1、第1课时等腰三角形的有关概念知识要点基础练知识点1全等三角形1.(成都中考)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是(C)A.A=DB.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DC2.(荆州中考)已知:AOB,求作:AOB的平分线.作法:以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧在AOB内部交于点C;画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是SSS.知识点2等腰三角形的性质3.如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是(D)A.15 cm
2、B.15 cm或16 cmC.17 cmD.16 cm或17 cm4.已知等腰三角形的一个角为75,则其顶角为(D)A.30B.75C.75或105D.30或75知识点3等腰三角形三线合一5.如图,ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(C)A.5B.6C.8D.106.如图,在ABC中,AB=AC,BAC的平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=4.综合能力提升练7.如图,在ABC中,ACB=90,把ABC沿AC翻折180,使点B落在点B的位置上,则下列关于线段AC的性质的说法正确的是(D)A.是边BB上的中线B.是边BB上的高C.是BAB
3、的平分线D.以上三种性质都有8.如图,AB=AC,BD=BC,若A=40,则ABD的度数是(B)A.20B.30C.35D.409.若实数m,n满足等式|m-4|+n-8=0,且m,n恰好是等腰ABC的两边的边长,则ABC的周长是(B)A.22B.20C.16D.20或1610.(张家界中考)如图,将ABC绕点A逆时针旋转150,得到ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则B的度数为15.11.如图,AB=AE,BC=DE,B=E,M是CD的中点.求证:AMCD.证明:连接AC,AD.在ABC和AED中,AB=AE,B=E,BC=DE,ABCAED(SAS),AC=AD,ACD是等腰三角形
4、.M是CD的中点,由三线合一知AMCD.12.如图,在ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.求证:DE=DF.解:过点E作EGAC交BC于点G,F=DEG,EDG=FDC,ACB=EGB.AB=AC,ACB=B,B=EGB,BE=EG.BE=CF,EG=CF.在EGD和FCD中,EDG=FDC,DEG=F,EG=FC,EGDFCD(AAS),DE=DF.拓展探究突破练13.(常州中考)如图,在ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.(1)求证:OB=OC;(2)若ABC=50,求BOC的度数.解:(1)AB=AC,ABC=
5、ACB.BD,CE是ABC的两条高线,BEC=BDC=90,BECCDB,ECB=DBC,OB=OC.(2)ABC=50,AB=AC,A=180-250=80.DOE+A=180,BOC=DOE=100.第2课时等腰三角形的有关性质知识要点基础练知识点1等腰三角形中相等的线段1.在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,BE,CD交于点O.若AB=AC,BE是边AC上的中线,且BE=CD,则线段CD(D)A.是边AB上的中线B.是边AB上的高线C.是ACB的平分线D.不一定是边AB上的中线2.如图,在ABC中,AB=AC,AD平分BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2BM,AN=2NC
6、.求证:DM=DN.证明:AM=2MB,AM=23AB.同理AN=23AC.又AB=AC,AM=AN.AD平分BAC,MAD=NAD.在AMD和AND中,AM=AN,MAD=NAD,AD=AD,AMDAND(SAS),DM=DN.知识点2等边三角形的性质3.(福建中考)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于(A)A.15B.30C.45D.604.如图所示,在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,则DFC的度数为(A)A.60B.45C.40D.305.边长为6 cm的等边三角形中,其一边上高的长度为3
7、3 cm.6.如图,在等边三角形ABC中,D为AC边的中点,E为BC延长线上一点,CE=CD,DMBC于点M.求证:M是BE的中点.证明:连接BD.ABC是等边三角形,ABC=ACB=60.CD=CE,CDE=E=30.BD是AC边上的中线,BD平分ABC,即DBC=30,DBE=E,DB=DE,又DMBE,DM是BE边上的中线,即M是BE的中点.综合能力提升练7.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(A)A.顶角的一半B.底角的一半C.90减去顶角的一半D.90减去底角的一半8.如图,ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若DAB=20,DAC=30,则BDC的大小是(A)A.100B.8
8、0C.70D.509.如图,A,C,B三点在同一条直线上,DAC和EBC都是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,则下列结论:ACEDCB;CM=CN;AC=DN.其中正确结论的个数是(B)A.3B.2C.1D.010.(徐州中考)边长为a的正三角形的面积等于34a2.11.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下几个结论:AD=BE;PQAE;AOB=60.恒成立的有.(把你认为正确的序号都填上)12.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,P
9、B,PC,以PB为边作PBQ=60,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.解:猜想:AP=CQ.证明:ABC是等边三角形,ABC=60.PBQ=60,ABC=PBQ,ABP=ABC-PBC=PBQ-PBC=CBQ.在ABP和CBQ中,AB=CB,ABP=CBQ,BP=BQ,ABPCBQ(SAS).AP=CQ.拓展探究突破练13.已知等边ABC和点P,设点P到ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h.”请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在ABC内(如
10、图2),点P在ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间的关系如何?请写出你的猜想,不用证明.解:当点P在ABC内时,结论h1+h2+h3=h仍然成立.理由:连接PA,PB,PC,则SPAB+SPBC+SPCA=SABC,12ABPD+12BCPF+12CAPE=12BCAM,PD+PE+PF=AM,即h1+h2+h3=h.当点P在ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们的关系是h1+h2-h3=h.提示:SPAB+SPCA-SPBC=SABC,12ABPD+12CAPE-12BCPF=12BCAM,PD+PE-PF
11、=AM,h1+h2-h3=h.第3课时等腰三角形的判定知识要点基础练知识点1等腰三角形的判定1.下列能判定ABC为等腰三角形的是(B)A.A=3,B=60B.A=50,B=80C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=7,周长为182.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是(B)A.(4,0)B.(1,0)C.(-22,0)D.(2,0)3.(桂林中考)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD平分ABC,则图中等腰三角形的个数是3.知识点2反证法4.用反证法证明“若ac,bc,则ab”,第一步应假设(D)A.abB.a与b垂直C.a与
12、b不一定平行D.a与b相交5.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角不小于60,应先假设(B)A.三角形中有一个内角小于60B.三角形中每一个内角都小于60C.三角形中有一个内角大于60D.三角形中每一个内角都大于60综合能力提升练6.如图,在ABC中,OB和OC分别平分ABC和ACB,过点O作DEBC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE=5,则线段DE的长为(A)A.5B.6C.7D.87.用反证法证明“若|a|b|,则ab”时,应假设a=b.8.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是等腰直角三角形.9.如图,AD是ABC的边BC上的高,由下列条件中的某
13、一个就能推出ABC是等腰三角形的是.(写出所有正确答案的序号)BAD=CAD;BD=CD;AB+BD=AC+CD;AB-BD=AC-CD.10.如图,在ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,BAD=BCE,AD与CE相交于点F,试判断AFC的形状,并说明理由.解:AFC是等腰三角形.理由:BAD=BCE,B=B,BD=BE,ABDCBE,AB=CB,BAC=BCA,FAC=FCA,AFC是等腰三角形.拓展探究突破练11.在ABC中,BAC=90,B=45,D为BC上一点,BD=AB,DEBC交AC于点E.(1)求证:ADE是等腰三角形;(2)图中除ADE是等腰三角形外,还有没有等腰
14、三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.解:(1)BD=AB,BAD=BDA.DEBC,BDE=90.又BAC=90,EAD=EDA,ADE是等腰三角形.(2)还有三个等腰三角形:ABD,ABC,CDE.第4课时等边三角形的判定知识要点基础练知识点1等边三角形的判定1.如图,在ABC中,B=60,AB=AC,BC=3,则ABC的周长为(C)A.6B.8C.9D.122.如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上分别截出AD=AE,则ADE(C)A.不是等边三角形B.不一定是等边三角形C.一定是等边三角形D.无法判断3.如图,点D在BC上,点E在AD上,BE=AE=CE,并且
15、BED=CED=60.下列结论:ABC是等边三角形;BD=CD;BE平分ABC;ADBC.其中正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2含30角的直角三角形4.如图,AC=BC=10 cm,B=15,ADBC于点D,则AD的长为(C)A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm5.在RtABC中,C=90,A=30,若AB=4 cm,则BC=2cm.综合能力提升练6.已知AOB=30,点P在AOB的内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是(D)A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.如图,CD是RtABC斜
16、边AB上的高,将BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则A等于(B)A.25B.30C.45D.608.(淄博中考)如图,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,若AN=1,则BC的长为(B)A.4B.6C.43D.89.如图,已知AO=10,P是射线ON上一动点(即P点可在射线ON上运动),AON=60.(1)OP=10时,AOP为等边三角形;(2)OP=5或20时,AOP为直角三角形.拓展探究突破练10.如图,ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分ACD,CE=BD.求证:ADE是等边三角形.证明:由条件知ACD=120,ACE=ECD=60,在ABD和ACE中,AB=AC,B=ACE,CE=BD,ABDACE,AE=AD,BAD=CAE,DAE=BAC=60,ADE是等边三角形.
