1、解三角形应用举例一选择题（共19小题）1（2014海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，ACB=45，CAB=105，则A、B两点的距离为（）AmBmCmDm2（2014海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：测量A、C、b；测量a、b、C；测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）ABCD3（2014重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一
2、分钟后，其位置在Q点，且POQ=90，再过两分钟后，该物体位于R点，且QOR=30，则tanOPQ的值为（）ABCD4（2014成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得塔底C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为，已知AB=a，0，则此塔高CD为（）AtanBtanCtanDtan5（2014浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，ACB=60，则A，B之间的距离
3、为（）A7B10C6D86（2014房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）A10，30B25，32C20，35D20，407（2014濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东+30角的方向沿直线前往B处营救，则sin的值为（）ABCD8（2014成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测
4、点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为，在B处测得该水塔顶端D的仰角为，已知AB=a，0，则水塔CD的高度为（）ABCD9（2014怀化一模）在等腰RtABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P若，则PQR的周长等于（）ABCD10（2012珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A0.5小时B1小时C1.5小时D2小时11（2011宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态
5、已知D成120角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（）AF1，F3成90角BF1，F3成150角CF2，F3成90角DF2，F3成60角12（2011大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A5kmBkmC4kmDkm13（2011安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高PQ为（）ABCD14（2010武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A2或B2CD31
6、5（2010江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）A100海里B200海里C100海里或200海里D海里16（2010武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（）A1400kmB700kmC700kmD1400km17（2010石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0ba）则该平板车长度的最大值为（）ABCD18（2009韶关二模）
7、北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A10米B30米C10米D米19（2009温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A（米/秒）B（米/秒）C（米/秒）D（米/秒）二填空题（共7小题）20（2014重庆模拟）如图，割
8、线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120到OD，连PD交圆O于点E，则PE=_21（2014南昌模拟）已知ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2Asin2C）=（sinAsinB）b，则ABC面积的最大值为_22（2014韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75，则A到C的距离是_海里23（2014潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站
9、A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北（045）的C处，且cos=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为_海里/小时24（2014潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角CND最大，则N处与A处的距离为_km25（2014台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）如图所示，且B+D=180，则AC的长为_km
10、26（2014黄冈模拟）路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m的人以m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为_m/s三解答题（共4小题）27（2014广州模拟）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD=90，ADC=60，ACB=15，BCE=105，CEB=45，DC=CE=1（百米）（1）求CDE的面积；（2）求A，B之间的距离28（2014福建模拟）如图，经过村庄
11、A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）29（2010福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇（）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（）为保证小艇在30分钟内（
12、含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由30在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30，求山高（精确到10米，sin70=0.94）2014年12月27日高中数学解三角形应用举例参考答案与试题解析一选择题（共19小题）1（2014海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，ACB=45，CAB=105，则A、B两点
13、的距离为（）AmBmCmDm考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，ACB，B的值求得AB解答：解：由正弦定理得，AB=50，A，B两点的距离为50m，故选：D点评：本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键2（2014海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：测量A、C、b；测量a、b、C；测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）ABCD
14、考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可解答：解：对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离对于直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离故选：D点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用3（2014重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且POQ=90，再过两分钟后，该物体位于R点，且QOR=30，则tanOPQ的值为（）ABCD考点：解三角形
15、的实际应用专题：计算题；解三角形分析：根据题意设PQ=x，可得QR=x，POQ=90，QOR=30，OPQ+R=60算出R=60OPQ，分别在ORQ、OPQ中利用正弦定理，计算出OQ长，再建立关于OPQ的等式，解之即可求出tanOPQ的值解答：解：根据题意，设PQ=x，则QR=2x，POQ=90，QOR=30，OPQ+R=60，即R=60OPQ在ORQ中，由正弦定理得OQ=2xsin（60OPQ）在OPQ中，由正弦定理得OQ=sinOPQ=xsinOPQ2xsin（60OPQ）=xsinOPQ2sin（60OPQ）=sinOPQ=sinOPQ整理得cosOPQ=2sinOPQ，所以tanOPQ
16、=故选：B点评：本题考查利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进行求解是解决本题的关键4（2014成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得塔底C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为，已知AB=a，0，则此塔高CD为（）AtanBtanCtanDtan考点：解三角形的实际应用专题：计算题分析：先求出BC，再求出CD即可解答：解：在ABC中，ACB=，ACBA=，AB=a，BC=，CD=BCtan=tan故选
17、：B点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力5（2014浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，ACB=60，则A，B之间的距离为（）A7B10C6D8考点：解三角形的实际应用专题：解三角形分析：由余弦定理和已知边和角求得AB的长度解答：解：由余弦定理知AB=7，所以A，B之间的距离为7百米故选：A点评：本题主要考查了余弦定理的应用已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解决6（2014房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接
18、矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）A10，30B25，32C20，35D20，40考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，（0x60）矩形的面积S=x（60x），利用S800解出即可解答：解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y=60x，（0x60）矩形的面积S=x（60x），矩形花园的面积不小于800m2，x（60x）800，化为（x20）（x40）0，解得20x40满足0x60故其边长x（单位m）的取值范围是20，40故选：D点评：本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、
19、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题7（2014濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东+30角的方向沿直线前往B处营救，则sin的值为（）ABCD考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sinACB的值，即可求出sin的值解答：解：连接BC，在ABC中，AC=10海里，AB=20海里，CAB=120根据余弦定理得：BC2=AC2+AB22ACAB
20、cosCAB=100+400+200=700，BC=10海里，根据正弦定理得，即，sinACB=，sin=故选：A点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系8（2014成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为，在B处测得该水塔顶端D的仰角为，已知AB=a，0，则水塔CD的高度为（）ABCD考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：设CD=x，求出AC，BC，利用a=BCAC，即可求出水塔CD的高度解答：解：设CD=x，则AC=，BC=，a=BCAC，a=，x
21、=，故选：B点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，求出AC，BC是关键9（2014怀化一模）在等腰RtABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P若，则PQR的周长等于（）ABCD考点：解三角形的实际应用专题：综合题；解三角形分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得PQR的周长解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），P（，0）故直线BC的方程为x+y=4，P关于y轴的对称点P2（，0），设点P关于直
22、线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，故PQR的周长等于|P1P2|=故选：A点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题10（2012珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A0.5小时B1小时C1.5小时D2小时考点：解三角形的实际应用专题：计算题分析：先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案解答：解
23、：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x0），而点B到射线y=x的距离d=2030，故l=2=20，故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选B点评：本题主要考查了解三角形的实际应用通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决11（2011宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知D成120角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（）AF1，F3成90角BF1，F3成150角CF2，F3成90角DF2，F3成60角考点：解三角形的实际应用；向量的模；向量在物理中的应用分
24、析：处于平衡状态即三个力合力为0，利用向量表示出等式，将等式变形平方，利用数量积公式求出，T通过三角形边的关系求出角解答：解：由=+2|cos120=由知，F1，F3成90角，故选A点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的求法、及解三角形12（2011大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A5kmBkmC4kmDkm考点：解三角形的实际应用专题：计算题分析：先画出简图求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值解答：解：依题意可得简图，可知A=150，根据余弦定理可得，AB2=BC2+AC22BCACcos
25、C=16，AB=4故选C点评：本题主要考查余弦定理的应用属基础题主要在于能够准确的画出图形来13（2011安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高PQ为（）ABCD考点：解三角形的实际应用专题：计算题；应用题分析：PAB中，由正弦定理可得 PB=，根据PQ=PC+CQ=PBsin+asin 通分化简可得结果解答：解：PAB中，PAB=，BPA=（）（）=，=，即PB=PQ=PC+CQ=PBsin+asin=，故选 B点评：本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出 PB=，是解题的关键14（2010武昌区模拟）某
26、人朝正东方向走xkm后，向右转150，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A2或B2CD3考点：解三角形的实际应用专题：计算题分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值解答：解：如图，AB=x，BC=3，AC=，ABC=30由余弦定理得3=x2+923xcos30解得x=2或x=故选A点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形根据数据特点选择合适的定理建立方程求解15（2010江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船
27、B与救护船A的距离是（）A100海里B200海里C100海里或200海里D海里考点：解三角形的实际应用专题：计算题分析：先根据正弦定理求得sinB的值，进而确定B的值，最后根据B的值，求得AB解答：解：设基地为与O处，根据正弦定理可知=sinB=OA=B=60或120当B=60，BOA=90，A=30BA=2OB=200当B=120，A=B=30OB=AB=100故渔船B与救护船A的距离是100或200海里故选C点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生转化和化归思想和逻辑思维的能力16（2010武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75的方向飞
28、行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（）A1400kmB700kmC700kmD1400km考点：解三角形的实际应用专题：计算题；数形结合分析：设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则BAD和DBC可知，进而求得ABC=60判断出三角形为正三角形，进而求得AC解答：解：依题意，设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则BAD=75，DBC=75ABC=7515=60AB=BC=1400ABC为正三角形AC=1400千米故选A点评：本题主要考查了解三角形的应用要注意特殊三角形的运用17（2010石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计
29、一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0ba）则该平板车长度的最大值为（）ABCD考点：解三角形的实际应用专题：应用题分析：先设平板手推车的长度不能超过 x米，此时平板车所形成的三角形：ADG为等腰直角三角形连接EG与AD交于点F，利用ADG为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度解答：解：设平板车的长度的最大值为x由题意可得ADG为等腰直角三角形，连接EG交AD于F，则EG=aFG=EGEF=得ADG为等腰直角三角形，AD=2AF=2FG=故选：C点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，解答的关键是由实际问题：要想顺利通过直角走廊，转化为数学问题：此时平板手推车所形成的三角
30、形为等腰直角三角形18（2009韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A10米B30米C10米D米考点：解三角形的实际应用专题：计算题；数形结合分析：先画出示意图，根据题意可求得AEC和ACE，则EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在RtABC中利用AB=ACsinACB求得答案解答：解：如图所示，依题意可知AEC=45，ACE=1806015=105EAC=18045105=30由正弦定理可知=，AC=sinCEA=20米在R
31、tABC中，AB=ACsinACB=20=30米答：旗杆的高度为30米故选B点评：本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决19（2009温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A（米/秒）B（米/秒）C（米/秒）D（米/秒）考点：解三角形的实际应用专题：计算题；应用题分析：先根据题意可知DAB，ABD和
32、ADB，AB，然后在ABD利用正弦定理求得BD，进而在RtBCD求得CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度解答：解：由条件得ABD中，DAB=45，ABD=105，ADB=30，AB=10，由正弦定理得BD=AB=20则在RtBCD中，CD=20sin60=30所以速度V=米/秒故选A点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生分析问题和基本的推理能力，运算能力二填空题（共7小题）20（2014重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120到OD，连PD交圆O于点E，则PE=考点：三角形中的几何计算专题：计算题分析：先由余弦定理求出PD，再根据割线定理
33、即可求出PE，问题解决解答：解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP22ODOPcos120=1+4212（）=7，所以PD=根据割线定理PEPD=PBPC得，PE=13，所以PE=故答案为点评：已知三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗21（2014南昌模拟）已知ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2Asin2C）=（sinAsinB）b，则ABC面积的最大值为考点：三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用专题：计算题分析：把b=2sinB 代入已知等式并应用正弦定理得 a2+b2c2=ab，由余弦
34、定理 得cosC=，得到C=60，由ab=a2+b232ab3 求得ab最大值为3，从而求得ABC面积 的最大值解答：解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得 2sin2A2sin2C=2sinAsinB2sin2B，sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB，a2+b2c2=ab，cosC=，C=60ab=a2+b2c2=a2+b2（2rsinC）2=a2+b232ab3，ab3 （当且仅当a=b时，取等号），ABC面积为 3=，故答案为 点评：本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ab3是解题的难点22（2014韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点
35、向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75，则A到C的距离是30（+）海里考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：由题意，ABC=105，C=30，AB=60海里，由正弦定理可得AC解答：解：由题意，ABC=105，C=30，AB=60海里由正弦定理可得AC=30（+）海里故答案为：30（+）点评：本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题23（2014潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行
36、驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北（045）的C处，且cos=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为4海里/小时考点：解三角形的实际应用专题：解三角形分析：根据余弦定理求出BC的长度即可得到结论解答：解：cos=，sin=，由题意得BAC=45，即cosBAC=cos（45）=，AB=20，AC=10，由余弦定理得BC2=AB2+AC22ABACcosBAC，即BC2=（20）2+10222010=800+100560=340，即BC=，设船速为x，则=2，x=4（海里/小时），故答案为：4点评：本题主要考查解三角形的应用，根据条件求出cosBAC，以及利用余弦定理求出B
37、C的长度是解决本题的关键24（2014潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角CND最大，则N处与A处的距离为23km考点：解三角形的实际应用专题：应用题；三角函数的求值分析：设出NA的长度x，把CNA与DNB的正切值用含有x的代数式表示，最后把CND的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N对C、D两个小区的视角CND最大时的x值，即可确定点N的位置解答：解：设NA=x，CNA=，DNB=依题意有
38、tan=，tan=，tanCND=tan（+）=tan（+）=，令t=x+3，由0x3，得3t6，则=4t+3+t=2，即x=23时取得最大角，故N处与A处的距离为（23）km故答案为：23点评：本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题25（2014台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）如图所示，且B+D=180，则AC的长为km考点：解三角形的实际应用专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理，结合B+D=180，即可求出AC的长解答：解：由余弦定理可得AC2=22
39、+32223cosD=1312cosD，AC2=52+82258cosB=8980cosB，B+D=180，2AC2=13+89=102，AC=km故答案为：点评：本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键26（2014黄冈模拟）路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m的人以m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为m/s考点：解三角形的实际应用专题：解三角形分析：由题意画出几何图形，设出人从C点运动到B处路程、运动时间及人影长度，由三角形相似求出人影长度与运动路程间的关系式，把运动路程用运动速度和运动时间替换，求导后得答案解答：解：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，BECD，y=x，又x=t，y=x=t则y=，人影长度的变化速率为m/s故答案为：
