1、2020 届届镇江镇江三模考试数学卷三模考试数学卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题 卡相应位置上。 1. 已知集合 2 1,2 ,1,ABa ，若 ABa，则实数a _. 2. 若复数z满足(1 3 )3i zi，其中i是虚数单位，z _. 3. 已知, 是某个平行四边形的两个内角，命题:P；命题:sinsinQ，则命题P是命题Q 的_条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空） 。 4. 为了研究疫情病毒和人的血型间的关系， 在被感染的 600 人中，O型血有 200
2、人，A型血有 150 人，B 型血有 150 人，AB型血有 100 人。在这 600 人中，为抽取一个容量为 60 人的样本，则应从O型血中抽 取的人数为_. 5. 已知直线 12 :230,:20lxylxkyk，且 12 ll，则直线 12 ,l l间的距离为_. 6. 一周后的 6 月 25 日为端午节，国家规定调休放假 3 天，甲、乙、丙三人端午节值班，每人值班一天， 每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为_. 7. 中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七， 要将第八数来言”。意思是把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄
3、从大到小的顺序依次排列分绵，每 个弟弟都比前面的哥哥多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵的斤数为_. 8. 已知抛物线 2 4yx的准线是双曲线 22 2 1(0) 2 xy a a 的左准线，则a _. 9. 算数书竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我们现存最早的成系统的数学典 籍.其中记载有求“囷盖”术：“冒如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”，该术相当于给出了由圆锥 的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式：hLV 2 36 1 .它实际上将圆锥体积公式中的圆周率取 近似值. 10. 已知圆4)2()( : 22 1 yaxC与圆1) 1()( :
4、 22 2 ybxC外切， 则ab的最大值为. 11. 九章算术是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一 千多年.其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 其意为：今有直角三角形ABC，勾（短直角边）BC长 5 步，股（长直角边） AB长 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF边长为多少？在如图 所示中，求得正方形DEBF的边长后，可求得ACEtan. 12. 已 知 在OAB中 ，PAOBOBOA,135, 2,2 为 平 面OAB上 一 点 ， 且 (),OPOAOBR 当OP最小时，向量OP与OB的夹角为. 13. 已知函数 , 31 , 34
5、, 1, )( 2 xxx xe xf x 若函数2)()(xkxfxg有三个零点， 则实数k的取值 范围是. 14. 在锐角ABC 中，角 CBA, 的对边分别为 cba, 若 ,cossincos)sin(CAACb 且 , 2a 则 CB A tantan tan 的最大值为 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分. 15. （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，D为AC中点，., 11 ACDABCAB求证： （1）CB1平面BDA1； （2）平面BDA1平面. 11C AB 16、在ABC中，三角A B C, ,的对边分别为a b c, ,
6、，且 5 cos 5 A ，sin5cosBC （1）求tanC的值； （2）若2 2a ，求ABC 的面积. 17、在平而直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 左、右焦点分别为 12 ,F F，离心率为 2 2 ， 两准线间距离为8， 圆O的直径为 12 FF， 直线l与圆O相切于第四象限点T， 与y轴交于M点， 与椭圆C 交于点N（N点在T点上方） ，且OMON. （1）求椭圆C的标准方程： （2）求直线l的方程: （3）求直线l上满足到 12 ,F F距离之和为4 2的所有点的坐标. 18、镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图 1） ，塑像总高度
7、为 12 米，塑像由两部分组 成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计） ，下半部分由正四 棱台的上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成， 如图 2 所示.设计要求正棱台的水平横柱长度 为 4 米，下底面边长为 8 米，设斜柱与地面的所成的角为. （1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin的取值范围？ （2）若该塑像上半部分立柱的造价为3千元/米(立柱上凸起部分忽略不计)，下半部分横柱和斜柱的造价 都为2千元/米，问当为何值时，塑像总造价最低？ 19. 各项为正数的数列 n a如果满足：存在实数, 1k对任意正整数k a a k n n n 1 1
8、 ,恒成立，且存在正整数 n，使得 ka a k a a n n n n 1 11 或成立，则称数列 n a为“紧密数列”，k称为“紧密数列” n a的“紧密度”. 已知数列 n a的各项为正数，前n项和为 n S，且对任意正整数n，为常数）（CBACBaaS nnn , 2 恒成立. （1）当 4 1 , 2 1 , 4 1 CBA时， 求数列 n a的通项公式； 证明数列 n a是“紧密度”为 3 的“紧密数列”； （2）当0A时，已知数列 n a和数列 n S都为“紧密数列”，“紧密度”分别为 21,k k，且2 , 1, 21 kk， 求实数B的取值范围. 20、已知函数 , x f
9、xeax aR，其中e是自然对数的底数. （1）当1a 时，求曲线 yf x在1x 处的切线方程; （2）如果对任意xR，不等式 0f x 恒成立，求实数a的取值范围； （3）讨论函数 x g xf xe的零点个数. 高三数学答案 第 1 页（共 8 页） 镇江市高三数学三模考试答案及评分标准镇江市高三数学三模考试答案及评分标准 一、一、填空题：每小题填空题：每小题 5 分分. 1. 1 2. 1 3. 充分不必要 4. 20 5. 5 6. 1 2 7. 2 8. 184 9. 3 10. 2 11. 144 229 12. 90 13. （ ，（ ，0 15 5 ) 1 e e 3 14.
10、 35 二、解答题二、解答题 15. 证明： （1）设AB 1 与AB1交于O，连接OD，在平行四边形ABB A 11中，O为AB1中点， D为AC中点，则OD为ABC 1 的中位线，所以ODBC 1 ， OD平面ABD 1 ，因BC 1 平面ABD 1 ，所以BC 1 平面ABD 1 . （2） 因为ABBC. 在直三棱柱ABCABC 111中， C C 1 平面ABC， BD平面ABC，所以BDC C 1 . 又BDAC，AC平面ACC A 11， C C 1 平面ACC A 11， ACCCC 1 所以BD平面ACC A 11. 因为AC1平面ACC A 11，所以 BDAC1， 又AD
11、AC 11， BD平面ABD 1 ，AD 1 平面ABD 1 ，ADBDD 1 ， 所以AC1平面ABD 1 . 又AC1平面ABC 11， 所以平面 ABC 11 平面ABD 1 . 16.解：在ABC 中，ABC，A0，Asin0，因为A 5 cos 5 ， 得AA 55 sin1cos1() 52 5 22 . （1）因为CBACAC()sin()5cossinsin(ACACsincoscossin， 所以CCC 55 5coscossin 52 5 . 所以CCsin=3cos. 如果Ccos0，则Csin0与CCsincos1 22 矛盾，所以Ccos0 所以 C C C cos
12、tan3 sin . （2）因为C0，由Ctan30，得C 2 0 ，则Csin0，Ccos0. 将（1）中代入（1）中解得：C 10 sin 3 10 ，C 10 cos 10 . 于是BC 102 sin5cos5 102 . 不交代不交代Asin0和 平方和公式使用形 式的分别扣 1 分 和 平方和公式使用形 式的分别扣 1 分 要求写出正切的公式！要求写出正切的公式！ 无诱导公式、和差展开无诱导公式、和差展开 公式公式形式形式分别扣分别扣 1 1 分分 ，D为AC中点， 所以BD为ABC的底边上的中位线， 得B DA C 高三数学答案 第 2 页（共 8 页） 将2 2a 及（1）代入
13、正弦定理 sinsin ac AC ， 2 2 2 53 10 510 c ，得3c . 所以ABC的面积 112 sin2 233 222 SacB . 17. 解： （1）设椭圆 C 的焦距为2c，因为因为离心率为离心率为 2 2 c a ， 两准线间距离为两准线间距离为 2 2=8 a c ，又 222 abc， 由解得2 22ab，. 则椭圆 C的标准方程为 22 1 84 xy （2） 【法一】 设切点 00 (,)T xy， 则 22 00 4xy,因 T 在第四象限， 所以 00 00xy， 直线 OT 的斜率 0 0 OT y k x ，因为OTl，所以直线 l 的斜率 0 0
14、 x k y ， 直线 l： 0 00 0 () x yyxx y ，由得： 00 4x xy y， 令0x ，得 0 4 (0,)M y ， 因为OMON，OTMN，所以T为MN中点，所以 00 0 4 (2,2)Nxy y 代入（1）中得： 2 0 2 00 4 (2) (2) 1 84 y xy ，解得： 00 22xy ， 代入式得：直线 l 的方程为2 20xy. 【法二】设(0)Mm，() NN N xy，则 22 28 NN xy，设直线 lykxm：， 因为切点 T 在第四象限，所以0 N x，00km，. 因 l 与O： 22 4xy相切，则圆心距 2 | 2 1 m d k
15、 ， 22 44mk 因为OMON，则 22 OMON，所以 222 NN xym， 联立解得： 2222 288 NN xmym， 因为0 N x，所以 22 288 NN xmym ， 则 0 N N ym k x ，由得 22 2 48 2 28 mmm m ，解得2 2m ，2m . 当2m 时，0 N x，与0 N x矛盾. 则2 2m ，代入，得1k ， 所以直线 l 方程为2 20xy. （3）因为因为到到 12 FF，距离之和为距离之和为4 2的所有点的集合为椭圆的所有点的集合为椭圆 C， 所以满足题意的点为直线l与椭圆 C 的公共点， 不交代题目条不交代题目条 件，每个扣件，
16、每个扣 1 1 分分 不交代不交代 00 xy，符合且不说明舍去其符合且不说明舍去其 他解原因，扣他解原因，扣 1 1 分分. .下同下同. . 不 交 代不 交 代 题 目 条题 目 条 件， 每个件， 每个 扣扣 1 1 分分 高三数学答案 第 3 页（共 8 页） 联立得： 22 2 20 1 84 xy xy ， ， 得 2 38 2 +80xy，即 2 2 0 x y ， ， 或 2 2 3 4 2 3 x y ， ， 所以满足条件的点的坐标为(2 2,0)和 2 24 2 () 33 ，. 18. 解： （1） 由正四棱台的定义， 平面 AEGC平面EFGH， 在平面 AEGC 内
17、作AM EG， 交 EG 于M，平面 AEGC平面EFGHEG，则AM 平面EFGH， 则AEM为斜柱与地面所成的角，即AEM. 显然 1 AAM， ，三点共线，在等腰梯形 AEGC 中，4 2AC ，8 2EG ， 则 2 2EM ， 2 2 tanAM ，立柱 1 122 2tanAA， 因为 1 3 38 0sinsin 19 AEM，所以 3 38 sin(0,) 19 . 答：塑像上半部分的高度(122 2tan )米,sin的范围为 3 38 (0,) 19 . （2） 2 2 cos AE ，设总造价为y，则 1 434()2yAAAEAB， 2 2 4(122 2tan )34
18、(4)2 cos y 8 2(23sin ) 16(23) cos ， 记 23sin ( ) cos f ，则 2 2sin3 ( ) cos f ， 令 ( )0f ，则 3 sin 2 3 38 (0) 19 ，所以 3 ， 列表： 所以当 3 时，( )f有最小值 答：当 3 时，塑像总造价最低 19. 解： （1）当 111 424 ABC，时， 2 111 424 nnn Saa，当n2 时， 2 111 111 424 nnn Saa ， 由-得： 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 4 1 nnnnn aaaaa， 整理得：)( 4 1 )( 2 1 111 nnnnnn
19、aaaaaa，因为0 n a，则0 1 nn aa， 即有2 1 nn aa， (0,) 3 3 0 (,) 3 ( )f 0 + ( )f 减函数 1 增函数 无 证 明无 证 明 过程，过程，或或 不交代不交代 扣扣 1 1 分分 高三数学答案 第 4 页（共 8 页） 当1n时， 2 11111 111 = 424 Saaaa，则1 1 a. 则 n a是以首项为 1，公差为 2 的等差数列，则12 nan. 由中12 nan，得 12 2 1 12 12 1 nn n a a n n 随着n的增大而减小， 则对任意正整数 n， 3 1 1 n n a a 1 3 恒成立， 且存在1n，
20、使得3 1 n n a a . 则数列 n a是“紧密度”为 3 的“紧密数列”. （2）当0A时，CBaS nn ，CBaS nn 11 ， -得： 1 ) 1( nn aBBa， 若0B，则上式右端中0 1n a，与0 n a矛盾； 若1B，则上式左端0 n a，与0 n a矛盾，则10BB，. 则 1 1 n n aB aB 为常数，即 n a是以首项 1 0a ，公比 1 B q B 的等比数列 因为数列 n a为“紧密数列” ，则0 n a ，所以0 1 B q B ，又1 1 B B q. 1 当1q时， q 1 n n a a 1 1 q，对任意正整数 n 恒成立， 且存在正整数
21、 n，使得q a a n n 1 ， 所以数列 n a的“紧密度”为21 1 ， kq，又1q，即q12 此时 q qa S n n 1 )1 ( 1 ， 1 1 11 11 n n nn n Sqq q Sqq 随n的增大而减小， 所以 q1 1 n n S S 1 1 1q，对任意正整数 n 恒成立， 且当1n时， 1 1 n n S q S ，所以数列 n S的“紧密度”为21 1 2 ， qk， 则10 q，与式矛盾. 2 当10 q时，q n n a a 1 1 1 q ，对任意正整数 n 恒成立， 且存在正整数 n，使得q a a n n 1 ， 则此时 n a的“紧密度”为21
22、1 1 ， k q ，即 2 1 q1. 而 nn n n n n n q q q q qqq q q S S 1 1 1 1)1 ( 1 1 1 1 随着n的增大而减小， 不交代说明等差数列，扣不交代说明等差数列，扣 1 1 分分 高三数学答案 第 5 页（共 8 页） 则 q1 1 n n n q q q S S 1 1 1 1 1q对任意正整数 n 恒成立， 且当1n时， 1 1 n n S q S ， 则 n S的 “紧密度”21 1 2 ， qk， 即10 q， 由，得 2 1 q1，即 2 1 1B B 1，解得：B1. 综上：实数 B 的取值范围为(1 ，. 20. 解： （1）
23、当1a时，xxf x e)(， 1e)( x xf，则有1e) 1 ( fk，1e) 1 (f， 则切线方程为xy) 1e ( . （2）axf x e)(. 当0a时，0e)(axf x 恒成立， 则函数)(xf在 R 上单增， 而 1 1 ( )e10 a f a ， 与)(xf0 恒成立矛盾，不合题意； 当0a时，0e)( x xf恒成立，则符合题意； 当0a时，由0e)(axf x 得：axln，则)(xf在)ln(a，上单减， 在)(ln，a上为增函数，则aaaafxfln)(ln)( min 0，解得a0e. 综上：0ae. （3）因 xaxxfxg xxx ，eee)()(R，
24、当a2 时，因为axg xx ee)(aa xx 2ee20 恒成立， 则)(xg在 R 上为增函数，而0)0(g，则此时函数)(xg有唯一零点. 当2a时，)(e)(xgaxexg xx ，则)(xg为奇函数. 只需研究x0 情形. 由0 e 1ee ee)( 2 x xx xx a axg， 得：01ee2 xx a，则有 2 4 e 2 aa x ， 则0 4 2 ln 2 4 ln 2 2 1 aa aa x，0 2 4 ln 2 2 aa x， 则)(xg在)0( 2 x，上为减函数，在)( 2 ，x上为增函数， 则有0)0()( 2 gxg. 下证：当2x时， 2 ex x . 证
25、明：令 2 e)(xxh x ，则xxh x 2e)(，02e2e)( 2 x xh，即函 数)(x h 在），（2上为增函数，故有04e)2()( 2 hxh，则)(xh在 ），（2上为增函数，故有04e)2()( 2 hxh，则 2 ex x . 当2x时，有e1 x ，则1ee)( 2 axxaxxg xx ， 高三数学答案 第 6 页（共 8 页） 取2 2 4 2 0 aa x， 则01ee)( 0 2 000 00 axxaxxg xx ， 因为( )g t 为连续函数，由零点存在性定理可得：存在唯一)( 02 xxt，使得0)(tg， 即当0x时，函数)(xg有唯一零点，也即此时
26、函数)(xg有三个零点. 综上：当a2 时，函数)(xg有一个零点；当2a时，)(xg有三个零点 21A解：因为因为向量向量 1 1 是矩阵是矩阵 A 1 02 x 的属于特征值的属于特征值的一个特征向量的一个特征向量，1 分分 所以 111 0211 x ， 即 1 2= x ， ， 解得 =2 1x ， ， 所以 A 11 02 . 4 分分 【法一】设 1 ab cd A，则 1 1110 0201 ab cd AA， 6 分分 即 10 2201 acbd cd ，则10 20 21acbdcd，, 8 分分 所以 11 10 22 abcd ，所以 1 1 1 2 1 0 2 A.
27、9 分分 【法二】det( )1 21 020Aadbc . 6 分分 则 1 A db adbcadbc ca adbcadbc = 1 1 2 1 0 2 . 9 分分 综上： 1 1 1 2 =2 1 0 2 ，A. 10 分分 21 B解：因为直线因为直线 l 的参数方程是：的参数方程是： 2 2 2 2 xmt yt ， （t 是参数是参数） ， 1 分分 所以直线 l 的普通方程为0xym. 3 分分 又又因为曲线因为曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为=6cos，所以 2=6 cos ， 因为cosx ， 222 xy， 4 分分 所以曲线 C 的直角坐标方程是得 22 6xy
28、x，即 2 2 39xy. 6 分分 设圆心到直线 l 的距离为 2 2 3 372 2 m d . 8 分分 必须交代题目条必须交代题目条 件！件！否则每处扣否则每处扣 必须交代题目条件！必须交代题目条件！ 否则扣否则扣 1 1 分分 必须要有转化过程！必须要有转化过程！否则扣否则扣 1 1 分分 高三数学答案 第 7 页（共 8 页） 所以3=2m，即1m 或5m . 10 分分 21 C解：因为9abc，由柯西不等式： 222222222 11 (1 +( ) +1 )(2 )(121) =) =9 =81 22 abcabcabc （.6 分分 所以 222 436abc， 7 分分
29、当且仅当 2 1 11 2 abc ，及414abc，时， 9 分分 222 4=36abc，所以 222 4abc的最小值为 36. 10 分分 22. 解：取AD中点 E，连结SE，因为SAD是正三角形，所以SE AD， 又平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD 平面 ABCDAD，SE 平面 SAD 所以SE 平面ABCD， 1 分分 过 E 点作/EG DC交 BC 于点 G，则EGAD.EG 平面 ABCD，所以SE EG. 以 E 为原点，分别以AD，EG，AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间 直角坐标系， 2 分分 则 0 0 0E， 01 0A， ， 210
30、B， ，1 1 0C ， ，0 1 0D， ， 0 03S，. （1）因为 F 为 SB 的中点， 13 1 22 F ， ，所以 33 0 22 CF ， ，013SA， ，, 设 SA 与 FC 所成角为，则cos cos0 CF SA CF SA CFSA ， ， 3 分分 又 0 2 ， ，得 = 2 ，即 SA 与 FC 所成角为 2 . 4 分分 （2）设平面 SAC 的法向量 1 xyz ， ， ， 则 1 0SA ， 1 0SC ，013SA， ，1 13SC ， ， 所以 30 30 yz xyz ， ， 取3y ，得 1 2 331 ， ， 6 分分 213SB ， ，设
31、23SQSB， ， 0,1, 32 ,32 ,1,33AQASAQ，1,2,0AC 设平面 QAC 的法向量 2= , ,x y z ，则 2 0AC ， 2 0AQ 20 21330xyxyz，取33x， 得 2 2 32 333 15 ， 8 分分 设平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为， 9 分分 左边左边 6 6 个平方，右边个平方，右边 3 3 个乘号，少个乘号，少 1 1 个扣个扣 3 3 分分 高三数学答案 第 8 页（共 8 页） cos 12 12 12 cos, 2 20161 2 4 404016 ，解得 55 = 5 . 10 分分 23.解： （1）当2n 时，可能
32、的值为 1，2，3. 2 4 31 (1) 2 P C ， 2 4 21 (2) 3 P C ， 2 4 11 (3) 6 P C .所以的分布列为： 1 分分 所以数学期望数学期望 1215 ( )123 2363 E . 2分分 （2）当3n 时，可能的值为 2，3，4，5， 3 6 2 (2)P C ， 3 6 2 (3)P C ， 3 6 4 (4)P C ，所以 333 666 2242 () 5 P D CCC . 4 分分 （3）与相等的值可能为 2，3，4，5， 1n时，可能情形有 2 种，n时，可能情形有 2 种， 1n时，可能情形有 2 1 2 C种，2n时分组可能情形有
33、2 2 4 C种， 22n时，可能情形有 2 2 24 n n C 种， 122 2424 2 2(2) ( ) n n n n CCC P D C ，6 分分 令( )( )P Df n，又 21 (2)= 32 f， 21 (3)= 52 f，猜测3n 时， 1 ( ) 2 f n . 7 分分 下用数学归纳法证明： 1 ( ) 2 f n （3n）. 1当3n时，由（2）知结论成立. 2假设nk（3k）时成立，即 122 2424 2 2(2)1 ( ) 2 k k k k CCC f k C . 当+1nk时， 1 121 222 2422 11 2222 1 +2 2(2) 2 (1
34、) kk k kk k kk kk CC CCC f k CC . 又 1 222 1 = 2(21) kk kk k CC k ， 11 2222 (1) = 4(21)(21) kk kk k k CC kk ， 1(1) (1) 2(21)4(21)(21) kk k f k kkk (21)(1)2 (1) 4(21)(21) kkk k kk 2 2 4+31 = 4(41) kk k 因为 22 (4+31)2(41)kkk 2 4+31(1)(41)0kkkk ， 所以 2 2 4+311 4(41)2 kk k ， 综合1，2知： 1 ( )(3) 2 f nn. 9 分分 综上：2n 时， 1 () 2 P D ，当3n时， 1 ( ) 2 f n . 10 分分 1 2 3 P 1 2 1 3 1 6 必须出现题目结论“数学期望” ！必须出现题目结论“数学期望” ！
