1、三角函数模型的简单应用（二）慈溪市周巷中学 胡洪涛 一、教学内容解析本节课是普通高中新课程标准A版实验教科书数学必修4中第一章“三角函数”第六节的第二课时。根据实际问题处理数据|，作出图像进行函数拟合|，将实际问题抽象成与三角函数有关的简单函数模型|，并能根据实际背景及问题的条件|，注意考虑实际意义|，并对问题的解进行分析。三角函数模型的建立和应用|，蕴含着丰富的数学思想|，首先|，需要对收集到的数据进行观察|，寻找规律|，找出表格中的数量关系|，进而画出散点图|，用曲线拟合这些数据|，找出合适的数学模型|，并求其解析式|；最后利用数学模型解决实际应用问题|，这体现了数学建模思想。在代数方法处
2、理一些问题遇到困难时|，可通过几何方法即数形结合来处理|，从而解决实际问题。三角函数本身就是“数”与“形的结合体|，结合本节课内容|，发挥了从“数”与“形”共同分析解决问题的优势|，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。同时也体现了“函数与方程”、“函数与不等式”等数学思想。二、学目标设置：1、知识目标：能正确分析收集到的数据|，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴涵的规律|，能根据问题的实际意义|，利用模型解释有关实际问题|，为决策提供依据。2、能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程|，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯|； 使
3、学生进一步提升对函数概念的完整认识|，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力.3、情感目标：体验探索和创造过程|，从中获得成功的快乐|，体会学习数学知识的重要性|，激发对数学的兴趣和树立自信心|，渗透数学与现实统一和谐之美。三、教学重难点：教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律|，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。教学难点：对问题实际意义的数学解释|，从实际问题中抽象出三角函数模型|，并综合运用相关知识解决实际问题。四、学情分析在前面学习了用三角函数模型解决有关气温变化、房子在建造过程中的间距问题|，让学生体会可以用三角函数模型解决实际问题|，本节课主要是让学生从实际问题中抽象出
4、函数模型|，通过实际问题中的数据|，由散点图拟合成三角函数模型|，再用三角函数模型解决货船进出口问题|，在上一节课的基础上进一步学习了由数据到图像|，再由图像到函数模型|，来解决实际问题。让学生知道|，解决实际问题时可以用数形结合、函数与方程、函数与不等式等思想。五、教学策略分析： 在上一节课的基础上让学生继续学习用实际问题的数据进行收集、观察|，进而画出散点图|，再由散点图数据拟合成合适的函数模型|，用函数模型解决实际问题|，部分学生对建模可能还是比较陌生|，其中的数学意义和蕴含的数学思想理解并不深刻|，尤其是面对陌生的背景、复杂的数据的处理|，学生会感觉到困难。因此在教学时|，重视审题|，
5、通过有针对性的引导|，让学生认真阅读|，弄清题意|，注意帮助学生在分析问题中提取其的数量关系|，借助散点图|，引导学生从“形”的特征去发现各个量之间的关系|，并注意指导学生根据实际问题转化数学问题。这节课主要蕴含着数形结合、函数与方程、函数与不等式等思想。六、教学过程：（一）创设情境|，揭开序幕。师：前面我们学习了利用三角函数模型了解了气温变化和房子在建造过程中的间距问题|，今天我们继续研究如何建立和应用三角函数模型解决实际问题。（板书课题）师：五一小长假快到了|，不知道大家有没有打算到周边走走？生：没有师：那我带大家先看看上海大转盘|，呈现ppt图片以及大转盘的介绍。（二）提出问题|，共同解
6、决问题提出：时针方向做匀速转动|，每25分钟转一圈|，当你在乘坐摩天轮时离地面的高度随着时间变化而变化|，设人离地面最近时开始计时（即t=0时离地面的高度）求:(1)你离地面高度y关于时间t的函数解析式。OBAP59 (2)8分钟时离地面的高度。师生互动：教师启发引导学生建系|，老师提问|，学生解答（1） 以O为原点建立平面直角坐标系则P离地面高度为（2） 令y=8代入解析式得=79.86设计意图：培养学生把生活中的实际问题抽象成数学模型|，并用数学模型解决实际生活中的问题。师：所以我们发现了生活中的又一三角函数模型 摩天轮|，在生活中还有一种典型的周期变化的自然现象潮汐。 我们知道|，海水受
7、日月的引力|，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。在我们浙江最出名的潮水当属钱塘江潮|，而观潮的第一圣地在我们嘉兴的海宁盐官镇|，故又称“海宁潮”。通过视频让学生感受“海宁潮”|，并让学生思考潮水对我们生活会产生什么影响|，引导学生回到港口码头问题。师：接下来我们从数学的角度更深入的了解潮水对码头的影响问题。我拿到的是某港口每天的整点时间与水深的关系表：时间0.003.006.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0思考1：请仔细观察表格中的数据|，从中可以得到一些什么信息？师生活动：教师提问|，学生思考、回答|，教师
8、根据学生回答的情况加以补充|，主要从变量的关系、水深的最值、水深随时间变化有无规律等方面研究。设计意图：通过观察表格中的数据|，先发现水深有变化|，尽可能发现或猜想这种变化呈现一种周期行变化规律|，为散点图来表示这些数据做好铺垫。xxyxOx24x21x18x15x12x9x6x3x2.5x7.5x思考2：设想水深y是时间x的函数|，作出表中的数据对应的散点图|，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？师生活动：教师提问|，学生思考、回答|，以时间为横轴|，水深为纵轴|，通过描点法画出这些数据的散点图。设计意图：让学生借助散点图观察数据分布特征。思考3:用一条光滑曲线连结这些点|，得到一个函
9、数图象|，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？你能写出其中一个解析式吗？师生活动：教师引导学生观察、分析绘出的图像的形状特征|，判断与前面所学过哪个函数类型相似|，通过问答的形式|，结合图像|，求出解析式。x2421181512963yO52.57.5设计意图：引导学生根据散点图呈现的周期性的特点选择函数模型|，让学生结合函数图像以及已知表格中的数据|，求出各参数值|，培养学生的观察、分析、推理、抽象概括能力|，体会数形结合的数学思想。思考4：这个港口的水深与时间的关系可用函数 近似描述|，你能根据这个函数模型求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）师生活动：师生通过问答形式|，分组
10、用计算器算出每个数据。时刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754设计意图：利用计算器算数据过程|，体会周期变化|，为后面观察水深作铺垫。思考5：一条货船的吃水深度（船
11、底与水面的距离）为4米|，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离）|，该船何时能进入港口？在港口能停留多久？ 师生互动：教师通过一下问题|，引导学生探究 （1）货船能够进入港口所需要满足的条件是什么（实际水深安全水深） （2）怎样用数学表达式来表述这一条件（） （3）讨论如何解这个不等式（4）若把不等式两端看成是两个函数|，分别作出他们的图像|，用数形结合的思想解决问题|，那么我们满足我们条件的解在图像的哪部分 （5）在内满足条件的解集是什么 （6）结合图像|，货船应该选择什么时间进港|，什么时间出港0510152.55.07.5ABCDy=5.5（7）货船在港口能停留多久
12、设计意图：利用函数模型解决实际问题。要让学生弄清楚题目的意思|，懂得在函数模型中得出答案后|，还需要检验它是否与实际意义相符|，并对答案进行合理的解释。 师：大家看刚才整个过程|，货船在进港|，在港口停留|，到后来的离港|，货船的吃水深度一直没有改变|，也就是说货船的安全水深是一个常数|，但是实际情况是货船载满货物进港。在港口卸货|，卸完货后离港|，在卸货的过程中|，由物理知识我们知道|，随着船身自身重量的减小|，船会上浮|，那么在这种情况下|，我们又如何选择进出港时间呢？思考6：若某船的吃水深度为4米|，安全间隙为1.5米|，该船在2：00开始卸货|，吃水深度以每小时0.3米的速度减少|，那
13、么该船在什么时间必须停止卸货|，将船驶向较深的水域？师生活动：教师启发学生类比思考|，组织学生讨论如下问题：（1）“必须停止卸货”的含义是什么？你能用一个数学表达式来表述吗？（2）安全水深如何表示？（3）如何解不等式。引导学生代数方法不可行的话|，可以考虑几何方法来解决|，通过表格和图像求出不等式的解集。O 2 4 6 8 10 x y8642P设计意图：引导学生用函数模型刻画货船安全水深与时间关系|，将实际问题转化为数学不等式问题。（三）课时小结通过这节课的学习（师生一起归纳）我们利用数学中的三角函数模型解决了实际生活中摩天轮及货船进出港问题|，将实际问题中的数据先进行收集|，后观察|，寻找
14、规律|，发现表格中的数量关系|，画出散点图|，找出恰当的函数模型拟合数据|，求其解析式|，用数学模型解决实际问题|，在解决问题时运用了函数思想、数形结合思想、数学建模思想。（四）布置作业|，延时探究1、若船的吃水深度为4米|，安全间隙为1.5米|，该船在2：00开始卸货|，货物卸空后吃水深度为2米|，为了保证进入码头后一次性卸空货物|，又能安全驶离码头|，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？2、现在该港口提高卸货效率|，使得货轮的吃水深度以每小时1米的速度减小|，问该港口能否一次性接卸吃水深度为6米的大货轮？（注：该货轮空载时的吃水深度为1米）设计意图：让学生在课后进一步探究吃水深度对货船
15、进出口的影响|，掌握三角函数等数学模型解决实际问题。培养分析和探究能力七、教学反思：通过上节课的学习|，学生已经接触过简单的函数模型的建立|，对函数模型的建立的方法有了一定的了解|，本节课一方面是对函数模型的建立的进一步巩固和深化|，另一方面是通过三角函数模型在实际生活中的应用|，让学生体会三角函数是描述周期变化的重要函数模型。本节课由实际问题出发|，让学生经历了函数模型的建立|，使学生对函数模型的建立有了深一步的认识|，并通过数据和图像|，从数和形两个角度让学生感受了了三角函数模型的周期性变化规律的特征|，然后通过实际应用问题让学生感受三角函数模型的应用价值。课堂设计上从创设情景到问题的设计都采取的都是生活中的事例|，拉近了数学与生活的距离|，让学生感受数学来源于生活|，同时以学生为主体|，老师为主导的教学理念|，让学生在课堂中多参与、多动手|，让学生体验在解决问题时产生优劣|，让学生体会从被动接受知识到主动探究知识过程中的成就感。当然本节课中还存在着诸多不足|，语言还可以在精炼些|，课堂气氛可以再调动得更活跃些|，自主探究的形式更多样化些。
