1、2. 3.2抛物线的简单几何性质教学设计一、学习目标：1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .二、学情分析：学生已经学习了椭圆与双曲线的方程及性质，对圆锥曲线的学习已经形成了较好的模式。所以，学习完抛物线及其方程之后，本节课对学生而言不会有太多难点。三、教学内容分析：本节课的学习重点是抛物线的几何性质及其运用，本节课的学习难点是抛物线几何性质的运用四、教学环节与活动（一）复习引入：（学生回顾并填表格） 1抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线
2、的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.图形方程焦点准线 2抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即. 不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为. （2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号. (二) 讲解
3、新课：类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质：1范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸2对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成
4、下表）标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率轴轴 轴轴注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离.思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）(三) 例题讲解：例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以 ，即 因此，所求的抛物线方程为将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得x01234y022.83.54描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛
5、物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线 例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=1.由题可知，直线AB的方程为y=x1代入抛物线方程y2=4x，整理得：x26x+1=0解上述方程得x1=3+2,x2=32分别代入直线方程得y1=2+2,y2=22即A、B的坐标分别为（3+2，2+2），（32，22）|AB|=解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1x2=1|AB|=|x1x2|解法3：
6、设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=1的距离|AA|即|AF|=|AA|=x1+1同理|BF|=|BB|=x2+1|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。解：，。点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：或。(四) 达标练习：1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ ）（A）10 （B）8 （C）6 （D）42已知为抛物
7、线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 _ 4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标.参考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到轴距离的最小值为.（五） 小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等. （六） 课后作业：1根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，3）到焦点距离为52过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则A2FB2等于 .3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？五、教学资源PPT课件，学案六、教学评价：本节课通过多媒体课件的运用，灵活展示图像的变化特点，学生认知获得了充分体验，教学效果很好。5 / 5
