1、59数学归纳法数学归纳法数学归纳法证题的步骤数学归纳法证题的步骤用数学归纳法证明一个与正整数用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题时，其步骤有关的命题时，其步骤为：为：(1)归纳奠基：证明当归纳奠基：证明当n取自然数取自然数_时命题成立；时命题成立；(2)归纳递推：假设归纳递推：假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明时命题成立，证明当当n_时命题成立时命题成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对只要完成这两个步骤，就可以断定命题对_ _都成立都成立n0(n0N*)k1从从n0开始的所开始的所有正整数有正整数n考向考向1 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式数学归纳法在高考中很少单独考
2、查，一般作为一种解题数学归纳法在高考中很少单独考查，一般作为一种解题方法出现复习时要注意掌握数学归纳法的适用条件及解题步方法出现复习时要注意掌握数学归纳法的适用条件及解题步骤骤例例1(2018江苏苏州模拟江苏苏州模拟，23，10分分)设设i为虚数单位，为虚数单位，n为正整为正整数，数，0，2)(1)用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：(cos isin)ncos nisin n；【解析解析】(1)证明：证明：当当n1时，左边右边时，左边右边cos isin，所以命题成立；所以命题成立；假设当假设当nk时，命题成立，即时，命题成立，即(cos isin)kcos kisin k，则当则当nk1时
3、，时，(cos isin)k1(cos isin)k(cos isin)(cos kisin k)(cos isin)(cos kcos sin ksin)i(sin kcos cos ksin)cos(k1)isin(k1)，当当nk1时，命题成立时，命题成立综上，由综上，由和和可得，可得，(cos isin)ncos nisin n.利用数学归纳法证明等式时应注意的问题利用数学归纳法证明等式时应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式，其关键点在于弄清等式两边用数学归纳法证明等式，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0；(2)由
4、由nk到到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分时，除等式两边变化的项外还要充分利用利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明骤，从而使问题得以证明2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos x当当n1时，由上可知等式成立时，由上可知等式成立假设当假设当nk时等式成立，即时等式成立，即因此当因此当nk1时，等式也成立时，等式也成立思路点拨思路点拨：(1)利用导数运算法则求出利用导数运算法则求出f1(x)，f2(x)，将自变量的，将自变量的值代入求解；值代入求解；考向考向2 用数学
5、归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式问题常与数列问题相结合，利用数学归纳法证明不等式问题常与数列问题相结合，题目难度较大题目难度较大在复习中，注意由在复习中，注意由“nk”向向“nk1”证明，既可以用证明，既可以用综合法，也可以用分析法、反证法、放缩法等综合法，也可以用分析法、反证法、放缩法等【解析解析】(1)把把n2，n3代入已知式得代入已知式得a12a2422.g(x)在在0，)上单调递增上单调递增g(x)g(0)0(x0)，即，即(*)成立成立应用数学归纳法证明不等式时应注意的问题应用数学归纳法证明不等式时应注意的问题(1)当遇到与正整数当遇到与正整数n有关的不
6、等式证明时，若用其他办法有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差合法、求差(求商求商)比较法、放缩法等证明运用放缩法时，要比较法、放缩法等证明运用放缩法时，要注意放缩的注意放缩的“度度”当当1a0，f(x)在在(1，a22a)上是增函数；上是增函数；若若x(a22a，0)，则，则f(x)0，f(x)在在(0，)上是增函数上是增函数当当a
7、2时，时，f(x)0，当且仅当，当且仅当x0时，时，f(x)0成立，成立，f(x)在在(1，)上是增函数上是增函数当当a2时，若时，若x(1，0)，则，则f(x)0，f(x)在在(1，0)上是增函上是增函数；数；若若x(0，a22a)，则，则f(x)0，f(x)在在(a22a，)上是增函上是增函数数(2)证明：由证明：由(1)知，当知，当a2时，时，f(x)在在(1，)上是增函数上是增函数当当x(0，)时，时，f(x)f(0)0，根据根据知对任何知对任何nN*结论都成立结论都成立思路点拨思路点拨：(1)首先求函数首先求函数f(x)的导数，然后根据参数的导数，然后根据参数a的取值的的取值的不确定性，对其进行分类讨论求解；不确定性，对其进行分类讨论求解；(2)利用函数的单调性，首先得到一个关于利用函数的单调性，首先得到一个关于x的不等式，然后利的不等式，然后利用函数与数列的关系，结合数学归纳法进行证明，而利用数学用函数与数列的关系，结合数学归纳法进行证明，而利用数学归纳法时常常要结合放缩法归纳法时常常要结合放缩法
