； （2）求二面角 111 BADC的大小的余弦值. 23 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a满足 123 0 123 23 CCC C 222 nnn nn a * C 2 n n n n n N， （1）求 1 a， 2 a， 3 a的值； （2）猜想数列 n a的通项公式，并证明 A B C D A1 B1 C1 （第 22 题） S 第 7 页 （共 15 页） 江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试 数学参考答案 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计
12、分，计 70 分分. 1.0,3 2. 5 2 2 3.200 4.6 5. 5 6 6. 0.244 7.4 8.6 9. 2 2 3 10. 7 6 11. 11 1 , 22 3 （-3,- ） (-) 12. 60 13. 5 8 , 3 7 14. 3 2 二、 解答题：二、 解答题： 本大题共本大题共 6 小题， 计小题， 计 90 分分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内. 15(本小题满分 14 分) (1)a=(sin，1)，b=(cos，3)，且ab
13、3 sin cos=0，即 3 tan 3 ， (0， 2 )，= 6 ， (2) 0 2 ， = 6 ， 6 6 3 . sin( 6 )= 3 5 ， cos( 6 )= 2 1 sin () 6 = 4 5 . coscos()coscos()sinsin() 666666 S 第 8 页 （共 15 页） = 3 2 41 52 3 5 = 4 33 10 16 （本小题满分 14 分） 证明证明 （1）如图凸五边形ABCDE，延长,AE CD交于点H 120AEDEDC ， 60HEDHDE HED为等边三角形，60H 60120180HBCD ，即有/BCAE 又 AE 平面PAE
14、，BC/平面PAE， /BC平面PAE （2）连结AC， HED为等边三角形 1HEHDED， 3HAHC 又 60H， HAC为正三角形 又 1 2 AFAH， CFAE 平面PAE 平面ABCDE， 平面PAE平面ABCDEAE， CF 平面ABCDE， CF 平面PAE 又 PA平面PAE， CFPA 17.（本小题满分 14 分） 解： （1）AD 50 sin， A 到 D 所用时间 t1 2 sin BD 50 tan 50cos sin ，CD100BD10050cos sin D 到 C 所用时间 t22cos sin t()t1t2 2cos sin 2（0 2，其中 tan
15、0 1 2） 6 分 （2）t() sin2(2cos)cos sin2 12cos sin2 8 分 令 t()0，得：cos1 2 3 2；当 3， 2 时，t()单调递增； 同理 0 3，t ()0，t()单调递减 12 分 3，t()取到最小值 32； 13 分 D F H CA B E S 第 9 页 （共 15 页） 答：当 3时，由 A 到 C 的时间最少为 32 小时 14 分 18.（本小题满分 16 分） （1）圆C的方程可化为： 22 (21)(866)0xyymxy，2 分 由 22 210, 8660, xyy xy 4 分 解得 0, 1, x y 所以圆C过定点(
16、0,1)M5 分 (2) 圆C的方程可化为： 2 22 (4 )(31)25xmymm,6 分 圆心到直线l的距离为 22 4 43 (31)3 43 mm d 8 分 25 5 5 m mr9 分 所以直线与圆C相切. 10 分 （3）m=2C当时，圆 方程为 22 (8)(7)100xy， 圆心为（8,7），半径为10,xx与直线 =(8-10) ,即 =-2相切 所以椭圆的左准线为2x，11 分 又椭圆过点(0,1),M则b=1， 所以 2 2, 1, a c b 2, 1, a b 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y.12 分 在椭圆上任取一点( , )(0)Q x y y ，设定
17、点 ( ,0), ( ,0)A sB t， 则 2 1 2 ()() QAQB x yy kkk xs xtxs xt 2, 2x 对恒成立，13 分 所以 22 1 1() 2 xkxk st xkst 2, 2x 对恒成立 S 第 10 页 （共 15 页） 所以 11 1 , , 22 2 ()0,2,2, 1, 2,2. kk k k stss kst tt 或 14 分 所以(2,0), ( 2,0)( 2,0), (2,0)ABAB或者.16 分 19 （本小题满分 16 分） （1）若21 n an，则 2 n Sn，所以 2 ()()() n m nm Snm nm ， 而 2
18、22 ()()()()() () nm nm SSnm nmnmnm， 所以()()() n mnm nm Snm SS 对任意的 * mnN，均成立， 即数列 n a是“好”数列； 2 分 若 1 2n n b ，取21nm， 则 3 ()7 n m nm SS ， 2 ()()36 nm nm SSb， 此时()()() n mnm nm Snm SS ， 即数列 n b不是“好”数列 4 分 （2）因为数列 n c为“好”数列，取1m ，则 11 (1)(1)() nn nSnSS ，即 11 2(1)(1) nn Snana 恒成立 当2n，有 11 2(2) nn Snana ， 两
19、式相减，得 11 2(1)(2) nnn ananaa （2n） ， 即 11 (1) nn nanaa （2n） ， 所以 11 (1)(2) nn nanaa （3n） ， 所以 11 (1)(1)(2) nnnn nananana ， 即 11 (22)(1)(1) nnn nanana ，即 11 2 nnn aaa （3n） ， 当2n 时，有 231 23Saa，即 231 2aaa， S 第 11 页 （共 15 页） 所以 11 2 nnn aaa 对任意2n， * nN恒成立， 所以数列 n c是等差数列 8 分 设数列 n c的公差为d， 若 2017 2018c，则 1
20、20162018cd，即 1 2018 2016 c d ， 因为数列 n c的各项均为不等的正整数，所以 * dN， 所以1d ， 1 2c ，所以1 n cn 12 分 若 1 cp，则 n cdnpd， 由 1st ccc，成等比数列，得 2 1st ccc=，所以 2 ()()dspdp dtpd， 即 2 ()(2)()0pddspdpd dspt 化简得， 2 (1 2 )(1)p tsd s ， 即 2 12 (1) ts dp s 14 分 因为p是任意给定正整数，要使 * dN，必须 * 2 12 (1) ts s N， 不妨设 2 12 (1) ts k s ，由于s是任意
21、给定正整数， 所以 222 (1)21 (1)21tk sssss 16 分 20 （本小题满分 16 分） (1)当x 2 1 , 2 1 时， 2 1 , 2 1 中唯一整数为 0， 有定义知：xxf)(，x 2 1 , 2 1 . 当)( 2 1 , 2 1 zkkkx时，在 2 1 , 2 1 kk中唯一整数为k， 有定义知：,)(kxxf)( 2 1 , 2 1 zkkkx. (2), 2 1 1 , 2 1 1 3 4 2 1 1, 2 1 1 3 4 ， , 3 1 ) 3 4 (, 3 1 ) 3 4 (ff下判断)(xf是偶函数. S 第 12 页 （共 15 页） 对任何R
22、x，存在唯一kz，使得 2 1 2 1 kxk则,)(kxxf 由 2 1 2 1 kxk可以得出)( 2 1 2 1 Zkkxk， 即)( 2 1 , 2 1 Zkkkx 由(1)的结论，)()()(xfkxxkkxxf即)(xf是偶函数 (3)(xfax=0，即 2 1 kxax=0，其中x0； 当x1时， 2 1 0 kxax， 所以 2 1 kxax=0没有大于的实根； 容易验证x=1 为方程 2 1 kxax=0 的实根； 当1 2 1 x时对应的k=1，方程 2 1 kxax=0 变为 1x 2 1 ax=0 设H(x)= 2 1 ax(1x)(1 2 1 x) 则 x xH 2
23、1 )(ae+1= 2 1 ln2 1 1 ln2 1 ex ax +1=01 1 x ， 故当1 2 1 x时，H(x)为减函数，H(x)H(1)=0，方程没有1 2 1 x的实根； 当 0x 2 1 时， 对应的k=0， 方程 2 1 kxax=0 变为x 2 1 ax=0， 设G(x)= 2 1 axx(0x 2 1 )，明显G(x)为减函数. G(x)0)() 2 1 (xHG，所以方程没有 0x 2 1 的实根. 综上，若1 2 1 ae时，方程)(xf)(xfax=0 有且仅有一个实数根，实 根为 1. 附加题参考答案附加题参考答案 21A. MN = 10 02 1 0 2 01
24、 = 1 0 2 02 ， 4 分 S 第 13 页 （共 15 页） 即在矩阵 MN 变换下 11 0 22 022 xxxx yyy y ， 6 分 1 ,2 2 xx yy， 8 分 代入得： 1 sin2 2 yx， 即曲线sinyx在矩阵MNMN变换下的函数解析式为2sin2yx10 分 21B （1）由4cos() 3 ，得2cos2 3sin，所以 22 22 3xyxy， 即 22 (1)(3)4xy，所以曲线C是以(13)，为圆心，2为半径的圆 直线l的普通方程为330xy 所以圆心(13)，到直线l的距离为2d ， 所以 2 2 42 2ABd （2）点(33)P，在直线l
25、上，设A B，两点对应的参数分别为 12 tt， 将 2 3 2 2 3 2 xt yt ， 与 22 (1)(3)4xy联立可得 2 2 20tt， 所以 12 02 2tt ， 所以 1 2 | 0PA PBt t 21C. 证明：由柯西不等式可知 2222222 1111 (231)()()1 (23) 2323 xyzxyz 所以 2 222 ()24 23 11 11 1 23 xyz xyz ， 当且仅当 11 12 , 11 4 , 11 6 zyx时取等号 10 分 S 第 14 页 （共 15 页） 2 22 2(本小题满分 10 分) 解：因为在直三棱柱 111 ABCAB
26、C中，ABAC，所以分别以AB、AC、 1 AA所在的直线 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则 111 (0,0,0), (2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)ABCABC 因为D是BC的中点，所以(1,2,0)D， 2 分 （1）因为 111 (0,4,0),(1,2, 3)ACAD，设平面 11 AC D的法向量 1111 ( ,)nx y z， 则 111 11 0 0 nAC nAD ，即 1 111 40 230 y xyz ，取 1 1 1 3 0 1 x y z ， 所以平面 11 AC D的法向量 1 (3,0,1)n ，而 1
27、 (1, 2,3)DB ， 所以 11 11 11 3 35 cos, 35 nDB n DB nDB ， 所以直线 1 DB与平面 11 AC D所成角的正弦值为 3 35 35 5 分 （2） 11 (2,0,0)AB ， 1 (1, 2,3)DB ，设平面 11 B AD的法向量 2222 (,)nxyz， 则 211 21 0 0 nAB nDB ，即 2 222 20 230 x xyz ，取 2 2 2 0 3 2 x y z ，平面 11 B AD的法向量 2 (0,3,2)n ， 所以 12 12 12 130 cos, 65 nn n n nn ， 二面角 111 BADC的
28、大小的余弦值 130 65 10 分 2323(本小题满分 10 分) 解： （1） 1 2a =， 2 4a =， 3 8a = 3 分 （2）猜想：2n n a = 证明：当1n ，2，3 时，由上知结论成立； 5 分 S 第 15 页 （共 15 页） 假设nk时结论成立， 则有 123 0123 23 CCCC C2 2 222 k kkkkk k kk k a 则1nk时， 1231 01 11 21 311 11 231 CCCC C 2 222 k+ kkk+k+k+ kk k+ a 由 11 1 CCC kkk nnn 得 102132 0112233 1 23 CCCCCC
29、C 2 22 kkkkkk kk a 11 11 1 CCC 22 kk-k+ k+kk+kk+k+ kk+ 01211 12311 231 CCCCC 2 2 2222 kk+ kkkkk kk+k+ kk+ ， 1211 02311 11 121 CCCC 1 2(C) 2 2222 kk+ kkkk kk+k+ kk kk a 1211 0231111 1 121 CCCCC 1 2(C) 2 2222 kkk+ kkkkk-k+kk+k k kk + 又 11 111 1(2 1)!(22) (21)!(21)!(1) 12 CC !(1)!(1) !(1)!(1)!(1)!2 k+k+ k+kk+k kk kkk = k kkk kkk 1211 02311111 1 1211 CCCCC 1 2(C) 2 22222 kkk+ kkkkk-k+kk+k k kkk ， 于是 11 1 2 2 k kk aa 所以 1 1 2k k a ， 故1nk时结论也成立 由得，2n n a = * nN， 10 分
