1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换一、复数列的极限一、复数列的极限二、复数项级数的概念二、复数项级数的概念.)(naxnlim=axnn，或或记为记为的的极限极限，恒成立恒成立,则称则称 Nn时，时，当当(无论有多小无论有多小)，如果对于如果对于a是一个实数。是一个实数。是一个数列是一个数列，设设nx0,N a为数列为数列nx此时称数列此时称数列收敛收敛;若数列极限不存在称数列是发散的若数列极限不存在称数列是发散的.nxa 回忆：实数数列的极限回忆：实数数列的极限a nNa anxn数列极限的几何意义lim0,nnxaNnN=要要找找到到一一使使得得，有有,nxa naxa即即Na a a
2、越来越小，N越来越大！nxn一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义 ,0 N自然数自然数若若 .0 zzNnn时，有时，有当当,0z收敛于收敛于记作记作0limzznn=,),2,1(其其中中为为一一复复数数列列设设=nzn,nnniyxz=,000为一确定的复数为一确定的复数又设又设iyxz=nz则称复数列则称复数列.)(0 nzzn或或.发散发散不收敛，则称不收敛，则称若数列若数列nnzz.0为极限为极限以以或称或称zzn2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件 ),2,1(0的的充充要要条条件件是是收收敛敛于于复复数数列列定定理理znzn=,lim0zznn=如果如果,0 ,0 N
3、 则则 ,时时当当Nn ,)()(00 iyxiyxnn证证,)()(000 yyixxxxnnn从而有从而有.lim0 xxnn=.lim0yynn=所以所以同理同理.lim ,lim00yyxxnnnn=.2,200 yyxxnn反之反之,如果如果,lim,lim00yyxxnnnn=,时时那么当那么当Nn 从而有从而有)()(000iyxiyxzznnn =)()(00yyixxnn =该定理说明该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.lim 0zznn=所以所以证毕证毕,00 yyxxnnninenz)11()1(=因为
4、因为下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;)11()1(ninenz =.sin)11(nnyn =,cos)11(nnxn=所以所以而而.0lim,1lim=nnnnyx解解 例例1 1),sin)(cos11(ninn =.cos)2(innzn=,收敛收敛数列数列.1lim=nnz且且)2(2)(cosnnneeninnz =由于由于,时时当当 n所以数列发散所以数列发散.,nz课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn =;1)1()2(=niznn.1)3(2innenz
5、=innnnzn2221211 =).(1 n发散发散2sin12cos1 nninnzn=).(0 n二、复数项级数的概念二、复数项级数的概念1.1.定义定义(1,2,)nnnzxiyn=nnnzzzz211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nnzzzs =21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和设设为一个复数列为一个复数列.收敛与发散收敛与发散,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列ns,1收敛收敛那么级数那么级数 =nnz.lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn=说明说明:.lim ssnn=利用极限利用极限 与实
6、数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不收敛不收敛如果部分和数列如果部分和数列ns .1发散发散那么级数那么级数 =nnz:,0 =nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs =,1时时由于当由于当 z,)1(11 =zzznzzsnnnn =11limlim,11z=.1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证 =nkknkknkknyixzs111,nni =)(11收收敛敛的的充充要要条条件件是是级级数数 =nnnnniyxz .11都收敛都收敛和和 =nnnnyx定理定理收敛收敛 n
7、s都收敛都收敛和和 nn .11 =nnnnyx都收敛都收敛和和 1 =收收敛敛级级数数nnz说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理)则则例例2 2 1 112是否收敛？是否收敛？级数级数 =nnni解解 =1112)1(11nnnnnini,1 1发散发散级数级数因为因为 =nn.原原级级数数仍仍发发散散,1)1(1收敛收敛虽虽 =nnn =11nn =11)1(nnni;1 11发散发散因为因为 =nnnnx .1121收敛收敛 =nnnny所以原级所以原级数发散数发散.课堂练习课堂练习11(2)(1)ninn=2 2级级数数
8、 是是否否收收敛敛？所以原级所以原级数收敛数收敛.)1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 =nnin(1);1 121收敛收敛因为因为 =nnnnx.1131收敛收敛 =nnnny =11nnnnyx收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim=nnnnyx和和0lim=nnz级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 =nnnnzz收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 =1nnz:,1 =nine级数级数例如例如,0limlim=innnnez因为因为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级
9、数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察0lim=nnz?,0limnnz如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.,0lim=nnz3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 .,11也收敛也收敛那么那么收敛收敛级数级数如果如果 =nnnnzz注：注：,1的的各各项项都都是是非非负负实实数数 =nnz可用正项级数的审敛法可用正项级数的审敛法.定理定理证证由于由于,1221 =nnnnnyxz而而,2222nnnnnnyxyyxx 根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则,知知收敛收敛及及 11 =nnnnyx 11收敛收敛及及 =
10、nnnnyx .1n收敛收敛 =nz非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明,22nnnnyxyx 由由,11122 =nkknkknkkkyxyx知知如果如果 收敛收敛,那么称级数那么称级数 为为绝对收敛绝对收敛.=1nnz =1nnz定义定义,11绝对收敛时绝对收敛时与与 =nnnnyx所以所以.1绝对收敛绝对收敛也也 =nnz.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 =nnnnnnyxz综上综上:!)8(1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 =nnni例例3 3,!81收敛收敛 =nnn故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.,
11、!8!)8(nninn=因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解 ;)1(1收敛收敛因为因为 =nnn,211收收敛敛也也 =nn故原级数收敛故原级数收敛.,)1(1收收敛敛为为条条件件但但 =nnn所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.21)1(1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 =nnnin例例4 4解解一、幂级数的概念一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义 ,),2,1()(为为一一复复变变函函数数序序列列设设=nzf
12、n =)()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作.)(1 =nnzf)()()()(21zfzfzfzsnn =称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数.)(,)(,)()(lim ,001000它的和它的和称为称为收敛收敛在在那么称级数那么称级数存在存在极限极限内的某一点内的某一点如果对于如果对于zszzfzszszDnnnn =)()()()(21zfzfzfzsn称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数
13、在D内处处收敛内处处收敛,那么它的和一定那么它的和一定 :)(zsz的一个函数的一个函数是是例例1 1 求级数求级数 =nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为)1(,11112 =zzzzzzsnnn1 zzsnn=11lim级数级数 =0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 =0nnz发散发散.收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域,1 z且有且有.1112 =nzzzz2.2.幂级数幂级数当当101)()(=nnnzzczf或或,)(11时时 =nnnzczf函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形 =20201000)()(
14、)(zzczzcczzcnnn nnzzc)(0.22100 =nnnnnzczczcczc或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.为简便，以下讨论幂级数为简便，以下讨论幂级数 .=0nnnzc二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数 =0nnnzc)0(0=zz0zz 0zz=0zz ,z在在收敛收敛,z那么对那么对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那么对满足那么对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足阿贝尔介绍阿贝尔介绍2.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径（1）对所有的复数都收敛）对所有的复数都
15、收敛.（2）对所有的复数，除对所有的复数，除 z=0 外都发散外都发散.例如，级数例如，级数 nnznzz2221,0 时时当当 z通项不趋于零通项不趋于零,故级数发散故级数发散.对于一个幂级数对于一个幂级数 ,其收敛的情况有三种其收敛的情况有三种:=0nnnzcxyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 =0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.（3）既存在使级数收敛的复数）既存在使级数收敛的复数 ,也存在使级数也存在使级数发散的复数发散的复数 .由阿贝尔定理，由阿贝尔定理，=zzcnnn0 在在圆圆周周外外发发散散在在圆圆周周 =z,0内内绝绝对对
16、收收敛敛在在圆圆周周Rzzcnnn=外外发发散散在在圆圆周周Rz=则存在正数则存在正数R，,内绝对收敛内绝对收敛答案答案:.0为为中中心心的的圆圆域域是是以以zz=幂级数幂级数 =00)(nnnzzc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?3.收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1：（比值法）（比值法）,0lim 1=nnncc如果如果那么收敛半径那么收敛半径
17、.1=R方法方法2 2：（根值法）（根值法）,0lim =nnnc如果如果那么收敛半径那么收敛半径.1=R说明说明:=0 0=RR如果如果收敛半径公式可记为收敛半径公式可记为.1limlim1nnnnnncccR =0nnnc z=幂级数幂级数例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)=13nnnz(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)=1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0=z时的情形时的情形)或或nnncR1lim=解解(1)1lim =nnnccR3)1(limnnn=,1=.1lim3=nnn所以收敛半径所以收敛半径,1=R即原级数在圆即原级数在圆1=
18、z内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的p级数级数).13(=p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周1=z上上,级数级数 =13131nnnnnz说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当=z原级数成为原级数成为,1)1(1 =nnn交错级数交错级数,收敛收敛.,2时时当当=z发散发散.原级数成为原级数成为,11 =nn调和级数，调和级数，解解nnccRnnnn1limlim1=,1=(2)=1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0=z时的情形时的情形)incncos=因为
19、因为1lim =nnnccR所以收敛半径为所以收敛半径为 =0)(cosnnzin例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解),(21nnee =.1e=11lim =nnnnneeee1221lim =nnneee解解)4sin4(cos21 =ii因为因为nnic)1(=1lim =nnnccR例例4 =0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie=;)2(4inne=1)2()2(lim =nnn.2221=答案答案1(lnnncin=)，)，课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数1()lnnnzin=的收敛半径的收敛半径.因为因为所以所以故收敛半径故收敛半径.R=三
20、、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn=设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf=Rz ),()()()(00 =nnnnnnzbzazgzf =00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR=2.幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当rz 时时,)(0 =nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那么当那么当Rz 时时,=0.)()(nnnzgazgf说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成
21、幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.=00)(nnnzzc定理定理设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那么那么(2)(zf在收敛圆在收敛圆Rzz=0内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,.)()(110 =nnnzznczf即即是收敛圆是收敛圆Rzz=0内部的解析函数内部的解析函数.=00)()(nnnzzczf它的和函数它的和函数(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,=00.,d)(d)(nCnnCRazCzzzczzf0100()().1znnzncf z dzzz
22、n =或或简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即例例5 把函数把函数bz 1表成形如表成形如 =0)(nnnazc的幂的幂级数级数,其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数bz 1写成如下的形式写成如下的形式:=bz1)()(1abaz abazab =111代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 211.(1)1nzzzzz=时，时，当当1 abaz =nabazabazabaz)()(111=bz1故故n
23、nabazab =0)(1,时时当当abaz 级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz nnabaz =0.)()(101 =nnnazab211.(1)1nzzzzz=1zb abazab =111作业：作业：第四章习题第四章习题 6（1）（3）（5）阿贝尔资料阿贝尔资料 非凡的数学家非凡的数学家阿贝尔阿贝尔Died:6 April 1829 in Froland,NorwayNiels AbelBorn:5 Aug 1802 in Frindoe,Norway 阿贝尔（阿贝尔（1802-1829）挪威数学家。是克里斯蒂安尼）挪威数学家。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子
24、之一。尽管家亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，亚的一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师岁时优秀的数学教师洪堡洪堡发现了发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。阿贝尔的数学天才，对他给予指导。16岁时阿贝尔写了一岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家篇解方程的论文。丹麦数学家戴根戴根看过这篇论文后，为阿看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：研究，于
25、是他给阿贝尔回信写到：“.与其着手解决被认与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功信你会取得成功.”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。阿贝尔阿贝尔18岁时，父亲去世，这使生活更加贫困。岁时，父亲去世，这使生活更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，开了研究
26、积分方程的先河。年，他发表了第一篇论文，开了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了高斯，但是高斯连信都未开封。一论文也寄给了高斯，但是高斯连信都未开封。1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔。年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔。他建议克莱尔创办了著名数学刊物他建议克莱尔创办了著名数学刊物纯粹与应用数学杂志纯粹与应用数学杂志。这个杂志头三卷发表了阿贝尔这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。椭圆函数论等方面的论文。182
27、6年，阿贝尔来到巴黎，会见了柯西、勒让德、狄年，阿贝尔来到巴黎，会见了柯西、勒让德、狄利赫莱等，但人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太利赫莱等，但人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论，但他仍然坚持腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了数学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般关于一类极广泛的超越函数的一般性质性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：非常自信地说：“.已确定在下个月的科学院例会上宣读我的已确定在下个月的科学院例会
28、上宣读我的论文论文,由柯西审阅由柯西审阅,恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待的意见，现在正昂首以待.。”可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之（这篇论文原稿于放了之（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）。阿年在佛罗伦萨重新发现）。阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于短暂停留之
29、后于1827年年5月月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（Christine Kemp）欢度圣）欢度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的 这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过代课
30、教师。阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的创始人。代课教师。阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的创始人。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。在项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。在这个时候，阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传这个时候，阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传
31、遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在在1829年年3月月14日写信给巴黎科学院表示抗议：日写信给巴黎科学院表示抗议：“.这在我这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然向向老爷们老爷们的研究院提交此论文达两年之久，但一直没的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？.”。由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于
32、这一切一无所知。阿由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了。贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了。1829年年4月月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月月6日日上午上午11点去世。作为命运捉弄人的是，在他死后的第二天，点去世。作为命运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔克莱尔写信给阿贝尔“.我国教育部决定招聘您为柏林大学教我国教育部决定招聘您为柏林大学教授授.，一个月之内就能发出招聘书，一个月之内就能发出招聘书.。”这封信还提到，希望这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费
33、用支出。他的亲阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面。人们听到这一消息，禁不住泪流满面。一、问题的引入一、问题的引入二、泰勒定理二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？,)(内解析内解析在区域在区域设函数设函数Dzf记记为为为为中中心心的的任任一一圆圆周周内内以以为为KzD,0 0rz=,DK与它的内部全包含于与它的内部全包含于圆周圆周如图如图:DKz.内任意点内任意点r0z.Krz=0 圆周圆周.由柯西积分公式由柯西积分
34、公式,有有 =Kzfizf,d)(21)(其中其中 K 取正方向取正方向.,的内部的内部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量KzK.1 00 zzz 所以所以0000011()111zzzzzzzz =则则Dz.r0z.K.000200000111111()()zzzzzzzzzzzz =nzzz)(00 =0010.)()(1nnnzzz =10010)()(d)(21NnnKnzzzfi =KNnnnzzzfi.d)()()(21010 =Kzfizf d)(21)()1!()()d,2()nnKnffziz =由高阶导数公式由高阶导数公式,上式又可写成上式又可写成 =10
35、00)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 =KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010,0)(lim=zRNN若若可知在可知在K内内 =000)()(!)()(nnnzznzfzf.)(内可以用幂级数来表示内可以用幂级数来表示在在即即Kzf令令qrzzzzz=000 ,)()(内解析内解析在在DKDzf 则在则在K上连续上连续,1 则存在一个正常数则存在一个正常数M,.)(MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 =KNnnszzzzfd)(21000 =NnnrqrM221.1qMqN=KNnnnNzzzfizR d)()()
36、(21)(0100lim=NNqK0)(lim=zRNN在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周K的半径还可以增大的半径还可以增大,只要只要K内即可内即可.D在在 =000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展开式泰勒展开式)(zf在在0z泰勒级数泰勒级数称为称为如果如果0z到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,R0z那么那么)(zf在在的泰勒展开式在的泰勒展开式在 内成立内成立Rzz 0由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理特别地，特别地，二、泰勒定理二、泰勒定理,2,1,0),(!10)(=nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展
37、开式泰勒展开式定理定理R为为0z到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,D设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一点点,=00)()(nnnzzczf成立成立,泰勒介绍泰勒介绍Rzz 0时时,当当那么那么D0z.R说明说明:1.由泰勒定理，复变函数展开为泰勒级数的条件要由泰勒定理，复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多比实函数时弱得多;(想一想想一想,为什么为什么?);,)(.200zRzRDzf=即即之间的距离之间的距离到最近一个奇点到最近一个奇点等于等于幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径则则内有奇点内有奇点在在如果如果yxz0 O O )(在在收收敛
38、敛圆圆内内解解析析，因因为为zf可可以以扩扩大大则则收收敛敛半半径径还还不不可可能能在在收收敛敛圆圆外外，否否又又因因为为奇奇点点 不可能在收敛圆内不可能在收敛圆内故奇点故奇点 只能在收敛圆周上只能在收敛圆周上因此奇点因此奇点 :)(0已被展开成幂级数已被展开成幂级数在在设设zzf =202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那么那么,)(00azf=,)(10azf=即即).,2,1,0()(!10)(=nzfnann,因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.3 3.解析解析函数在一点处的幂
39、级数函数在一点处的幂级数展开式是唯一的展开式是唯一的事实上事实上,!)(0)(nnanzf=4.由泰勒定理及幂级数的性质得由泰勒定理及幂级数的性质得:函数在一点解析的函数在一点解析的充要条件是它在该点的邻域内可以展开为幂级数充要条件是它在该点的邻域内可以展开为幂级数三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:,2,1,0,)(!10)(=nzfncnn.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数例如，例如，.0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求=zez),2,1,0(,1
40、)(0)(=neznz故有故有 =02!21nnnznznzzze,在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze.=R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)()(znzee=因为因为()01(),0,1,!nncfznn=00)()(nnnzzczf1.直接法直接法:仿照上例仿照上例,)!12()1(!5!3sin1253 =nzzzzznn)(=R,)!2()1(!4!21cos242 =nzzzznn)(=R.0 cos sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在与与可得可得=zzz()01(),0,1,!nncfznn=2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函
41、数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.例如，例如，.0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求=zz)(21sinizizeeiz =012)!12()1(nnnnz =00!)(!)(21nnnnniznizi =02!21nnnznznzzze
42、例例1 1.)1(1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 =nnzzzz)1(11121 z,11)1(12=zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z =zz11)1(12111(1),1.nnnnzz=上式两边逐项求导上式两边逐项求导,)1(0 =nnnz例例2 2.0 )1ln(泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值=zz分析分析,1,1 )1ln(是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z.1 的幂级数的幂级数内
43、可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz=如图如图,1=Ro1 1xyzzzzzznnnd)1(d11000 =即即10ln(1)(1),1nnnzzn =1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解zz=11)1ln(=02)1()1(1nnnnnzzzz)1(z,0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzC 例例3 3.1 2)(的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数 =zzzzf解解,22)(=zzzzf只有一个奇点只有一个奇点由于由于收敛半径收敛半径312 =R2212)(=zzzzf3)1(21 =z3111321 =znnnz =31)1(
44、3210 ).31(13)1(32311 =zznnnn例例4 4.0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求=zz解解,1darctan02 =zzzz因为因为1,)()1(11 022 =zzznnn且且 =zzzz021darctan所以所以 =znnnzz002d)()1(.1,12)1(012 =znznnn例例5 5.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz=因为因为 =!6)2(!4)2(!2)2(12cos642zzzz =zzzz!62!42!221664422)2cos1(21cos2zz=所以所以 =zzzz!62!42!22165432
45、例例6求幂函数求幂函数(1)z (为复数为复数)的主值支的主值支 ln(1)(),(0)1zf zef =在在z=0点的点的Taylor展开式展开式.实轴向左的射线的区域内解析实轴向左的射线的区域内解析.1=Ro1 1xy因此在因此在 内内,1z 可展开为可展开为z的幂级数的幂级数.()f z根据复合函数求导法则根据复合函数求导法则,按照直接方法展开如下按照直接方法展开如下:显然显然,()f z在复平面中割去从点在复平面中割去从点-1沿负沿负ln(1)(1)ln(1)1(),1zzfzeez =(2)ln(1)()(1),zfze =()()ln(1)()(1)(1),nnzfzne =令令z
46、=0,有有(0)1,(0),(0)(1),fff =()(0)(1)(1),nfn =ln(1)()zf ze =于是于是(1)z (1)(1)!nnzn 23(1)(1)(2)12!3!zzz =1.z 附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,!21)102 =nnnznznzzze,111)202 =nnnzzzzz,)1()1(111)302 =nnnnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)41253 =nzzzzznn)1(z)1(z)(z)(z,)!2()1(!4!21cos)5242 =nzzzznn)(z,1)1(32)1ln()6132 =nzzzzznn =0
47、11)1(nnnnz)1(z =32!3)2)(1(!2)1(1)1()7zzzz ,!)1()1(nznn )1(z例例6 6.11的幂级数的幂级数展开成展开成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 ,)(11zezf=因为因为211)1(1)(zezfz=,)1(1)(2zzf=,0)()()1(2=zfzfz所以所以对上式求导得对上式求导得0)()32()()1(2=zfzzfz0)(2)()54()()1(2=zfzfzzfz由此可得由此可得,)0()0(eff=,3)0(ef=,13)0(ef=故故.!313!2313211 =zzzeez)1(z小结与思考小结与思考 通过本
48、课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.思考题思考题奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题答案思考题答案 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.作业作业 ：第四章习题第四章习题 11.(1)(2)(3)12.(1)(2)(3)泰勒资料泰勒资料非凡的
49、数学家非凡的数学家泰勒泰勒Brook TaylorBorn:18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex,EnglandDied:29 Dec 1731 in Somerset House,London,England泰勒定理泰勒定理,2,1,0),(!10)(=nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理R为为0z到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,D设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一点点,=00)()(nnnzzczf成立成立,Rzz 0时时,当当那么那么D0z.R一、问题的引入一、问题的引入二、洛朗级
50、数的概念二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式一、问题的引入一、问题的引入问题问题:.,)(00的其它级数形式的其它级数形式是否能表示为是否能表示为不解析不解析在在如果如果zzzzf nnnzzc)(0 =考虑双边幂级数考虑双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛=nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 =nnnzzc)(00 =nnnzzc =)(0110)(=zz 令令nnnc =1收敛半径收敛半径收敛收敛时时,R 101RRzz=收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz :)1(
