1、第八讲 数学史融入数学课堂教数学史融入数学课堂教学的方法学的方法 如何将数学史融入数学教学？数学史在数学教学中的各种作用正在被越来越多的研究所证实，也逐步成为各国数学教育界的共识。随着HPM研究的深入开展，学术界日益注重数学史融入数学教学的可操作性具体方法的探讨以及数学史在数学教育中作用的实际证据的获取。如何将数学史融入数学教学的实践探索是未来HPM研究的重要方向之一。如果不注重实际操作的研究，将数学史融入数学教学恐怕只是一句空洞的口号而已。第一节 数学教学中如何运用数学史数学教学中如何运用数学史 1.1 将数学史融入数学教学的层次将数学史融入数学教学的层次 对于数学史融入数学教学，存在着很多
2、片面的理解，最普遍的是将其理解为在数学课堂讲点数学史以提高学生的兴趣，显然这只是数学史应用的较低层次。很多学者赞成使用“将数学史融入数学教学”这一说法，是因为它“更适合表达数学史在分析学习和理解过程方面的效果”教师应用数学史至少可以分为三个层次：(1)讲故事；(2)在历史脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力和思考弹性；(3)从历史的角度注入数学活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想。1.2 将数学史融入数学教学的过程将数学史融入数学教学的过程将数学史融入数学教学并不是在教学中插入几个历史故事那么简单，Furinghetti认为，融入的过程一般包
3、括以下几个阶段：学习历史资料 选出适合于课堂教学的话题 分析课堂需要 制定课堂活动计划 完成方案 对活动的评价。经由T-C1-I循环即是教师融入教材编者所编写的教科书内容，领会教材的精神，做出自己的诠释。这是一般的数学教师在从事数学教学时经历的思考过程。当在数学教学中融入数学史之后，教师必须进入C2循环，领会古代数学家对数学内容所做的解释，经过自己的诠释，显现于教学。同时，教师还必须斟酌C1和C2之间的连结，此时，教师能够体会到教学目标是数学知识，这样，当真正进入实际教学时，教师的数学教学活动就不会迷失在漫无目的琐碎历史细节之中。这也正是荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal
4、,19051990）所主张的“经过引导的再创造”(guided re-invention)的真正含义：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而是经改良过同时有更好引导的历史过程。”在C1 和C2 的连结上，教师可以采取不同的路径，例如：T-C1-I-C2-I-C1-I-代表的是教师从教科书入手，寻找数学史料，然后来回地思考C1和C2之间的联系，用以教学。此时教师是针对教材寻找史料，对所寻找素材的重要性加以自我诠释。另外教师也可能经由T-C2-I-C1-I-C2-等路径，这是因为当教师认识了HPM 之后，当发现有趣的数学史料，也会进入C1，寻找适合的角度融入教学。HPM视角下的等比数列及教学设计
5、高中数学课程标准要求：o 数学史对于比较全面了解和深刻认识数学本身，全面了解整个人类文明的发展具有重要意义。在本专题中，学生将通过生动、丰富的事例，概略地了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。o 本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性，通过学生喜闻乐见的语言与生动有趣的事例呈现内容，使学生体会数学发展的轨迹和重要思想。本专题的内容安排与教学可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发，追根溯
6、源，回眸数学发展中的重要事件和人物。o 数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。o 等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如：教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。数列课时（12课时）及要求 u（1）数列的概念和简单表示法 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示 方法（列表、
7、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。u（2）等比数列 通过实例，理解等比数列的概念。探索并掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知 识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。一、数列的历史背景o 远古时期已存留下数列的某些痕迹，虽然那时对数列还是初步的和肤浅的认识，但从中看出数列问题具有非常悠久的历史，对数列历史发展的考察，将促使我们对数列加深理解，同时也为数列的教学挖掘一些具有启示性的素材。早在公元前3000年，古巴比伦就研究了数 列：，并给出了它的和为：古希腊欧几里德的几何原本第九篇命题 6：若几何级数一些项之和（前n项和）是
8、质数（素数），那么 这个和同最末项的乘积是完全数。其中就涉 及到了几何级数（等比数列）的问题。2391,2,2,2,299221211222no 以上这些说明在人类文明的早期不仅注意到 了等比数列的基本性质，而且也进一步研究 等比数列的求和问题了。命题35给出等比数列求和公式（Heath1921）设有等比数列 ，公比为 。则由得121,na aa(1)q 1211nnnnaaaaaa112111nnnnnnaaaaaaaaa由合比定律，我们又有这等价于我们今天的 1111211111nnnnnaaaaaaqaaaSa1(1)(1)1nna qSqqo 九章算术中的第三章“衰分”（即比例分配问题
9、）章第二题：今有牛，马，羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马（所食）”。马主曰：“我马食半牛（所食）”。今欲衰偿之，问各出几何。此问题其实就是一个等比数列的问题，而且是一个简单，典型的实际例子。术曰：置牛四，马二，羊一，各自为列衰（即所配的比率），副并（得所配比率的和）为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。上述问题的实质是，已知等比数列的项数，公比及各项和，求各项。由于公比是2，而因此这实际上是公式 的实际应用。2312221125122a1(1)(1)1nna qSqqo 第四题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？o 术曰：置一，二，四，八，十六为列衰，副并为法。
10、以五尺乘未并者，各自为实。实如法得一尺。此问题亦为已知等比数列的项数，公比及各项之和，求各项。公比仍是2，而因此234512222211234551222231a又如孙子算经卷下一题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”此问题虽然是一个简单的计算问题，但是很明显题中的堤，木，枝，巢，禽，雏，毛，色的数目构成一个等比数列。这样的数列具有浓郁的生活气息，给我们的教学提供了参考素材。o 后来印度数学家婆什迦罗，阿拉伯数学家阿 尔比鲁尼(AlBiruni,9731048)，意大利 数学家斐波那契(L.Fibonacci,1175 125
11、0)都曾对等比数列的求和问题进行过讨 论或研究。o 1410年，意大利数学家贝尔达曼迪 (Prosdocimo deBeldamandi,1370 1428)在整数算法中给出如下的等比数 列求和公式：其实此公式就是：这与现代公式是一致的。1211,1nnnaqaaaqaqaqaqq122,1nnaqaaaqaqaqqo 1484年，法国数学家休盖给出等比数列求 和公式：o 1544年，德国数学家斯蒂菲尔则给出如下 的公式：11nnqaqaSq1()(1)nnqaqa aSqao 而后16世纪，德国数学家克拉维斯在其实用算术概要中给出等比数列的前n项和公式。这个公式给出了首项，末项，公比与和的关
12、 系，与贝尔达曼迪的一致。1()1nnnaaSaqo 17世纪，英国数学家沃利斯给出等比数列的 求和公式 其中A，R，V，S分别表示首项，公比，末 项，和。1VRASR二、教学设计根据等比数列的历史发展特点，主要是历史悠久和实际联系性，我们将设计一个教学方案以强调等比数列的内在性质。1.等比数列的概念o 研究某一特殊简单的数列，给学生以直观的 印象。如 让学生思考这 一数列有什么特点。进而得出等比数列的本 质特征：该数列的任意后一项与前一项的比 始终为一个常数。1,2,4,8,16,2.等比数列的性质让学生思考如何来表示这一类数列的性质？根据性质的含义可以用如下等式表示：把这些等式相乘，得 3
13、241231,nnaaaaqqqqaaaa11123411123211,nnnnnnnnna a aaaaqqaa qa a aaaa即所以试着让学生计算简单数列的前n项和o 传说古印度有人发明了一种棋类游戏，太子西拉谟打算建立发明者，让他自己选择奖品，发明者请求，按军棋上的格数赏给他一粒米，但必须第一格给他一粒米，第二格两粒米，第三格四粒米，以下各格的米粒是它的前一格米粒数的两倍，台资应允了他的请求，按照军棋盘上的64个方格计算应发给发明者的米粒熟，结果使太子目瞪口呆，因为全国的存米还不够数！现在我们来计算一下应给发明者的米是多少？米粒的数目是64个数的和，第一个数是1，第二个是2，以下每个
14、数是它前一个数的两倍。如此，64个数的和为 （1）考虑错位相减法，用2乘（1）式两边得 （2）（2）减去（1）得236263122222S 236364222222S 这么多的米粒，若把它铺撒在地球的表面上，可以铺成约为9毫米厚的米层！难怪太子西拉谟发不出这奖品。6421184467440737709551615S 由特殊导出一般算法求出前n项和公式 22112311111221111112311111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnqSaaaaaa qa qa qa qSaa qa qa qa qqqSa qa qa qa qa qqqSSa qaSaqqSna当时，两边同
15、乘以，则有两式相减得：，即得当时,卖柑子 小贩以其所有柑子的一半又一半卖给第一 人，以其剩余的一半又半个卖给第二人，同 样的方法，卖给其余的顾客，当第七个人来 买时，小贩已经卖完了，问小贩原有柑子若 干？236,11,22211112222111112242212xxxxxxxxxxx解：设原来的柑子数为 则第一人所得：第二人所得：（）第三人所得：（）第六人所得：236236661111222211111222211122163xxxxxxxxxx 于是即()()由此所以“聪明”的马贩 有一马贩，用156元买了一匹马。买后又后悔了，退还给卖主。于是卖主说：“你嫌马价高，那你就只买我的马蹄铁上的
16、钉子好了，马可以白送。每一马蹄铁上有6个钉子。第一个钉子只给我半分钱的一半，第二个钉子给半分钱，第三个钉子给一分钱，如此类推。”马贩被这廉价所诱惑，欣然应诺。请问马贩究竟要破费多少钱呢？即四万一千九百余元。卖主在这样的情况下，当然乐意将马白送了。节选自趣味代数一百例 2324-324221241 11 2 2 224 21(1 2)11342419430311 244nnqaq解：个钉子的价钱组成一等比数列：，故S（分）1.3 将数学史融入数学教学的形式将数学史融入数学教学的形式 将数学史融入数学教学有隐性和显性两种形式。隐性融入是指根据历史对教学内容重新设计和加工，制作适用于教学的“历史套装
17、”，在隐性融入过程中，数学史扮演的角色是担当教学设计的指南，因为数学史并非最终目的，而是通过数学史的途径以达到教学目的”。台湾的HPM团队中，有很多教师致力于开发供课堂教学使用的“学习单”，便是将数学史隐性融入数学教学的具体例证。另一方面，“注入历史的教学法”发生教学法（genetic approach to teaching and learning），即属于数学史在教学中的隐性融入。这种教学方法的理论依据即为“历史发生原理”。为了用发生教学法来讲授数学，教师首先应了解所教主题的历史，并确定该主题历史发展的关键步骤；然后重新构建这些关键步骤，使之适用于课堂教学。显性地融入数学史旨在“描述数学
18、发展的进程”。Barbin指出了显性融入的两种错误倾向，首先是如果教师只提供给学生有限的历史片段，就可能造成学生对数学发展过程的错误或片面的理解。当前的不少数学教材，表面看起来注重数学史的应用，但大多数只局限于在每一章节的后面增加几个历史注解，如数学家小传、个别概念的发展历史等，这实际上势必导致教师将数学史与数学课程割裂开来，甚至认为将数学史融入数学教学“与日常课堂教学背道而驰”。另一个错误倾向是“脱离数学史融入数学教学的目的，将融入数学史转化为数学史教学”。这种做法的直接结果是让学生感到数学史只不过是新增加的考试内容而已，如此一来，恐怕连“激发学生兴趣”这一作用也会消失殆尽。弧度制弧度制 教
19、学目标分析教学目标分析 1.使学生理解1弧度角的定义，领会弧度制引入的合理性和优越性。2.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；3.熟练掌握角度制与弧度制的换算 4.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；5.通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的 教学难点和重点教学难点和重点教学内容教学内容 一、一、1弧度角弧度角 二、弧度的记号二、弧度的记号 三、弧度制三、弧度制 四、相关公式四、相关公式 五、两种制度的比较五、两种制度的比较 六、弧度制的应用六、弧度制的应用 平面几何里我们都已经学习过角的度量。我们知道周角的 是1度角，并且
20、 。这种60进制起源于古巴比伦。为什么他们会将圆周分成360等份而采用这样的进制来表示角的大小？这在数学史上尚未定论。1360一、弧度角一、弧度角 160,160 但有一个事实值得我们注意：但有一个事实值得我们注意：当一个圆周等分为六份时，即圆心角是当一个圆周等分为六份时，即圆心角是60O时，每一时，每一个圆心角所对的弦长都等于半径个圆心角所对的弦长都等于半径。那么长度等于半径的弧所对的圆心角是否也是那么长度等于半径的弧所对的圆心角是否也是一个特殊的角？这个角与圆半径大小相关吗？一个特殊的角？这个角与圆半径大小相关吗？一、弧度角一、弧度角 定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆定义：我们把等于半
21、径长的圆弧所对的圆心角叫做心角叫做1弧度的角。弧度的角。演示课件 r r r O B A二、弧度的记号 弧度的概念是数学家定义了正弦函数、余弦函数和正切函数之后很多年才提出的。“弧度(radian)”是爱尔兰工程师詹姆斯汤姆森在1875年首先创造使用的，它是由半径（radius）和角（angle）两个英语单词组合而成。1935年，我国数学名词把radian译为弪（弧和径两字合成），这表明圆心角的弧度数是由弧长和半径共同决定的。1956年版的数学名词废除此字，定为“弧度”。二、弧度的记号 弧度的符号表示在历史上也几经变换。1881年霍尔斯特德用 表示弧度单位；1909年 霍尔等用R表示；1907
22、年鲍尔用 表示。1925年朗尼的平面三角还用 表示。近几十年来，数学家却习惯将表示弧度的符号省去不写。弧度和角度一样，都是有度量单位的，不要以为略去单位符号之后，它等同于相应的数，比如1r不等于实数1。rc三、弧度制 以弧度为单位度量角的单位制就称为弧度制。其实角的度量在历史上有很多进制。法国采用的10进制 苏联或英美的密位制 1、希腊的希帕恰斯把圆的半径分成60等份，按照60进制可以把圆周和半径的每一分度继续往下分60等份，于是对于有一定度数的给定弧AB，他就给出了相应弦的长度数。给定度数的弧所对应的弦的长度的数目相当于今日的正弦函数。三、弧度制jBCOA三、弧度制 2、印度的阿耶婆多把半径
23、的 作为度量弧（也就是圆心角）的单位，制作了第一象限内每隔 的正弦差值表。这个数来自：他把圆周的 等分定为单位（整个圆周所含的分）即整个圆周长是 ，而取 的近似值 ，由上式可以推得 小数部分四舍五入就有 。显然，阿耶婆多的做法就含有弧度制的思想。134383 45360 60236021600r3437 7468r3.143438r三、弧度制 3、1748年，欧拉在他的 名著无穷小分析引论 中主张用半径为单位来 量弧长。设半径等于1，那么半圆周的长就是 ，所对的圆心角的正弦值就等于0，即 。同样 圆周长是 ，所对的圆心角的正弦等于1，可以记作 。这就是现在的弧度制。sin0142sin12四、
24、相关公式 1、长度等于2个半径的弧其所对的圆心角是多少弧度？2、长度等于个半径的弧其所对的圆心角是多少弧度？3、半径为 的圆中，长度为 的弧所对的圆心角又是多少弧度？|lrrl四、相关公式（1）半圆所对圆心角的弧度数是多少？（2）（3）（4）180n 把化成弧度把化成弧度0367例121670367解解：rad832167rad1800367四、相关公式角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键180把化成度把化成度例2rad5414418054rad54解：四、相关公式角度 弧度 0601201352704265230写出一些特殊角的弧度数 6453903243150180233600四、相关公
25、式五、角度制与弧度制的比较弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；的大小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）136011弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小；不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值五、角度制与弧度制的比较六、弧度制的应用 在赛尼（Syene）即如今的阿斯旺那个地方，夏至那天的中午的太阳几乎正在天顶，同时在亚历山大里亚(Alexanderia)，该处在赛尼之北而几乎与它在同一个子午线上，其天顶方向（图中的OB）与太阳方向（图中的AD）的夹角测得为0.13rad。因太阳距地很远，故可把SE和AD看成是平行
26、的。而赛尼到亚历山大里亚的距离是157 5000米，求地球的半径和周长 0.13 对着太阳 D A O B S S 1.4 将数学史融入数学教学的途径将数学史融入数学教学的途径 在具体的教学过程中，将数学史融入数学教学有很多种做法，这取决于教师的信念、教学观、课程内容、历史资料等诸多因素，已有的HPM文献也提供了很多成功的经验，包括使用传记、游戏、历史调查、本地历史考察、历史家庭作业、历史命题、参观、观看影视作品甚至戏剧表演。应用数学史的八种具体方法和途径：（1）在教学中穿插数学家的故事和言行。此即所谓的“历史花絮”。如我们在上一章所介绍的纳皮尔和布里格斯的故事、韦达的故事等等。（2）在讲授某
27、个数学概念时，先介绍它的历史发展。如讲授复数概念时，介绍复数概念的简短历史。（3）应用数学历史名题讲授数学概念，根据数学史上典型的错误帮助学生克服学习困难。Swetz主张，教师可以搜集历史上的不同时期和不同文化的数学问题，并布置给学生去解决、比较。如不同文化背景下的勾股定理应用问题：长30英尺的梯子倚墙而立，当上端沿墙下移6英尺的距离时，下端离墙移动多远？（巴比伦，公元前1600-1800）（答案：18英尺）今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木长几何？（中国，公元1世纪）（答案：5丈5寸）矛长20英尺，倚塔而立。若将末端外移12英尺，则尖端抵塔多高？（意大利，公元13
28、00年）（答案：16英尺）梯长25英尺，倚墙而立，上端距墙角比下端距墙角远17英尺。问梯子抵墙多高？（Dolciani，1970）（答案：24英尺）Swetz认为，从历史上的数学问题中，学生还可以获得一些文化的和社会的信息。给船制作帆布，每块帆布1000平方腕尺（cloth cubits），帆高与宽之比为1比。问帆高为多少？（1腕尺20英寸）（答案：25.8腕尺）从中可以了解到公元前250年一艘埃及船只桅杆的高度；当1蒲式耳小麦值8里拉时，面包师傅可制作一块重6盎司的面包；问：当1蒲式耳值5里拉时，一块面包重几盎司？（答案：盎司）从中可以推出到15世纪威尼斯一块面包的大小。一位先生劳动一天，得
29、工钱4元，每周付伙食费8元；10周后他挣得144元；求他空闲的天数和劳动的天数。（答案：14天空闲，56天工作）从中可以确定内战后美国人的每小时的薪水（12小时工作日）。Swetz还认为，历史上的数学问题还说明了数学思想的发展和演变过程。如由于对化圆为方问题的求解，导致人们对弓月形的研究；由此又衍生出一些几何问题，如：已知AB为直径的半圆，ADB弧内接于半圆。半圆与弧所围区域叫弓月形。证明弓月形ACBD面积等于内接等腰直角三角形ACB的面积。如图所示，设A、C、B是共线的三点。分别以AB、AC和CB为直径作半圆（同侧），三半圆所围区域叫鞋匠刀形。过点C作AB的垂线，交大半圆于G。证明以CG为直径的圆的面积等于鞋匠刀形的面积。（阿基米德引理集命题4）在鞋匠刀形内，两小半圆公切线CG左右各作切于CG和大小半圆的圆，证明两圆面积相等。（阿基米德引理集命题5）已知AC与CB的比，则可以求出鞋匠刀形的内切圆O的直径与AB的比。特别地，当 时，圆O的直径。（阿基米德引理集命题6）在鞋匠刀形内，EF是两个小半圆的外公切线，CD垂直于AB，证明四边形ECFD是矩形。（Mackagy,19世纪）如图所示，作鞋匠刀形的内切圆C1、C2、C3、。证明第n个圆Cn的圆心到直线ACB的距离是圆Cn直径的n倍。（Mackagy,19世纪）
