1、5.6应用一元一次方程追赶小明1.会用“线段图”分析行程问题中的数量关系2.掌握行程问题中常用的等量关系，会用来列方程解决实际问题3.重难点：用“线段图”寻找实际问题中的等量关系列方程知识导入小明的爸爸在追小明呢！追击的过程有个什么样的等量关系呢？一起琢磨琢磨吧！知识讲解知识点一： 画“线段图”分析行程问题中的数量关系例1 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？分析
2、当爸爸追上小明时，两人所行路程相等在解决这个问题时，要抓住这个等量关系 解析 （1）设爸爸追上小明用了xmin，则在此期间小明走过的路程为80xm，小明的爸爸走过的路程为180xm，画出线段图如下： 根据题意，得 180x=80x+805化简，得 100x=400， x=4因此，爸爸追上小明用了4min（2） 1804=720（m），1000720=280（m）所以，追上小明时，距离学校还有280m点拨 行程问题较多借助线段图来分析已知量与未知量之间的关系把问题中各段路程用代数式在线段图表示出来，可以直观地发现它们之间的等量关系，从而建立方程求解行程问题中三个基本的量之间的关系：路程=时间速度
3、知识点二： 行程问题中的常用相等关系例2 育红学校七年级学生步行到郊外旅行七（1）班的学生组成前队，步行速度为4km/h，七（2）班的学生组成后队，速度为6km/h前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h根据上面的事实解答下列问题：（1）后队追上前队用了多少时间？（2）联络员第一次追上前队后返回遇上后队用了多少时间？分析 后队追前队与联络员第一次追上前队的过程都是追及问题，联络员返回后队的过程则是相遇问题，均可用线段图表示，从线段图中可以发现不同的行程问题的相等关系的形式也有所不同解析 （1）设后队追上前队用了xh的时间，
4、则在此期间七（1）班走过的路程是4xkm,七（2）走过的路程是6xkm画线段图如下：根据题意得 6x=4x+4解得 x=2所以后队追上前队用了2h（2）设联络员第一次追上前队所用的时间为xh画出线段图如下：根据题意得12x=4x+4解得 x=所以联络员第一次追上前队所用的时间为半小时设联络员追上前队后返回遇到后队所用的时间为yh，则在此期间后队走了6ykm，联络员走过的路程是12ykm而联络员返回时与后队相距126=3（km）画出线段图如下：根据题意得 12y+6y=3解得 y=即联络员第一次追上前队后返回遇上后队用了10分钟点拨 追及问题的相等关系：路程差=距离 相遇问题的相等关系：路程和=
5、距离知识探究1行程问题中的一题多解行程问题并不总是利用线段图来求解，有时也可以结合表格法来发现相等关系线段图中各条线段一般表示题目中的某段路程，利用线段图找到的相等关系一般是各段路程之间的关系如果利用时间或速度的等量关系列方程，则用表格法比较合适例3 甲、乙两人骑自行车同时从相距80km的两地出发，相向而行，2h后相遇，已知甲每小时比乙多走2.4km，求甲、乙每人每小时行多少千米？解析 解法一：设乙每小时行xkm，则甲每小时行（x+2.4）km画线段图如下：根据题意得 2x+2（x+2.4）=80解得 x=18.8此时x+2.4=18.8+2.4=21.2所以甲每小时行21.2km，乙每小时行
6、18.8km解法二：设甲出发到相遇行了xkm，则乙从出发到相遇行了（80x）km列表如下：路程时间速度甲x2乙80x2根据“甲每小时比乙多走2.4km”可列方程=+2.4解得 x=42.4.此时=21.2，=18.8所以甲的速度为每小时21.2km，乙的速度为每小时18.8km点拨 第二种解法用了间接未知数法设定未知数，列方程及求解过程也没有解法一简明，所以解行程问题，线段图法仍是首选但我们不要忽视第二种解法提供的新思路，这有助于我们从不同角度认识实际问题中的相等关系2.顺水逆水问题船在水中行驶时，有两个常用的数量关系：顺水船速=静水船速+水速；逆水船速=静水船速水速这两个数量关系常用来列代数
7、式例4 轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时已知该船在静水中每小时航行12千米，求水流速度和两码头间的距离解析 解：设水流的速度为xkm/h，则顺水时的速度为（12+x）km/h，逆水时的速度为（12x）km/h根据题意得： 6（12+x）=10（12x）解得 x=3此时6（12+x）=6(12+3)=90所以水流的速度为3km/h，两码头间的距离为90km3上坡下坡问题根据生活常识，我们知道，经过一段道路，如果途中有上下坡，则往返的过程中必有这样的数量关系：来时的上坡路程=返时的下坡路程；来时的下坡路程=返时的上坡路程例5 小华从A到B，先下坡再上坡共用7小时，如果两地相距
8、24千米，下坡每小时行4千米，上坡每小时行3千米，那么原路返回要多少小时？解析 解法一：设从A到B时上坡用时x小时，则下坡用时（7x）小时B画出线段图如下：列方程得 3x+4（7x ）=24解得 x=则从A到B的上坡路程为3x=3=14（千米），下坡路程为2414=10（千米）由于从B到A时的上坡和下坡的路程正好与从A到B时相反，可知返回时上坡路为10千米，下坡路为14千米则返回时所用时间为+=6（小时）解法二：设小华从A到B的上坡路程为x千米，则下坡路程为24x千米将从A到B途中上下坡的路程、速度、时间列表如下：路程速度时间从A到B上坡x3从A到B下坡24x4根据“从A到B，先下坡再上坡共用
9、7小时”列方程得 +=7解得 x=14此时24x=24-14=10（千米）所以从A到B时上坡路为14千米，下坡路为10千米由于从B到A时的上坡和下坡的路程正好与从A到B时相反，可知返回时上坡路为10千米，下坡路为14千米则返回时所用时间为+=6（小时） 易错辨析题1 小明家距离学校600m，从家到学校时的步行速度为3m/s，放学回家时的步行速度为2m/s则小明上学和放学的平均步行速度为_.错解 因（3+2）2=2.5，所以小明上学和放学的平均步行速度为2.5m/s故应填上“2.5m/s”辨析 这里计算的是两个速度的平均数，而不是平均速度平均速度的算法公式是：也就是说，必须先确定所有路程的总长，
10、再确定经过这些路程的时间总和，将两者相除所得的商即为平均速度正解 小明上学与放学的路程总长为600+600=1200（m） 小明上学到校所用时间=6003=200（s） 小明放学到家所用时间=6002=300（s） 小明上学与放学所用时间之和=200+300=500（s）小明上学和放学的平均步行速度为1200500=2.4（m/s）所以应填上“2.4m/s”1. 一列长a米的队伍以每分钟 80米的速度向前行进一人经过这支队伍旁边，用1分钟时间从队尾走到队头此人在这1分钟内走过的路程是（ ）Aa米 B80米 C（a+80）米 D无法确定2. 某船顺流而下的速度是20km/h，逆流航行的速度为16
11、km/h，则在静水中的速度是（ ）km/hA2 B4 C18 D363. 甲的速度是5km/h，乙的速度是6km/s两人分别从A、B两地同时出发 ，相向而行若经过xh相遇，则A、B的距离是_km；若经过xh还差10km相遇，则A、B的距离是_km 4. 某行军纵队以7千米/时的速度行进，队尾的通讯员以11千米/时的速度赶到队伍前送一封信，送交后又立即返回队尾，共用13.2分钟，则这支队伍的长度为_千米5. 敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的例 甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为
12、42km，甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h（1）如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇?（2）如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇?分析 这是环形路线的行程问题，当同向运动时属追及问题，反向运动时属相遇问题解析 （1）设经过xh两人首次相遇，则这段时间甲经过的路程为21xkm，乙经过的路程为14km根据题意可知两人首次相遇时路程之和=环形路线一周的长度，故可列出方程 21x+14x=42解得 x=1.2所以经过1.2小时两人首次相遇（2）设经过xh两人第二次相遇则这段时间甲经过的路程为21xkm，乙经过的路程为1
13、4km根据题意可知两人第二次相遇时路程之差=环形路线两周的长度，故可列出方程 21x14x=422解得 x=12所以经过12小时两人第二次次相遇点拨 在环形路线上从同一地点同时反向出发，第一次相遇路程之和为一个周长，第二次相遇路程之和为两个周长，；在环形路线上从同一地点同时同向出发，第一次相遇路程之并为一个周长，第二次相遇路程之差为两个周长，练习 1甲、乙两人在环形跑道上练习跑步已知环形跑道一圈长400米，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米（1）如果甲、乙两人在跑道上同地同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？（2）如果甲、乙两人在跑道上同地同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？参考答案课堂检测1C2C311x，（11x+10）40.725设战斗是在开始追击后xh发生的根据“我军追击的距离+1km=敌人逃跑的距离+25km”可列方程8x+1=5x+25，解得 x=8所以战斗是在开始追击后8小时发生的综合提升1（1）设经过x秒甲、乙两人首次相遇，则6 x+4x=400解得x=40所以经过40秒甲、乙两人首次相遇（2）设经过x秒甲、乙两人首次相遇，则6x4x=400解得x=200所以经过200秒甲、乙两人首次相遇
