1、第八章第八章 平面向量平面向量1.平面向量平面向量的概的概念、线念、线性运算性运算与基本与基本定理定理1.平面向量的实际背景及平面向量的实际背景及基本概念基本概念 (1)了解向量的实际背景了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概理解平面向量的概念，理解两个向量相等念，理解两个向量相等的含义的含义.(3)理解向量的几何表示理解向量的几何表示.2.向量的线性运算向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何的运算，并理解其几何意义意义.选择题：选择题：2015课标课标，7填空题：填空题：2015课标课标，132.平面向量平面向量的数量积的数量积及其应用及其应用 (
2、2)掌握向量数乘的运算及掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向其几何意义，理解两个向量共线的含义量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性了解向量线性运算的性质及其几何意义质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐平面向量的基本定理及坐标表示标表示 (1)了解平面向量的基本定了解平面向量的基本定理及其意义理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分掌握平面向量的正交分解及其坐标表示解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面理解用坐标表示的平面向量共线的条件向量共线的条件.选择题：选择题：2017课标课标，1
3、2选择题：选择题：2016课标课标，3选择题：选择题：2016课标课标，3填空题：填空题：2017课标课标，13填空题：填空题：2016课标课标，133.平面向量平面向量的综合应的综合应用用4.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及理解平面向量数量积的含义及其物理意义其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量了解平面向量的数量积与向量投影的关系投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式，会掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面夹角，会用数量积判断
4、两个平面向量的垂直关系向量的垂直关系.5.向量的应用向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的会用向量方法解决某些简单的平面几何问题平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题问题与其他一些实际问题.选择题：选择题：2017课标课标，1222平面向量的概念、线性运算与基本定理平面向量的概念、线性运算与基本定理1向量的线性运算向量的线性运算向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律加法加法求两个向量求两个向量_的运的运算算(1)交换律：交换律：abba；(2)结合律：结合律：(ab)ca(bc)和和减法减法求求a与与b的
5、相反的相反向向量量b的和的和的运的运算算叫作叫作a与与b的的_aba(b)数乘数乘求实数求实数与向量与向量a的的_的的运算运算(1)|a|a|；(2)当当0时，时，a与与a的方向相同；的方向相同；当当0时，时，a与与a的的方向相反方向相反；当；当0时，时，a0(1)结合律：结合律：(a)a(a)；(2)第一分配律：第一分配律：()aa a；(3)第二分配律：第二分配律：(ab)ab差差积积关于向量的模的两个关系式：对于任意两个向量关于向量的模的两个关系式：对于任意两个向量a，b，都有：，都有：|a|b|ab|a|b|；|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)当当a，b不共线时：不共线时：的几
6、何意义是三角形的几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长中任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；的差的绝对值；的几何意义是平行四边形中两邻边的的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系长与两对角线的长之间的关系2向量中的有关定理向量中的有关定理(1)向量共线的判定定理和性质定理向量共线的判定定理和性质定理(i)判定定理：判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数是一个非零向量，若存在一个实数使得使得b_，则向量，则向量b与与a共线共线(ii)性质定理：若向量性质定理：若向量b与非零向量与非零向量a共线，则存在唯一一共线，则存在唯一一
7、个实数个实数，使得，使得b _aa(2)平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1，2，使，使a_，其中，其中e1，e2是一组基底是一组基底1e12e2(1)零向量不能作为基底向量，基底不是唯一的，只零向量不能作为基底向量，基底不是唯一的，只要是同一个平面内不共线的向量均可作为一组基底要是同一个平面内不共线的向量均可作为一组基底3平面向量的坐标表示与坐标运算平面向量的坐标表示与坐标运算(1)平面向量运算的坐标表示平面向量运算的坐标表
8、示运算运算坐标表示坐标表示和和(差差)已知已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则ab_，ab_数乘数乘已知已知a(x1，y1)，则，则a(x1，y1)，其中，其中是是实数实数任一向量任一向量的坐标的坐标已知已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 _(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x2x1，y 2y1)(2)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab_0.x1y2x2y1考向考向1 平面向量的线性运算平面向量的线性运算平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点内容
9、，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，通常有内容，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，通常有两个考查角度：两个考查角度：(1)向量的线性表示；向量的线性表示；(2)加加(减减)法运算几何意义法运算几何意义的应用考题多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档题的应用考题多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档题目，所占分值为目，所占分值为5分分【解析解析】如图，在如图，在ABC中，中，平面向量线性运算的解题策略平面向量线性运算的解题策略(1)用已知向量表示某个向量问题的基本解题思路用已知向量表示某个向量问题的基本解题思路观察各个向量的位置，特别注意平行关系；观察各个向量的位置，特别注意
10、平行关系；寻找相应的三角形或多边形；寻找相应的三角形或多边形；利用法则找关系；利用法则找关系；化简结果化简结果(2)构造三角形或平行四边形分析向量的模之间的关系构造三角形或平行四边形分析向量的模之间的关系根据向量线性运算的几何意义，涉及比较分析向量的模之根据向量线性运算的几何意义，涉及比较分析向量的模之间的大小关系等问题，均可构造三角形或平行四边形，通过三间的大小关系等问题，均可构造三角形或平行四边形，通过三角形中的边角关系来确定向量的模之间的关系角形中的边角关系来确定向量的模之间的关系变式训练变式训练C【解析解析】如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，考向考向2 共线向量定理、
11、平面向量基本定理的应用共线向量定理、平面向量基本定理的应用高考对共线向量定理、平面向量基本定理的考查主要有高考对共线向量定理、平面向量基本定理的考查主要有以下几个方面：以下几个方面：(1)利用共线向量定理求参数的值；利用共线向量定理求参数的值；(2)利用平利用平面向量基本定理结合向量的线性运算对向量进行分解；面向量基本定理结合向量的线性运算对向量进行分解；(3)在坐在坐标表示的前提下由向量共线求参数值或对向量进行分解一般标表示的前提下由向量共线求参数值或对向量进行分解一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值为以选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值为5分分例例2(1)(2015课标课标
12、，13)设向量设向量a，b不平行，向量不平行，向量ab与与a2b平行，则实数平行，则实数_【解析解析】(1)因为因为ab与与a2b平行，平行，所以存在实数所以存在实数，使，使ab(a2b)，即即()a(12)b0.1求解向量共线问题的注意事项求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量
13、共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线时，才能得到三点共线(3)若若a与与b不共线且不共线且ab，则，则0.2应用平面向量基本定理应注意的问题应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理地选择基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便底会给解题带来方便(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边
14、形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算变式训练变式训练CA考向考向3 平面向量的坐标运算及应用平面向量的坐标运算及应用高考对平面向量坐标运算的考查主要有以下两个方面：高考对平面向量坐标运算的考查主要有以下两个方面：(1)用坐标进行线性运算；用坐标进行线性运算；(2)用坐标表示平面向量共线的条用坐标表示平面向量共线的条件多以选择题或填空题的形式出现，难度一般，为中低档题件多以选择题或填空题的形式出现，难度一般，为中低档题目，分值为目，分值为5分分例例3(1)(2015四川文四川文，2)设向量设向量a(2，4)与向量与向量b(x，6)共共线，则
15、实数线，则实数x ()A2 B3 C4 D6【解析解析】(1)a与与b共线，共线，ab，264x，x3.如图，以如图，以O为原点，为原点，OA方向为方向为x轴正半轴建立直角坐标系，轴正半轴建立直角坐标系，【答案答案】(1)B(2)3平面向量坐标运算的方法技巧平面向量坐标运算的方法技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用标，解题过程中要注意方程思想的运用(2)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数变式训练变式训练A2 B4 C6 D8 A【解析解析】因为因为ab，所以，所以sin 2cos2，即即2sin cos cos2.
