1、5/12/2023高等数学课件利用导数定义求极限limxaaxxaxaaaax21limnnnnaa5/12/2023高等数学课件第第3章习题课章习题课5/12/2023高等数学课件洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数图形的描绘函数图形的描
2、绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容5/12/2023高等数学课件1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理5/12/2023高等数学课件2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理).10()(0 xxxfy.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 有限增量公式有限增量公式(),().f xIf xI如果函数在区间 上的导数恒为推论：零那么在区间 上是一个常数5/12/2023高等数学课件3 3、柯西中值定理、柯西中值定理5/12/2023高等数学课件()()()()f xf xf xfx例1.设函数可导，证明：在的两个零点之间一定存在的零点.()()xF xe
3、f x析：构造辅助函数5/12/2023高等数学课件()()()()f xf xfxf x练习1：设函数可导，证明：对任意常数，在的两个零点之间存在 的解.()()()()f xf xxfxf x练习：设函数可导，证明：对任意常数，在的两个正零点间存在的解.()()xF xef x析：构造辅助函数()()F xxf x析：构造辅助函数5/12/2023高等数学课件(),(,)(,)f xa ba ba b例2.设在闭区间上连续，开区间 可导。证明存在，使得：()()()()bf baf affba()()F xxf x析：构造辅助函数5/12/2023高等数学课件(),(,)0(,)f xa
4、ba baba b练习。设在闭区间上连续，开区间 可导,其中。证明:存在，使得：()()()()af bbf affab()1()()f xF xG xxx析：构造辅助函数，5/12/2023高等数学课件(),(),()0,()()()()0(,)()0.()()(2),:()()f x g xa bgxf af bg ag ba bg xffa bgg例3.设函数在上二阶可导，且，证明：(1)在内，在内存在一点()()()()()F xf x g xfx g x析：构造辅助函数5/12/2023高等数学课件(),(,)()()1.,(,)()()1.f xa ba bf af ba beff
5、 例4.函数在上连续，内可导，且证明，存在，使得：()()()xxF xe f xG xe析：构造辅助函数，5/12/2023高等数学课件例例5 5.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,1,0)(bafbfabaffxf 使使内存在不同的内存在不同的在在对任意给定的正数对任意给定的正数试证试证且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设证证,均为正数均为正数与与ba10 baa,1,0)(上连续上连续在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1,0(存在存在()0,1,f x在上分别用拉氏中值定理 有5/12/2023高等数学课件),0(),()0()0()
6、(fff)1,(),()1()()1(fff,1)1(,0)0(ff注意到注意到由由,有有)()(1bafbbafa )(fbaa )()(11 ff )(fbab +,得得)()(ff .)()(bafbfa 5/12/2023高等数学课件4 4、洛必达法则、洛必达法则通过分子分母分别求导再求极限通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则.型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1,0,0.2 关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()(注意：注意
7、：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.5/12/2023高等数学课件()(0)1()cos0()01).()02).();3).()0g xgg xxxf xxaxaf xxfxfxx例6.设函数具有二阶连续导数，且确定 的值，使在点处连续;求讨论在点处的连续性。00()coslim()limxxg xxaf xx解1：0lim()sin(0)xg xxg5/12/2023高等数学课件0()(0)(0)limxf xffx0 x 2.当时：20()cos(0)limxg xxxgx2()sin ()cos()x g xxg xxfxx0()sin(0)lim2xg xxgx0()cosl
8、im2xgxx1(0)1)2g5/12/2023高等数学课件200()sin ()cos 3.lim()limxxx g xxg xxfxx0()cos lim2xx gxxx01lim()cos 2xgxx1(0)1(0)2gf()0fxx 即，在点处连续5/12/2023高等数学课件()f x函数在区间内可导，导函数可能不连续21sin,0(),0,0 xxf xxx例如例如,112 sincos,0(),0,0 xxfxxxx()0fxx 在处不连续()f x 处处连续、可导？5/12/2023高等数学课件)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxf
9、xxxfxfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之间之间与与在在其中其中xxxxnfxRnnn 5/12/2023高等数学课件 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx (1)(1)(1)1()!nnnxxxo xn 5/12/2023高等数学课件)()1(11132nnnxoxxxxx 1 )(!)2(!)32()1(
10、211121nnkkkxoxkkxx 21 )(!)2(!)12()1(211112nnkkkxoxkkxx 21 5/12/2023高等数学课件 求未定型极限求未定型极限 确定无穷小量的阶确定无穷小量的阶 求高阶导数的值求高阶导数的值 近似计算：近似值、近似公式近似计算：近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质 不等式的证明不等式的证明局部应用局部应用区间应用区间应用皮亚诺型余项皮亚诺型余项拉格朗日型余项拉格朗日型余项5/12/2023高等数学课件例例7 7.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解.2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx
11、 )()5()151(51!21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 5/12/2023高等数学课件8,0,1()3.1xa bxaxf xexbx例确定常数使当时对于 是 阶无穷小即即要要求求根根据据题题意意,0)(lim30 Axxfx解解时时当当0 x1)1)(1()(bxaxexfx23322333111()2!3!(1)(1()xxxxaxbx b xb xo x 5/12/2023高等数学课件22)21()1()(xbabxbaxf 021012 babba)0121)(lim(21,2130 xxfbax.)
12、(,0,21,21的的三三阶阶无无穷穷小小量量为为时时当当则则所所以以取取xxfxba )()61(3332xxbab 5/12/2023高等数学课件29(),()()0,(,)4,()()()()fxa bfafba bff bf aba例设在上二阶可导 且则在内至少存在一点使得(),fxxaxb将分别在和处展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式 得证证)1()(!2)()()()(21axfaxafafxf )2()(!2)()()()(22bxfbxbfbfxf 5/12/2023高等数学课件得得两两式式、代代入入取取,)2()1(,2bax 21)2(!2)()2)()()2(abfaba
13、fafbaf )2,(1baa 22)2(!2)()2)()()2(bafbabfbfbaf ),2(2bba 5/12/2023高等数学课件于于是是得得由由于于,0)()(bfaf21)2(!2)()()2(abfafbaf 22)2(!2)()()2(abfbfbaf 4)(2)()()()(221abffafbf 4)(2)()()()(221abffafbf .)()(,)()(,122211时时当当时时当当 ffff4)()(2abf 5/12/2023高等数学课件)()()(4)(,),(,2afbfabfba 使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在即即物物理理意意义义：22,4
14、(/).TSST汽车从某点开始行驶 于秒钟内走完了路程 米 则汽车运动的加速度的绝对值在某瞬间不小于米秒5/12/2023高等数学课件6 6、导数的应用、导数的应用(1)函数单调性与极值函数单调性与极值(2)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点(3)曲线的渐近线曲线的渐近线(4)函数图形的描绘函数图形的描绘5/12/2023高等数学课件021.1.dsy dx弧微分030222.lim.(1)syddsy 曲率(6)弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 03.1曲率半径 =04.1曲率圆，半径为=与曲线相切的圆05.曲率中心，曲率圆的圆心5/12/2023高等数学课件()0,1|()|,|()|,|()|22(0,1)f xf xabfxbfcac例10.设在上二阶可导，证明：对内任一点 成立5/12/2023高等数学课件()0,)(0,)()0,(0)0.()0(0,)f xfxkff x例11.设函数在上连续，在内可导，且证明：方程在内必有唯一实根.5/12/2023高等数学课件作业：作业：P202:2.3.4.8.10.12.15.16.17.19.20.(2)
