1、第二章第二章 静电场静电场Electrostatic field本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。1.静电场标势微分方程2.唯一性定理3.分离变量法4.镜像法6.电多级矩本章内容：本章内容：本章重点：本章重点：本章难点：本章难点：分离变量法、电多极子分离变量法、电多极子静电势及其特性、分离变量法、镜象法静电势及其特性、分离变量法、镜象法2.1 静电势及其微分方程静电势及其微分方程Scalar potential and differential equa
2、tion for electrostatic field一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系 三静电场的能量本节主要内容本节主要内容在静止情况下，电场与磁场无关，在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为麦氏方程组的电场部分为这两方程连同介这两方程连同介质的电磁性质方质的电磁性质方程是解决静电问程是解决静电问题的基础。题的基础。静电场的无旋性是它的一个重要特静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。势函数描述保守力场的方法一样。0E D一
3、、静电场的标势一、静电场的标势E0dlE120CCdlEdlE12ddCClElE无旋性的积分形式是电场无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等沿任一闭合回路的环量等于零，即于零，即设设C1和和C2为为P1和和P2点的两点的两条不同路径。条不同路径。C1与与C2合成合成闭合回路，因此闭合回路，因此电荷由电荷由P1点移至点移至P2点时电场点时电场对它所作的功与路径无关，对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。只和两端点有关。21dPPEl21d)()(12PPlEPP把单位正电荷由把单位正电荷由P1点移至点移至P2点，电场点，电场E对它所作的对它所作的功功为为这功定义为这功定义为P1点和点和
4、P2点的点的电势差电势差。若电场对。若电场对电荷做了正功，则电势电荷做了正功，则电势 下降。由此下降。由此PlEPd)(由这定义，由这定义，只有两点的电势差才有物理只有两点的电势差才有物理意义意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令令()=0有有lEddlzzyyxxdddddE相距为相距为dl的两点的的两点的电势差电势差由于由于因此，因此，电场强度电场强度E等于电势等于电势 的负梯度的负梯
5、度 当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势已知电势 时，通过求梯度就可以求得电场强度。时，通过求梯度就可以求得电场强度。0EE0ED lEddPlEPd)(21d)()(12PPlEPP点电荷点电荷Q激发的激发的电场强度电场强度rrQE304其中其中r为源点到场点为源点到场点的距离。把此式沿径的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积向场点到无穷远点积分，电势为分，电势为rQrrQPr0204d4)(一组点电荷一组点电荷Qi激发的激发的电势电势iiirQP04)(若电荷连续分布，电荷密度为若电荷连续分布，电荷密度为，设，设r为源点为源点x到场点到场点
6、x的距离，的距离，则场点则场点x处的电势为处的电势为rVxx04d)()(二、静电势的微分方程和边值关系二、静电势的微分方程和边值关系1.电势满足的方程电势满足的方程2E 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 20适用于无自适用于无自由电荷分布由电荷分布的均匀介质的均匀介质DEE D2泊松方程泊松方程(适用于均匀介质适用于均匀介质)2静电势的边值关系静电势的边值关系(1)两介质分界面两介质分界面dQQPPEl0 P QQP12QP12nSSS21电荷沿法线方向移动电荷沿法线方向移动,切线分量不切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零）场有限，且间距趋于零）
7、SSnn1122nnEE1122nEn21()n DDnnDD12DE导体的特殊性导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2、导体内部电场为零；、导体内部电场为零；3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为设导体表面所带电荷面密度为，设它外面的介质电容，设它外面的介质电容率为率为，导体表面的边界条件为，导体表面的边界条件为导体1自由电荷介质2（2）导体表面上的边值关系）导体表面上的边值关系常数s|snnE
8、ddSSQSSn 三静电场的能量三静电场的能量12wE D1.一般方程：一般方程：能量密度能量密度 总能量总能量 1d2WE D V仅讨论均匀介质仅讨论均匀介质E DD ()DD ()D11d()d22WVDV 1dd0SDSDS()ddSDVDSdVW21r121rD2dS r,2.若已知若已知 总能量为总能量为 VdVW21讨论：（1）适用于静电场，线性介质；（2）适用于求总能量.21（3）不能把 看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以密度 的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大；12wE D1()1()()()dddd248xxxWxVVVV
9、rr12WdV（4）中的 是由电荷分布 激发的电势；（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。（6）若全空间充满了介电常数为的介质，可得到电荷分布所激发的电场总能量式中r为 与 点的距离。xx例例1 P56 求带电量求带电量Q、半径为、半径为a的导体球的静电场总能量。的导体球的静电场总能量。整个导体为等势整个导体为等势体体,导体球的电导体球的电荷分布于球面上荷分布于球面上aQa04 因此静电场总能量为因此静电场总能量为aQW028 aQVW 21d21 解解方法之一方法之一:按电荷分布按电荷分布方法之二方法之二:按电场分布按电场分布222202
10、220001dd2884aQQQWrrrrar VDEWd21因为球内电场为零，因为球内电场为零，故只须对球外积分故只须对球外积分yoxp0Ex0E例2 P55 求均匀电场 的电势。00ESolution:因为均匀电场中每一点强度 相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为 。根据 ，得到1212()()dppppEl 0()(0)dppEl 0000()dppElEx如果，000()pEx 例例3 P56均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的，求空间的电势。求空间的电势。场点pRozz电荷源dqdzrSolution:选取柱坐标：源点的坐
11、标为（0,0,z),场点的坐标为（R,0,0)，电荷 元 到P点的距离dz22rRz 222200ln44dzPzRzRz无穷大的积分结果与电荷不是有限区域内分布有关。无穷大的积分结果与电荷不是有限区域内分布有关。222200ln44MMMMdzPzRzRz 计算两点计算两点P和和P0的电势差可以不出现无穷大。设的电势差可以不出现无穷大。设P P0 0点点与导线的垂直距离为与导线的垂直距离为R0，则有限长直导线在，则有限长直导线在P点和点和P0点相点相对对的电势为的电势为 2222002222001/11/1ln41/11/1RMRMPPRMRM 22000ln4MMPzRz无限长直导线在无限
12、长直导线在P点相对点相对P0点的电势差点的电势差 2222002222001/11/1ln41/11/1limMRMRMPPRMRM 2222002222001/11/1ln41/11/1limMRMRMPPRMRM 2002000lnln42RRPPRR 22221112RRMM 00()ln2RPR 若选若选P0为参考点，则为参考点，则0,02RZEEERR 例题例题4 电偶极子产生的电势电偶极子产生的电势l 2-QQzxyPR)(Rl解：解：系统偶极矩系统偶极矩 2zPQl e)11(4)(0rrQPrrcos2222RllRr12 cos/1 2 cos (1)cos2rRlRlRRl
13、R求近似值：求近似值：coslRr同理同理 2222cos2coscos211RllRlrrrrrr2330002cos2cos()444QlQlRP RPRRRx-y平面为等势面（平面为等势面（Z=0的平面）。的平面）。若电偶极子放在均匀介质若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：中（无限大介质）：)(Rl 34P RR注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 ，而，而00pE用真空中的用真空中的。这由。这由 决定。决定。QQp)1(0022(1)pPzzPQ l eQl eP033330001(1)4444pP RP RP RP RRRRR 均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷，为束缚电荷，pQ总结：总结：E21d)()(12PPlEPP2 泊松方程泊松方程SS21SSnn1122常数s|sn导体：导体：rVxx04d)()(总能量总能量 1d2WED V1d2WV
