1、 文科数学 第 1 页（共 14 页） 文科数学 第 2 页（共 14 页） 绝密绝密 启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文文 科科 数数 学学（二（二） 注意事项：注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2 回答第卷时， 选出每小题的答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷（选择题）（选择题） 一、选择题：本大题共一、
2、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1设 22i 1 i z ，则z （ ） A2 B2 C5 D3 【答案】B 【解析】 22i 1 i z ， 22i22i2 2 2 1 i1 i2 z 2设1Ax x， 2 20Bx xx，则AB R （ ） A1x x B11xx C11xx D12xx 【答案】B 【解析】1Ax x R ，12Bxx ，11ABxx R 3若 1 2 2a ，ln2b， 1 lg 2 c ，则有（ ） Aabc Bbac
3、Ccba Dbca 【答案】A 【解析】 1 2 2a ，ln2b， 1 lg 2 c ， 1 2 221a ，0ln1ln2lne1b， 1 lglg10 2 c ， abc 4设ab，是两个实数，给出下列条件：1ab；2ab；2ab； 22 2ab其中能推出“ab，中至少有一个大于1”的条件是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】若 1 2 a ， 2 3 b ，则1ab，但1a ，1b， 故推不出“ab，中至少有一个大于1”； 若1a ，1b，则2ab，故推不出“ab，中至少有一个大于1”； 若2a ，3b，则 22 2ab，故推不出“ab，中至少有一个大于1”； 对于，若2ab，
4、则ab，中至少有一个大于1， 假设1a 且1b，则2ab与2ab矛盾， 因此假设不成立，ab，中至少有一个大于1， 综上所述：能推出“ab，中至少有一个大于1”的条件是 5已知定义在R上的偶函数 e sin x f xx（0，0 ）的部分图象如图所示， 设 0 x为 f x的极大值点，则 0 cosx（ ） A 5 5 B 2 5 5 C 3 5 D 4 5 【答案】B 【解析】依题意，函数sinyx为偶函数， 又0 ，故 2 ，由图象可知， 3 0 44 ff ，可得2， 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 文科数学 第 3 页（共 14 页） 文科数学 第 4 页（共
5、14 页） e cos2 x f xx， 由函数 f x为偶函数，故只需考虑0x的情况， 当0x时， e cos2 x f xx， ecos22sin5e cos 2 xx fxxxx， 2 5 sin 5 ， 5 cos 5 ， 当22 2 xk ，kZ时， f x有极大值， 故 0 2 5 cos2cossin 25 x 6从随机编号为0001，0002，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中 用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析， 已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068， 则样本中最大的编号应该是（ ） A1466 B1467 C1468 D1469
6、 【答案】C 【解析】样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068， 则样本间隔为68 1850，则共抽取1500 5030， 则最大的编号为18 50 291468 7已知 3 cos 22 2sin3cos5 ，则tan（ ） A6 B 2 3 C 2 3 D6 【答案】D 【解析】由 3 cos 22 2sin3cos5 ，得 sin2 2sin3cos5 ， 即 tan2 2tan35 ，tan6 8 设向量， ，abc满足 0ab c，abc，ab， 若1a， 则 222 abc（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】ab，1a， 设1,0a，0,bb，, x yc，
7、且 0ab c， 1,0,0xyb，1x，yb ， 1, b c，且1, bab，abc， 2 10b abc， 2 1b ， 222 22 114bb abc 9执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ） A5 B6 C8 D13 【答案】A 【解析】模拟程序的运行，可得0i ，1S ，0P； 满足条件4i ，执行循环体，1i ，1t ，1S ，1P ； 满足条件4i ，执行循环体，2i ，1t ，2S ，1P ； 满足条件4i ，执行循环体，3i ，2t ，3S ，2P ； 满足条件4i ，执行循环体，4i ，3t ，5S ，3P ， 此时，不满足条件4i ，退出循环，输出S的值为5 10
8、已知双曲线 22 1mxny与抛物线 2 8yx有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等 于1，则双曲线的方程为（ ） A 2 2 1 3 x y B 2 2 1 3 y x C 2 2 1 5 x y D 2 2 1 5 y x 【答案】A 【解析】抛物线 2 8yx的焦点坐标为2,0F， 可得双曲线 22 1mxny的右焦点为2,0F， 文科数学 第 5 页（共 14 页） 文科数学 第 6 页（共 14 页） 化 22 1mxny为 22 1 11 xy mn ，得 2 1 a m ， 2 1 b n ， 双曲线的一条渐近线方程为 1 1 m n yxx n m 由点F到双曲线渐近线
9、的距离等于1，得 2 1 m mn ，即2 mmn， 又 222 abc，即 11 4 mn ， 联立解得 1 3 m ，1n，双曲线的方程为 2 2 1 3 x y 11 在ABC中， 角,ABC，所对的边分别为abc， ， 6 A ， 4 B ，6a ， 则b（ ） A2 3 B 3 6 2 C3 3 D2 6 【答案】A 【解析】利用正弦定理： sinsin ab AB ， 2 6 sin 2 2 3 1 sin 2 aB b A 12在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点 12 FF，在x轴上，离心率为 2 2 ， 过 1 F的直线l交椭圆于AB，两点，且 2 ABF的周长
10、为16，则椭圆C的方程为（ ） A 22 1 84 xy B 22 1 164 xy C 22 1 816 xy D 22 1 168 xy 【答案】D 【解析】根据题意，如图： 2 ABF的周长为16，则有 222121 416ABAFBFAFBFAFBFa， 则4a， 又由其离心率 2 2 c e a ，则2 2c ， 222 1688bac， 又由其焦点在x轴上，则其标准方程为 22 1 168 xy 第第卷卷（非选择题非选择题） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分 13函数lnyxx在1x 处的切线方程是 【答案】210
11、xy 【解析】lnyxx， 1 1y x ， 1 |1 12 x ky ， 函数lnyxx在点1,1处的切线方程为121yx ， 整理，得210xy 14若数列 n a满足： 1 1a ， 1 1 2 nn aa （ * nN），则 n S 【答案】21 n 【解析】 1 1a ， 1 1 2 nn aa （ * nN）， 1 2 n n a a ， 数列 n a是以1为首项，以2为公比的等比数列， 11 2 21 1 2 n n n S 15 2 3tan101 4cos 102 sin10 【答案】4 【解析】原式 2sin 10303sin10cos102sin404sin40 4 2c
12、os20 sin10 cos102cos20 sin10 cos10sin20 cos 20sin40 16如图，在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形 ABCD内（不包括边界），若 1 B P平面 1 ABM，则 1 C P长度的取值范围是 文科数学 第 7 页（共 14 页） 文科数学 第 8 页（共 14 页） 【答案】 30 ,2 5 【解析】取BC中点N，连结 1 B D， 1 B N，DN，作CODN，连结 1 C O， 平面 1 B DN平面 1 ABM， 点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点P在底面正方形ABCD内，不包括
13、边界， 故不含点N和点D）， 在 1 C DN中， 1 2C D ， 2 2 1 15 1 22 DNC N ， 1 22 1526 2 2224 C DN S ， 过 1 CODN，则当P与O重合时， 1 C P长度取最小值， 1 C P长度的最小值为 1 6 30 4 215 22 C O ， 当P与D重合时， 1 C P长度取最大值， 1 C P长度的最大值为 1 2C D ， P与D不重合， 1 C P长度的取值范围是 30 ,2 5 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
14、骤 17（12 分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动 现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组： 40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，得到如图所示的频率分布直方图 （1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优 秀” 请将下面的2 2列联表补充完整， 并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有 关”？ 优秀 非优秀 合计
15、 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： 2 2 n adbc K abcdacbd ，na b cd 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.025a，平均成绩为74；（2）列联表见解析，有99%的把握认为 【解析】（1）由题可得0.005 0.0100.0200.0300.010101a， 解得0.025a 45 0.05 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.25 95 0.174， 估计这100名学生的平均成绩为74 （2） 由 （1） 知， 在抽取的100名
16、学生中， 比赛成绩优秀的有1000.25 0.1100 0.3535人， 由此可得完整的2 2列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 文科数学 第 9 页（共 14 页） 文科数学 第 10 页（共 14 页） 女生 25 25 50 合计 35 65 100 2 K的观测值 2 10010 2525 40900 9.8906.635 35 65 50 5091 k ， 有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 18（12 分）等差数列 n a的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数， 求此数列的公差d及前n项和 n S 【答案】4d ， 2 252 n
17、 Snn 【解析】根据题意，设等差数列 n a的公差为d，dZ， 又由 n a的首项为23，第6项为正数，从第7项起为负数， 则有 7 6 2360 2350 ad ad ，解之得 2323 56 d ， 又由公差为整数，则4d ， 则 1 1427 n aandn，则 12 252 2 n n aan Snn 19（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，2DC ，2AD ，2AB ， 90DABADC，2PB，PDC为等边三角形 （1）证明：PDBC； （2）求点B到平面PCD的距离 【答案】（1）证明见解析；（2） 6 3 【解析】（1）证明：在四棱锥PAB
18、CD中，四边形ABCD是直角梯形， 222DCADAB，90DABADC，2PB，PDC为等边三角形 22 112BCBD， 222 BDBCCD， 222 PBBCPC， BDBC，PBBC， BDPBB，BC 平面PBD， PD 平面PBD，PDBC （2） 222 BDPBPD，PBBD， 以B为原点，BC为x轴，BD为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系， 则0,0,0B， 0,0, 2P， 0, 2,0D， 2,0,0C， 0,0,2PB ， 0, 2,2PD ， 2,0,2PC ， 设平面PDC的法向量, ,x y zn， 则 220 220 PDyz PCxz n n ，取1z
19、，得1,1,1n， 点B到平面PCD的距离为 26 33 PB d n n 20（12 分）已知函数 1 2ln2f xaxax x （0a） （1）求函数 f x的单调区间； （2）若对任意的3, 2a ， 1 x， 12 ,1,3x x ， 12 ln32ln3maf xf x恒成立， 求实数m的取值范围 【答案】（1）见解析；（2） 13 3 m 【解析】（1）函数的定义域为0,， 2 222 22121121 2 a xaxxaxa fxa xxxx ， 令 0fx，得到 1 2 x 或 1 x a （0a）， 借助分子函数的图象，我们可以轻松判断其单调性， 当 11 2a 且0a，即
20、2a时， 1 0,x a ， 0fx， f x单调递减； 文科数学 第 11 页（共 14 页） 文科数学 第 12 页（共 14 页） 1 1 , 2 x a ， 0fx， f x单调递增； 1 , 2 x ， 0fx， f x单调递减 当 11 2a 且0a，即20a 时， 1 0, 2 x ， 0fx， f x单调递减； 11 , 2 x a ， 0fx， f x单调递增； 1 ,x a ， 0fx， f x单调递减 当 11 2a 且0a，即2a 时，0,x， 0fx恒成立， 当且仅当 1 2 x 时取得等号，故 f x单调递减 综上所述，当2a时，函数 f x在 1 0, a ， 1
21、 , 2 上单调递减，在 1 1 , 2a 单调递增； 当20a 时，函数 f x在 1 0, 2 ， 1 , a 上单调递减，在 11 , 2a 单调递增； 当2a 时，函数 f x在0,上单调递减 （2）由（1）可知，当3, 2a 时， f x在1,3上单调递减， 故 12 max 1 13212ln36 3 f xf xffaaa 2 42ln3 3 aa ， 由 12 ln32ln3maf xf x恒成立， 即 12 max ln32ln3maf xf x， 故 2 ln32ln342ln3 3 maaa ，整理，得到 2 4 3 maa ， 由于0a，即得到 2 4 3 m a ，
22、由于32a ，故 13238 4 339a ， 故 13 3 m 21（12 分）已知圆 2 2 1: 232Fxy，点 2 2,0F，点Q在圆 1 F上运动， 2 QF的垂直平分线 交 1 QF于点P （1）求证 12 PFPF为定值及求动点P的轨迹M的方程； （2）不在x轴上的A点为M上任意一点，B与A关于原点O对称，直线 2 BF交椭圆于另外一点 D求证：直线DA与直线DB的斜率的乘积为定值，并求出该定值 【答案】（1）证明见解析， 22 1 84 xy ；（2）证明见解析， 1 2 【解析】（1）圆 2 2 1: 232Fxy的圆心为 1 2,0F ，半径为4 2， 1112 4 2P
23、FPFPFPQQFR为定值 且 12 4 24FF，可得动点P的轨迹为椭圆， 设标准方程为 22 22 1 xy ab （0ab）， 可得2 2a ，2c ， 222 4bac， 故所求动点P的轨迹M的方程为 22 1 84 xy （2）证明：设 11 ,A x y， 22 ,D xy，则 11 ,Byx， 22 212121 22 212121 DADB yyyyyy kk xxxxxx ， AD，都在椭圆上， 22 11 28xy， 22 22 28xy， 222222 212121 111 44 222 yyxxxx ， 1 2 DADB kk ， 则直线DA与直线DB的斜率的乘积为定值
24、，且为 1 2 文科数学 第 13 页（共 14 页） 文科数学 第 14 页（共 14 页） 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 3 3 6 2 3 xt yt （其中t为参数）以坐标原点O为极 点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 cos3sin （1）求 1 C和 2 C的直角坐标方程； （2）设点0,2P，直线 1 C交曲线 2 C于M，N两点，求 22 PM
25、PN的值 【答案】（1）220xy， 2 3xy；（2）90 【解析】（1）直线 1 C的参数方程为 3 3 6 2 3 t x yt （其中t为参数）， 消去t可得220xy 由 2 cos3sin，得 22 cos3 sin， 代入cosx，siny，得曲线 2 C的直角坐标方程为 2 3xy （2）将直线 1 C的参数方程 3 3 6 2 3 xt yt 代入 2 3xy，得 2 3 6180tt， 设M，N对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 12 3 6tt， 1 2 18t t ， 222 121 2 290PMPNttt t 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】
26、设xyzR， ，且1xyz （1）求 222 111xyz的最小值； （2）若 2221 21 3 xyza成立，证明：3a或1a 【答案】（1） 4 3 ；（2）证明见解析 【解析】（1）xyzR， ，且1xyz， 由柯西不等式可得 2222 222 1111111114xyzxyz ， 可得 2224 111 3 xyz， 即有 222 111xyz的最小值为 4 3 （2）证明：由1xyz，柯西不等式可得 22222 222 11121212xyzaxyzaa ， 可得 2 222 2 21 3 a xyza ， 即有 222 21xyza的最小值为 2 2 3 a ， 由题意可得 2 21 33 a ，解得1a或3a
