1、1向量及其线性运算第一节一、空间直角坐标系二、向量及其运算三、向量的坐标四、小结21、空间点的直角坐标平面直角坐标系平面直角坐标系xyoP),(yxxyP点点),(yx图形图形方程方程.面几何问题面几何问题可以用代数方法解决平可以用代数方法解决平:问题问题?数数方方法法解解决决空空间间几几何何问问题题能能否否用用代代一、空间直角坐标系3x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角 度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇
2、指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.几个基本概念、空间直角坐标系)1(4xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限、坐标面及卦限)2(5、坐标)3(,P对于空间点对于空间点xyzoP与三坐标轴交于与三坐标轴交于轴的平面轴的平面点作垂直于三个坐标点作垂直于三个坐标过过,P,点点zyxxzy),(zyxP11,),(点的坐标点的坐标为为称称Pzyxx为横坐标为横坐标x为纵坐标为纵坐标y为竖坐标为竖坐标z显然显然)0,0,0(O),(00 xAAB),(00 yBC),(zC00:问题问题?),(在什么位置在什么位置121P62、空间两
3、点间的距离到原点的距离、点),()1(zyxPxyzo),(zyxPABCQ222QPOQOp222zOCQP而而222AQOAOQ22OBx 22yx 2222zyxOP222zyxOP即即7设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知22212NMNMd(2)、空间两点间的距离,22221NMPNPM8,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空
4、间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M9例例 1 1 求证以求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM,6)23()12()75(222 213MM,6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.10解解设设P点坐标为点坐标为),0,0,(x因为因为P在在x轴上，轴上，1PP 22232 x,112 x 2PP
5、 22211 x,22 x 1PP,22PP112 x222 x,1 x所求点为所求点为).0,0,1(),0,0,1(11向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量.21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.0|a21MM|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：1、向量的概念或或或或或或二、向量及其运算12自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的
6、向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.OMM131 加法：加法：cba abc平行四边形法则平行四边形法则特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac 三角形法则三角形法则2、向量的加减法bac14向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）.0)(aa2 减法减法)(baba
7、abcbabac )(ba ba ab15设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为,0)1(a 与与a同向，同向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 3、向量与数的乘法16数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)(（2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理0两个向量的平行关系两个向量的平行关系17同方向的单位
8、向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa.|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.18例例1 1 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 19例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等
9、,BC结论得证结论得证.ABCDMab201、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数三、向量的坐标21ouAB1轴同方向的单位向量，轴同方向的单位向量，是与是与设设ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三点三点轴上任意三点，不论这轴上任意三点，不论这是是设设uCBA,eBCeABeAC)()()(即即,)(eBCA
10、B .BCABAC ,BCABAC e22证证,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是23空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：,0 a,0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.0()24空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点
11、点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.25空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.26ABjuPr.BA 向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos|AB
12、证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos|AB u 27定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；0)1(,2 2)2(,)3(,2 28关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和.PrPr)(Pr2121ajajaajuuuAA BB CC（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a292、向量的坐标表达式标表达式、起点在原点向量的坐)1(x
13、yzo基本单位向量基本单位向量ikijk),(,zyxPa终点为终点为为起点在原点为起点在原点设向量设向量a),(zyxPjABCAOi xBOj yCOkzQQAAOQOBOi xj yi xPOaPQQOCOQOkzj yi x30的向量的向量起点在原点终点为起点在原点终点为),(zyxPPOa坐标表达式坐标表达式kzj yi xa也可记为也可记为,zyxa 其中其中,在三坐标轴上的投影在三坐标轴上的投影为为azyx的坐标的坐标称为称为akzj yi x,.在三轴上的分向量在三轴上的分向量称为称为a显然显然,000O,001i,010j,100k31式、任一向量的坐标表达)2(,),(为起
14、点为起点是以是以设设111zyxABAa为终点的向量为终点的向量以以),(222zyxBxyzoABaBAaAOBO)(kzjyix222)(kzjyix111kzzjyyixx)()()(121212,121212zzyyxxa即即32(3)、向量运算的坐标表达式、向量运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 332例例,451321ba已知已知ba32 求求:解解 ba32,
15、45133212,12153642,619134解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 3 3 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为为两两已已知知点点，而而在在AB直直线线上上的的点点M分分有有向向线线段段AB为为两两部部分分AM、MB，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某数数)1(，即即 MBAM，求求分分点点的的坐坐标标.ABMxyzo35由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,
16、121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 36非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.、,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 3、向量的模与方向余弦的坐标表示式37xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21
17、212121RMQMPMMM ,zyxaaaaMM21设设380222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxxaaaaaa,cos222zyxyyaaaaaa.cos222zyxzzaaaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式391coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa.cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为40例例 4 4 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76
18、|a,11|aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 41解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为、,3 ,4 ,1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 42.32,3 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21PP21 x21,2 x0cos y 21PP20 y22,2 y3cos z 21PP23 z,2,4 zz2P的坐标为的坐标为).2,2,2(),4,2,2(21 21PP,301zyx43例例 6 6 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴
19、上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.44对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1,1,1 nm1,3,1 nm,3|nm,11|nm平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11,3.mn 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.7例例:解解45空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（
20、注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）四、小结 21221221221zzyyxxMM 46向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）四、小结47向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别
21、）48练习与思考题练习与思考题1、已知平行四边形、已知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,解答：解答：BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab492、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,)3,2,1(A,)4,3,2(B,)4,3,2(C.)1,3,2(D解答：解答：A:;B:;C:;D:;50503、一向量与zyx而与轴成等角轴和,轴组成的角是它们的两倍,确定这向量的方向。解：解：先求方向余弦，再求方向角。1coscoscos222又212coscos222又2cos1cos220)2cos1(2cos02cos或12cos4或251514、求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解:2 3,得bax32)10,1,7(6,3,34,2,4代入得)3(21bxy)16,2,11(2,1,1)30,3,21(21
