1、数值计算方法复习试题一、填空题：1、，则A的LU分解为。答案：3、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，4、近似值关于真值有(2)位有效数字；5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是()；答案6、对,差商(1),(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为()；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；11、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。12、 为了使计算
2、的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为。13、 用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。14、 求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。15、 设,则，的二次牛顿插值多项式为。16、 求积公式的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有()次代数精度。21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（10）次。22、已知是三次样条函数，则=(3)，=（3），=（1）。23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则(1)，()，当时()。24、2
3、5、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_2_阶的连续导数。26、改变函数()的形式，使计算结果较精确。27、若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。28、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛收敛。31、设,则9。32、设矩阵的，则。33、若，则差商3。34、线性方程组的最小二乘解为。36、设矩阵分解为，则。二、单项选择题：1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（C）。AA的各阶顺序主子式不为零BCD2、设，则为(C)A2B5 C7D34、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(B)。A对称阵B
4、正定矩阵C任意阵D各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是(A)产生的误差。A. 只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C观察与测量D数学模型准确值与实际值6、3.141580是的有(B)位有效数字的近似值。A6B5 C4D77、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A模型B观测C截断D舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A控制舍入误差B减小方法误差C防止计算时溢出D简化计算9、用1+近似表示所产生的误差是(D)误差。A舍入B观测C模型D截断10、-3247500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A5B6 C7D811、设f(-1)=1,f(0)=
5、3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A05B05C2D-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A3B4C5D213、(D)的3位有效数字是0.236102。(A)0.0023549103(B)2354.82102(C)235.418(D)235.5410114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是(B)。(A)y=?(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=?(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=?(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为(A)。(
6、A)4(B)3(C)4(D)916、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B)(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D)18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。(A)(B)(C)(D)21、解方程组的简单迭代格式收敛的
7、充要条件是（）。（1）,(2),(3),(4)23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次25、取计算，下列方法中哪种最好？（）(A)；(B)；(C)；(D)。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)；(B)；(C)；(D)。29、计算的Newton迭代格式为()(A)；(B)；(C)；(D)。30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为()(A)10；(B)12
8、；(C)8；(D)9。32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则()(A)；（B）；（C）；（D）。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是()(A)；(B)；(C)；(D)。36、由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?）1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。()2、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。()3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。(?)4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次
9、插值的结果。(?)5、矩阵A=具有严格对角占优。()四、计算题：1、 用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。答案：差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-105、已知-2-101242135求的二次拟合曲线，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161
10、-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为6、已知区间0.4，0.8的函数表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果，且7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。答案：解：令.且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为则当时，故迭代格式收敛。取，计算结果列表如下：n012
11、30.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足.所以.8利用矩阵的LU分解法解方程组。答案：解：令得，得.9对方程组（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：.10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据
12、。解：当0x1时，ex，则，且有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差.由，只要即可，解得所以，因此至少需将0,168等份。11、用列主元素消元法求解方程组。解：回代得。12、取节点,求函数在区间0,1上的二次插值多项式,并估计误差。解：又故截断误差。15、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：是的正根，牛顿迭代公式为，即取x0=1.7,列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f(1，5)的近似值，取五位小数。解：18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性
13、方程组=，取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.3解：解方程组其中解得：所以，22、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格
14、式计算附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1），故收敛；（2），故收敛；（3），故发散。选择（1）：，23、（8分）已知方程组，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(1
15、15-100)(115-121)=10.722755533、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.33330.0 00001.93759.687534、(8分)求方程组的最小二乘解。，若用Householder变换，则：最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T.37、（15分）已知方程组，其中，（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为，Jacobi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为，Gauss-Seidel迭代法发散40、(10分)已知下列函数表：012313927(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：（1）（2）均差表：
