1、1考点聚集突破知识衍化体验第第3节节空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.2考点聚集突破知识衍化体验知 识 梳 理1.空间图形的公理与定理(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).(2)公理2：经过_的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).(3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.两点不在同一条直线上一个3考点聚集突破知识衍
2、化体验(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.(5)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.(6)等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_.相等或互补4考点聚集突破知识衍化体验2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a5考点聚集突破知识衍化体验3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的
3、平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角.6考点聚集突破知识衍化体验微点提醒1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.7考点聚集突破知识衍化体验基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果
4、两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.()8考点聚集突破知识衍化体验解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误.答案(1)(2)(3)(4)9考点聚集突破知识衍化体验2.(必修2P28A4改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90解
5、析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案C10考点聚集突破知识衍化体验3.(必修2P26例1改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH为矩形.答案B11考点聚集突破知识衍化体验4.(2019萍乡调研)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am
6、，A，则m，n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行解析依题意，mA，n，m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案D12考点聚集突破知识衍化体验5.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()13考点聚集突破知识衍化体验解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项中直线AB与平面
7、MNQ不平行.图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.答案A14考点聚集突破知识衍化体验6.(2018西安调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条.解析在EF上任意取一点M，如图，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线A1D1，
8、EF，CD都相交的直线有无数条.答案无数15考点聚集突破知识衍化体验考点一空间图形的公理及应用【例1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.16考点聚集突破知识衍化体验证明(1)如图，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，又因为A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF与CD1确定一个平面.所以E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面.17考点聚集突破知识衍化体验所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必
9、相交.设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，所以P平面ABCD且P平面A1ADD1.又因为平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，所以CE，D1F，DA三线共点.18考点聚集突破知识衍化体验规律方法1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证
10、其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.19考点聚集突破知识衍化体验【训练1】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.20考点聚集突破知识衍化体验证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面.(2)EGFHP，PEG，EG 平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线.21考点聚集突破知识衍化体验
11、考点二判断空间直线的位置关系【例2】(1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交22考点聚集突破知识衍化体验(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直23考点聚集突破知识衍化体验解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1
12、，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.(2)折起前ADBC，折起后有ADBD，ADDC，所以AD平面BCD，所以ADBC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.答案(1)D(2)C24考点聚集突破知识衍化体验规律方法1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导
13、出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.25考点聚集突破知识衍化体验【训练2】(1)(2019湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A.B.C.D.26考点聚集突破知识衍化体验(2)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与
14、n异面、相交、平行均有可能解析(1)由题意，可知题图中，GHMN，因此直线GH与MN共面；题图中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图中，连接MG，则GMHN，因此直线GH与MN共面；题图中，连接GN，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，所以直线GH与MN异面.故选C.27考点聚集突破知识衍化体验(2)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.答案(1)C(2)D28考点聚集突破知识衍化体验考点三异面直线所成的角多维探究角度1求异面直线所成的角或其三角函数值29考点聚集突破知识
15、衍化体验解析法一如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角.30考点聚集突破知识衍化体验答案C31考点聚集突破知识衍化体验角度2由异面直线所成角求其他量【例32】在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，则EF的长为_.解析如图，取BC的中点O，连接OE，OF.32考点聚集突破知识衍化体验规律方法用平移法求异面直线所成角的一般步骤：(1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.33考点聚
16、集突破知识衍化体验【训练3】(2019合肥模拟)三棱锥ABCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()解析连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，M是AD的中点，MOAN，BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角.设三棱锥ABCD的所有棱长为2，34考点聚集突破知识衍化体验在BMO中，由余弦定理得答案D35考点聚集突破知识衍化体验思维升华1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.36考点聚集突破知识衍化体验3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.易错防范1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
