1、古典概型习题课 1.1.基本事件有如下两个特点：基本事件有如下两个特点：（1 1）任何两个基本事件是）任何两个基本事件是 的的.（2 2）任何事件（除不可能事件）都可以表示）任何事件（除不可能事件）都可以表示成成 .2.2.一般地，一次试验有下面两个特征：一般地，一次试验有下面两个特征：（1 1）有限性，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限）有限性，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；个，即只有有限个不同的基本事件；（2 2）等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的；）等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型称这样的试验为古典概型
2、.判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性概型的两个特征：有限性和等可能性.互斥互斥基本事件的和基本事件的和 3.3.如果一次试验中可能出现的结果有如果一次试验中可能出现的结果有n n个，而且所有结果个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件如果某个事件A A包括的结果有包括的结果有m m个，那么事件个，那么事件A A的概率的概率P P（A A）=.n1nm判断下列命题正确与否：判断下列命题正确与否：（1 1）掷两枚硬
3、币）掷两枚硬币,等可能出现等可能出现“两个正面两个正面”,“,“两个反面两个反面”,“,“一一正一反正一反”3 3种结果；种结果；（2 2）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（3 3）从）从-4,-3,-2,-1,0,1,2-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数中任取一数,取到的数小于取到的数小于0 0和不小于和不小于0 0的可能性相同；的可能性相同；（4 4）分别从）分别从3 3名男同学，名男同学，4 4名女同学中各选一名做代表，那么每名女同学中各
4、选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同个同学当选的可能性相同;（5 5）5 5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同可能性肯定不同.解解求古典概型的步骤：求古典概型的步骤：（1 1）判断是否为等可能性事件；）判断是否为等可能性事件；（2 2）列举所有基本事件的总结果数）列举所有基本事件的总结果数n n（3 3）列举事件）列举事件A A所包含的结果数所包含的结果数m m（4 4）计算）计算 当结果有限时，列举法是很常用的方法当结果有限时，列举法是很常用的方法1：将一个骰子先后抛掷：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点
5、数。次，观察向上的点数。问问:（1）共有多少种不同的结果共有多少种不同的结果?（2）两数之和是）两数之和是3的倍数的结果有多少种？的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是）两数之和是3的倍数的概率是多少？的倍数的概率是多少？第二次抛掷后向上的点数第二次抛掷后向上的点数1 2 3 4 5 6第一次抛掷后向上的点数第一次抛掷后向上的点数6 65 54 43 32 21 1 解解：（：（1）(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)由表可知，等可能基由表可知，等可能基本事件总数为本事件总数为36种。种。(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)(3.1)(3.2)(
6、3.3)(3.4)(3.5)(3.6)(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)(4.5)(4.6)(5.1)(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)(5.6)(6.1)(6.2)(6.3)(6.4)(6.5)(6.6)1 2 3 4 5 6第一次抛掷后向上的点数第一次抛掷后向上的点数7 7 8 9 10 11 12 8 9 10 11 126 7 8 9 10 116 7 8 9 10 115 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 104 5 6 7 8 94 5 6 7 8 93 4 5 6 7 83 4 5 6 7 82 3 4 5 6 72 3 4 5 6 76 65 54 43 3
7、2 21 1第二次抛掷后向上的点数第二次抛掷后向上的点数（2）记）记“两次向上点数之和是两次向上点数之和是3的倍数的倍数”为事件为事件A，则事件则事件A的结果有的结果有12种。种。（3）两次向上点数之和是）两次向上点数之和是3的倍数的概率为：的倍数的概率为：121()363P A 解：记解：记“两次向上点数之和不低于两次向上点数之和不低于10”为事件为事件B，则事件则事件B的结果有的结果有6种，种，因此所求概率为：因此所求概率为：61()366P B 1 2 3 4 5 6第一次抛掷后向上的点数第一次抛掷后向上的点数7 8 9 10 11 127 8 9 10 11 126 7 8 9 10
8、116 7 8 9 10 115 6 7 8 9 105 6 7 8 9 104 5 6 7 8 94 5 6 7 8 93 4 5 6 7 83 4 5 6 7 82 3 4 5 6 72 3 4 5 6 76 65 54 43 32 21 1第二次抛掷后向上的点数第二次抛掷后向上的点数变式变式1：两数之和不两数之和不低于低于10的结果有多少的结果有多少种？两数之和不低于种？两数之和不低于10的的概率是多少？的的概率是多少？1 2 3 4 5 6第一次抛掷后向上的点数第一次抛掷后向上的点数7 8 9 10 11 127 8 9 10 11 126 7 8 9 10 116 7 8 9 10
9、115 6 7 8 9 105 6 7 8 9 104 5 6 7 8 94 5 6 7 8 93 4 5 6 7 83 4 5 6 7 82 3 4 5 6 72 3 4 5 6 76 65 54 43 32 21 1第二次抛掷后向上的点数第二次抛掷后向上的点数变式：变式：点数之和为质数的概率为多少？点数之和为质数的概率为多少？变式：变式：点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？155()3612P C 解：点数之和为解：点数之和为7时，概率最大，时，概率最大，61()366P D 且概率为：且概率为：7 7 8 9 10 8 9 10 11 11 1
10、2126 6 7 7 8 9 108 9 10 11 115 5 6 6 7 7 8 9 108 9 104 4 5 5 6 6 7 7 8 98 93 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 82 3 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7解决此类题解决此类题用到了图表用到了图表法法 2.某口袋内装有大小相同的某口袋内装有大小相同的5 5只球，其中只球，其中3 3只白球，只白球，2 2只黑球，只黑球，从中一次摸出从中一次摸出2 2只球只球.（1 1）共有多少个基本事件？）共有多少个基本事件？（2 2）摸出的）摸出的2 2只球都是白球的概率是多少？只球都是白球的概率是多少？解解 （1 1）分别
11、记白球为）分别记白球为1 1，2 2，3 3号，黑球为号，黑球为4 4，5 5号，从中摸出号，从中摸出2 2只球，有如下基本事件（摸到只球，有如下基本事件（摸到1 1，2 2号球用（号球用（1 1，2 2）表示）：）表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(2,3),(2,4),(2,5),（3,4),3,4),(3,5),(4,5).(3,5),(4,5).因此，共有因此，共有1010个基本事件个基本事件.（2 2）如下图所示，上述）如下图所示，上述1010个基本事件的可能性相同，且只有个基本
12、事件的可能性相同，且只有3 3个个基本事件是摸到基本事件是摸到2 2只白球（记为事件只白球（记为事件A A），），3.甲、乙两人参加法律知识竞答，共有甲、乙两人参加法律知识竞答，共有1010道不同的题目，其中道不同的题目，其中选择题选择题6 6道，判断题道，判断题4 4道，甲、乙两人依次各抽一题道，甲、乙两人依次各抽一题.（1 1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2 2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解解 甲、乙两人从甲、乙两人从1010道题中不放回地各抽一道题，先抽的有道题中不
13、放回地各抽一道题，先抽的有1010种抽法，后抽的有种抽法，后抽的有9 9种抽法，故所有可能的抽法是种抽法，故所有可能的抽法是10109=909=90种，种，即基本事件总数是即基本事件总数是90.90.（1 1）记）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件为事件A A，下面求事，下面求事件件A A包含的基本事件数：甲抽选择题有包含的基本事件数：甲抽选择题有6 6种抽法，乙抽判断题有种抽法，乙抽判断题有4 4种抽法，所以事件种抽法，所以事件A A的基本事件数为的基本事件数为6 64=24.4=24.A 4.5 5张奖券中有张奖券中有2 2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张
14、，张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（求：（1 1）甲中奖的概率）甲中奖的概率P P（A A）；（）；（2 2）甲、乙都中奖的概率；）甲、乙都中奖的概率；（3 3）只有乙中奖的概率；（）只有乙中奖的概率；（4 4）乙中奖的概率）乙中奖的概率解解 （1 1）甲有）甲有5 5种抽法，即基本事件总数为种抽法，即基本事件总数为5.5.中奖的抽法只有中奖的抽法只有2 2种，即事件种，即事件“甲中奖甲中奖”包含的基本事件数为包含的基本事件数为2 2，故甲中奖的概率为，故甲中奖的概率为P P1 1=（2 2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4
15、 4种抽法，故所有可种抽法，故所有可能的抽法共能的抽法共5 54=204=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2 2种，故种，故P P2 2=.=.（3 3）由（）由（2 2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有）知，甲、乙各抽一张奖券，共有2020种抽法，只有乙中奖的事件种抽法，只有乙中奖的事件包含包含“甲未中甲未中”和和“乙中乙中”两种情况，故共有两种情况，故共有3 32=62=6种基本事件，种基本事件，P P3 3=.=.（4 4）由（）由（1 1）可知，总的基本事件数为）可知，总的基本事件数为5 5，中奖的基本事件数为，中奖的基本事件数为2
16、2，故，故P P4 4=.=.5210120210320652解解5设有关于设有关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+2+2axax+b b2 2=0.=0.（1 1）若）若a a是从是从0 0，1 1，2 2，3 3四个数中任取的四个数中任取的一个数，一个数，b b是从是从0 0，1 1，2 2三个数中任取的一个数，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率求上述方程有实根的概率.解 设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a0,b0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为ab.（1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为.43129)(AP
