1、2.3 2.3 等差数列的前等差数列的前n n项和项和第二章第二章 数列数列 第一课时第一课时1.等差数列的定义：等差数列的定义：1(2)nnnaaad n 是是等等差差数数列列2.通项公式：通项公式：1(1).naand3.重要性质重要性质:().nmaanm d.mnpqmnpqaaaa 复习复习 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架，最下面第一形架，最下面第一层放一支铅笔，往上层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多每一层都比它下面多放一支，就这样一层放一支，就这样一层一层地往上放。最上一层地往上放。最上面一层放面一层放100支。求支。求这个这个V形架上共放着形架上共放着多少支铅笔？多少支铅笔
2、？即求：即求：S=1+2+3+100=？引入引入 高斯出生于一个工高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置年级时，一次老师布置了一道数学习题：了一道数学习题：“把把从从1 1到到100100的自然数加起的自然数加起来，和是多少？来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索岁的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，这使，这使老师非常吃惊。那么高老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？巧妙地计算出来的呢？高斯（高斯（1777-18551777-1855），），
3、德德国数学家、物理学家和天文学国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。誉为有史以来的三大数学家。有有“数学王子数学王子”之称。之称。高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事:首项与末项的和：首项与末项的和：1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和：299 =101，第第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和：398 101，第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求 S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯
4、算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa 如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、1010，求钢管总数。，求钢管总数。即求即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=143+7=49.还有其它算法吗？S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得相加得：(4 10)749.2S倒序相加法2(4 10)(5 9)(6 8)(7 7)(8 6)(9 5)(10 4)S
5、 (4 10)7.两种求和法两种求和法 ：高斯算法高斯算法 倒序相加法倒序相加法怎样求一般等差数列的前怎样求一般等差数列的前n项和呢？项和呢？12,.nnnnanSSaaa 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为即即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nn aa1211nnnaaaaaa1().2nnn aaS 探究探究思路1思路2121111(1).()2)nnaandaadSaaad 11()(1)2.)nnnnnnnadSaaanddaaa 1112()()()nnnnnSaaaaaa 个个相相加加得得：1().nn aa1().
6、2nnn aaS 121111(1).()2)nnaandaadSaaad 111111(1)2).(3)nnnaandaSananadda 122(1).nSandn相加得 11).2nn nSnad（思路3等差数列的前n项和公式1(1)naand2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （公式1公式21、已知首项、末项用公式、已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式；已知首项、公差用公式.2、等差数列五个基本量、等差数列五个基本量 a1,an,d,n,Sn，“知三求二知三求二”(方方程的思想程的思想).说明：说明：例例1、计算：、计算：(1)123(2)1 35(21)(3)2462
7、(4)1 23456(21)2.nnnnn ；(4)1 3 5(21)(2 4 62).nn 解：原式(1 2)(3 4)(5 6)(21)2.nn又解：原式(1)2n n 2n(1)n n11)21)2nnnn aaSn nSnad（举例举例n例例2例例3、10,6,2,2,54 等差数列前多少项的和是？1212,10,6(10)4,54.(-1)-10454262709,3-10-6-2 2954nnnanSadSn nnnnnn 设设该该等等差差数数列列为为其其前前 项项和和是是则则根根据据等等差差数数列列前前项项和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （舍舍去去）因因此此，等等差差
8、数数列列，前前 项项的的和和是是注：本题体现了方程的思想注：本题体现了方程的思想.解：解：11)21)2nnnn aaSn nSnad（123891012,75,.naaaaaaaS10数列为等差数列，若求 例4、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，10110 910145.2Sad又解：1101011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即5 29145.1102938aaaaaa，整体运算整体运算的思想的思想!11)21)2nnnn aaSn nSna
9、d（例例6、2512151636,.naaaaaS 在在等等差差数数列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144.11)21)2nnnn aaSn nSnad（1、一个等差数列前、一个等差数列前4项的和是项的和是24，前，前5项的和项的和与前与前2项的和的差是项的和的差是27，求这个等差数列的通，求这个等差数列的通项公式。项公式。415211124462427(510)(2)27332(1)21.2nSadSSadadaannd ，解解：练习练习 61120,.naaS 2 2、已已知知等等差差数数
10、列列中中，求求解解:61116202aaaa 11111611()11220.2aaSa 11)21)2nnnn aaSn nSnad（1、用倒序相加法推导等差数列前、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式项和公式;1n1()(1)S2()2()nnn aan nSnad 2 2、求求和和公公式式 小结小结已知首项、末项用公式已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式；已知首项、公差用公式.3、应用公式求和、应用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.当已知条件不足以求出当已知条件不足以求出a1和和d时，要认真观察，灵活应用时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想
11、求等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值的值.4、数学方法：观察、尝试、归纳、类比等、数学方法：观察、尝试、归纳、类比等.数学思想：类比思想、整体思想、方程思想等数学思想：类比思想、整体思想、方程思想等.课本课本P46（A）1、2作业作业2.3 2.3 等差数列的前等差数列的前n n项和项和第二章第二章 数列数列 第二课时第二课时11111().2(,.12.1)2nnnnnnSnanaaSnnSnaaaaddda当 知 道 首 项和 末 项时 用.当 知 道 首 项和比时 用知 三 求 二公 复习复习 根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 an的的Sn。;1
12、0,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda;14,23,32)3(1naan.32,7.0,5.14)4(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010 SdnnnaSn2)11（2550)2(2)150501005050（S2)1nnaanS（.6352)2/3(3/21414 Sdnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626 S课前练习课前练习例例1 求集合求集合 的元素个数，并求这些元素的和的元素个数，并求这些元素的和.*|7,100Mm mn nNm且解：解：1007 n72147100 n所以集合所以集合M中的元素共
13、有中的元素共有14个个.将它们从小到大列出，得将它们从小到大列出，得,7,72,73,74,714即即 7，14，21，28，98这个数列是成等差数列，这个数列是成等差数列，na14,98,7141naa.7352)987(1414S2)1nnaanS（答：集合答：集合M共有共有14个元素，它们的和等于个元素，它们的和等于735.记为记为思考：思考：其前其前30项和项和S30呢？呢？S30=2730a1+a10=310a11+a20=910a21+a30=1510规律232KKKKKSSSSS，也成等差数列结论结论（1）当）当r0时，时，an不是等差数列；不是等差数列；（1）定义：）定义：an
14、+1-an=d判断数列等差的依据：判断数列等差的依据：（2）当）当r=0时，时，an 是等差数列：首项是等差数列：首项p+q，公差，公差2p.（2）等差中项）等差中项（3）通项特征：一次形式）通项特征：一次形式（4）前）前n项和特征：无常数项的二次形式项和特征：无常数项的二次形式nanOnSnO6an=4n-14Sn=2n2-12nSn的深入认识例4、已知一个等差数列中求使其前n项和Sn最大时的n值.*252(),nan nN解：法一1*0,25 20,025 2(1)0.N,12.nnanannn 又121252,23,()(12)144.2nnnnanan aaSnnS 又可得根据二次函数
15、的性质可知当=12时最大.法二（1）当d0时,Sn有最小值 若a10,则S1最小；若a10,则所有负数项的和最小。Sn有最大值还是最小值取决于公差d的正负结论：结论：另法：前n项和Sn的公式是关于n的二次函数，故可利用二次函数来求最值（注意：n为正整数）。（2）当d0时,Sn有最大值 若a10,则所有正数项的和最大。47137,0aaa且 例5 已知一个等差数列中满足 .nnnSannS是数列的前 项和，求 为何值时取最大值90nna当时，解：方法一n0;n当9时，a471437033aada 11437(1)()0334naanan 故当n=9时，Sn取最大值.方法二11(1)4()233n
16、n nSnaa 21123 5,3 33 3a na n 对称轴 且更接近9，所以n=9.358,94n 471437033aada 221235235()()334334a n 已知等差数列16，14，12，10，(1)前多少项的和为72？(2)前多少项的和为0？(3)前多少项的和最大？跟踪训练跟踪训练8178或9例6、已知一个有限项等差数列，前5项的和是34，后五项的和是146，所有项的和是234，求第7项分析：根据等差数列的性质，前五项的和与后五项的和的和就是首相与末项和的五倍解：1234146,nnnnnaaaaa+115()18036,nnaaaa1()23413.2nnn aaSn
17、11 371 82aaa.1234534aaaaa例7、已知一个等差数列前12项的和是354，前12项中偶数项的和与奇数的和之比为32：27，求公差解：法一：112112 1112354,226 5.623252,6 527622adaaddad法二：354,162,27,192,32SSSSSS奇偶奇奇偶偶3065.SSdd偶奇例8、已知一个等差数列中共有2n+1项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求数列的项数。144,333.SnSnn 奇偶解：故数列共有7项。此数列有7项，S7=77，S奇/S偶=4/3，S奇S偶=11，思考：思考：第四项a4=，这些结果有何关系？112321KKK
18、KKSSSSS，、也成等差数列等差数列的性质等差数列的性质推广：推广：在等差数列中，每次有规律地取出若干项在等差数列中，每次有规律地取出若干项相加，这些和仍等差。相加，这些和仍等差。2 2、设等差数列有奇数项（设等差数列有奇数项（2n+12n+1），则），则S奇/S偶=（n+1）/n，S奇S偶=an+1（a中）；3 3、设等差数列有偶数项（设等差数列有偶数项（2n2n），则），则S偶/S奇=an+1/an，S偶S奇=nd。4 4、设两等差数列设两等差数列aan n、bbn n 分别为分别为S Sn n、T Tn n则 an/bn=S2n-1/T2n-1.练习、已知一个等差数列中d=05，100145,S13599 .aaaa求的 值利用奇数项和偶数项之间的关系，相差一个公差d.解：设13599,aaaax24610050,aaaaxd则225145,60.xxP46 (A)4、6 (B)3、4 作业作业
