1、3 平面曲线的弧长4 旋转曲面的面积1 平面图形的面积5 定积分在物理中的应用2 由平行截面面积求体积小结与习题小结与习题 第十章第十章 定积分的应用定积分的应用6 定积分的近似计算一、旋转体的体积一、旋转体的体积二、二、平行截面面积为已知的立体的平行截面面积为已知的立体的 体积体积三、小结三、小结2 由平行截面面积求体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积Oxba y旋转体：旋转体：由连续曲线 yf(x)、直线 xa、ab 及 x 轴所
2、围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。yf(x)讨论：讨论：旋转体的体积怎样求？V baf(x)2dxbaf(x)2dx。答案：答案：一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积
3、为dxxfVba2)()(xfy 曲线yf(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：V baf(x)2dx。解：椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积：Vx 2a0y2dx 2axxaab03222)3(2234abx yOab22xaaby下页 例 1 求椭圆12222byax 分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。y2dx 2dxxaaba)(20222 axxaab03222)3(2234ab。yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，,0hx 在在,0h上任取小区间上任取小区间,dxxx，xo直线直线 方程为方程为OP以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的
4、薄薄片片的的体体积积为为dxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋转体的体积旋转体的体积dxxaVaa33232 .105323a 类类似似 地地，如如果果 旋旋 转转体体 是是由由 连连 续续曲曲 线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx cddyy2)(dcV解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos
5、1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a)(xy绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 补充补充 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形
6、绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay|)(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 解解取取积积分分变变量量为为y,4,0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM二、已知平行截面面积的立体的体积二、已知平行截面面积的立体的体积 设一立体在x轴上的投影区间为a,b，过x点垂直于x轴的截面面
7、积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。(1)在a,b内插入分点：ax0 x1x2 xn1xnb,xOax1xi1xixnb V ni 1S(i)xi。(3)令lmaxxi，则立体体积为 V ni 10limlS(xi)xi S(x)dx。(2)过xi(i1,2,n1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这
8、体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 解：解：xyo 14yxy),1,4(dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y例例8立体体积立体体积交点交点旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结作业作业:P246 1-6
