1、1第5章 线性系统的频域分析法5.4 稳定裕度自控原理25.4 5.4 稳定裕度稳定裕度5.4.1 相角裕度5.4.2 幅值裕度5.4.3 Bode图上表示的稳定裕度3j0Nyquist稳定判据:1)非最小相位系统，P0稳定性与圈数R有关1NRP2)0,1(j3)幅相曲线穿越(-1,j0)系统临界稳定2)最小相位系统，P=0要稳定，必须R=0称为临界点4相对稳定性:偏离临界点(-1,j0)的程度反应了相对稳定性GHj01j01图A图B相对稳定性也影响时域指标假设最小相位系统，图A，图B哪个更稳定呢？5j05.4.1 5.4.1 相角裕度相角裕度幅值穿越频率 ：极坐标曲线与单位圆相交所对应的频率
2、，亦称截止频率。ccccjGA1)()(相角稳定裕度)(180c)(c用负角度计算1c)(c6再滞后 )(c意义：为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正,即j01)(c系统就处于临界稳定075.4.2 5.4.2 幅值裕度幅值裕度相角穿越频率 ：极坐标曲线与负实轴交点所对应频率。x180)()(xxjG)(1xjGh幅值稳定裕度hj01h1cx8)(1xjGh幅值稳定裕度h意义：若系统的开环增益放大 倍，则系统处于临界稳定h要使最小相位系统稳定j01h1cx)(1xjGh1h95.4.3 Bode5.4.3 Bode图上表示的稳定裕度图上表示的稳定裕度相角稳定裕度)(L)(0090180c幅
3、值穿越频率(截止频率):c幅频曲线与0分贝交点所对应频率)(180c系统稳定010幅值稳定裕度(增益裕度)(L)(0090180hc相角穿越频率:x相频曲线与-180度交点所对应频率系统稳定0hx)()(log20 xxLjGh11由Bode图定义的幅值稳定裕度0)(lg20 xBodejGh1)(1xNyquistjGh注意：由Nyquist曲线和Bode定义的幅值稳定裕度的大小不一样由Nyquist曲线定义的幅值稳定裕度NyquistxBodehjGhlg20)(1lg2012【例5.4.1】单位反馈系统的开环传递函数为3)1()(sKsG设K分别为4和10，根据Nyquist曲线确定系统
4、稳定裕度解：开环频率特性为3)1()(jKjG23)1()(2KAarctg3)(幅频,与K有关相频,与K无关1323)1()(2KA1)由180)(x得1803xarctg3x2)当K=4时21)31(4)(23xAarctg3)(2)(1xAh1)1(4)(232ccA幅值裕度233.111631c141.27233.13180)(180arctgc相角裕度为1,0h所以，系统稳定j014幅相曲线上与实轴的交点0R系统稳定5.01h根据幅相曲线152)当K=10时810)31(10)(23xA23)1()(2KA18.0)(1xAh幅值裕度1)1(10)(232ccA9.1110031c0
5、79.13180)(180arctgc相角裕度为161,0h所以，系统不稳定2)(2NNR系统不稳定j01410幅相曲线上与实轴的交点25.11h根据幅相曲线17)2(2nnss)(sC)(sR【例5.4.2】求如图所示二阶系统的相角裕度解：系统开环频率特性为)2()(2nnjjjG22224)(nnAnarctg290)(18求截止频率c14)(2222nccncA24214nc相位裕度为cnnccarctgarctg2290)(180242142 arctg19【例5.4.3】单位反馈系统的开环传递函数为)11.0)(1()(sssKsG分别确定K=5和K=20时的相角裕度和增益裕度解：绘
6、制Bode图，根据图确定系统的相角裕度和增益裕度Exam5_4_3.m20-150-100-50050100Magnitude(dB)10-210-1100101102103-270-225-180-135-90Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)K=5K=202.3xdBh75dBh15.520K越小，增益稳定裕度越大，越稳定21-150-100-50050100Magnitude(dB)10-210-1100101102103-270-225-180-135-90Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)
7、K=5K=201.25c145102023.420cK越小，相位裕度越大，越稳定22【例5.4.4(附加)】单位反馈系统的开环传递函数为)05.01)(2.01()(sssKsG求:1)K=1时系统的相位裕度和增益裕度。2)确定K，使系统的增益裕度20lgh=20dB，判断相位裕度是否满足解:（1）180)(x相位穿越频率x增益裕度x4023180)()(xxjG18005.02.090)(xxxarctgarctg)05.01)(2.01(1)(ssssG即9005.02.0 xxarctgarctg2121211)(tgtgtgtgtg三角公式xxxx05.02.0105.02.02400
8、5.02.01xx10 x)(log20)(xjGdBh处的增益裕度为 在x)05.01)(2.01(1log20 xxxjjj22)1005.0(1log20)102.0(1log2010log20dB28172025即)05.01)(2.01(1)(ccccjjjjG1)0025.01)(04.01(122ccc1c相位裕度c幅值穿越频率1)(cjG)05.01)(2.01(1)(ssssGc（截止频率）2610405.02.090)(cccarctgarctg76104180)(180c)05.01)(2.01(1)(ssssG所以，相位裕度为1c272)系统的相频曲线不随K的变化而变化
9、10 x相位穿越频率10 x0hK=1时如图要求dBh20dBh28图中K应如何变化?增大?减小?-增大!hK28dBh20为使dBjGx20)(log201.0)(xjG1.0)0025.01)(04.01(22xxxK5.225.0141101.0K10 x即29验证是否满足相位裕度的要求根据 40的要求，则得：1404018005.02.090)(cccarctgarctg5005.02.0ccarctgarctg2.105.02.0105.02.0cccc4c根据三角计算公式，得301)0025.01)(04.01(22cccK2.502.128.14K4c当 ,计算对应K值31Bod
10、e DiagramFrequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-40-30-20-1001020100101-225-180-135-907640dBh281K5.2K2.5K)(dBhdBh2010 x2.5K所以，满足要求5.2K1c4c40要求32【例5.4.5（附加）】设一单位反馈系统对数幅频特性如图所示(最小相位系统)写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，求r(t)=t时的稳态误差3310-310-210-1100101102-40-20020406080-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0
11、.010.115rad/sdB)(L34解：由图得系统传递函数为)51)(01.01()1.01()(jjjjKjG)15)(101.0()11.0()(ssssKsG频率特性为35dBLa60)01.0(6001.0lg20KjKjG)(在低频段01.0时6001.0lg20lg20K10K由图可知，在低频段所以)2.01)(1001()101(10)(sssssG36由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性由图可知1c4.1062.01001090)(arctgarctgarctgc得6.73)(180c系统稳定)2.01)(1001()101(10)(jjjjjG037 系统开环传递函数为I型1.01011vssKe)2.01)(1001()101(10)(sssssG0,10,avpKKKr(t)=t时
