1、p运动学的任务运动学的任务p描述物体的机械运动，包括研究描述运动的方式，描述物体的机械运动，包括研究描述运动的方式，确定速度、加速度和其它运动学量的方法。确定速度、加速度和其它运动学量的方法。p不考虑运动产生和变化的原因，仅从几何的观点不考虑运动产生和变化的原因，仅从几何的观点分析物体如何运动，确立描述运动的方法。分析物体如何运动，确立描述运动的方法。p参考物：运动情况已知的物体参考物：运动情况已知的物体p参考系：与参考物固连的整个空间参考系：与参考物固连的整个空间与地球固连的抽象的三维空间与地球固连的抽象的三维空间原点位于地心，坐标轴指向恒星原点位于地心，坐标轴指向恒星2023-5-141p
2、参考系与坐标系是两个不同的概念参考系与坐标系是两个不同的概念p例如滑块沿斜面运动，选地球参考系例如滑块沿斜面运动，选地球参考系,可以建可以建立两种坐标系立两种坐标系22023-5-14)(东x)(北y)(天zoAW32023-5-14运动方程运动方程()trr位位 移移()()ttt rrr()tr矢量端图矢量端图OPPr速速 度度0dlimdttt rrvr 220ddlimddtttt vvrar 加速度加速度()ttr42023-5-14()()()()tx ty tz trijk()xyztvvvxyzvijkijk()xyztaaaxyzaijkijkyzP (x,y,z)()tro
3、ijkx运动方程运动方程速速 度度加速度加速度52023-5-14例例1 设梯子的两个端点设梯子的两个端点A和和B分分别沿着墙和地面滑动，它和地别沿着墙和地面滑动，它和地面夹角面夹角 是时间的已知函数，是时间的已知函数，求梯子上求梯子上M点的运动轨迹、速点的运动轨迹、速度和加速度。度和加速度。)(tA)(tMabB解：解：62023-5-1412222byax0 x0ycosxasinyb取如图所示的直角坐标系，则取如图所示的直角坐标系，则M点的坐标为点的坐标为由此得由此得M点的轨迹方程为点的轨迹方程为yOABMax)(tb72023-5-14M点的速度为点的速度为(sin)(cos)xyab
4、 vijijM点的加速度为点的加速度为22(sincos)(cossin)xyab aijijyOABMax)(tbcosxasinyb82023-5-14当当 a=b=l 时，时，M点的速度：点的速度：(sincos)lvij(cossin)lrij0v rM点的速度垂直于其矢径！点的速度垂直于其矢径！(sin)(cos)ab vijablyOABMlxlrp讨论讨论92023-5-14当当 a=b=l 且且 时，时，M点的加速度：点的加速度：22(sincos)(cossin)ab aijabl2(cossin)l aij加速度指向加速度指向O点点匀速圆周运动匀速圆周运动0yOABMlxl
5、r(cossin)lrij2 r102023-5-14例例2 半径为半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地无滑动地滚动滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度和加速度分别为心的速度和加速度分别为u和和aO，试求轮子边缘点试求轮子边缘点M的运动轨迹、速度、加速度。的运动轨迹、速度、加速度。MMRO112023-5-14解：取坐标系解：取坐标系Axy如图所示，设如图所示，设M点所在的一个最低点所在的一个最低位置为原点位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，则当轮子转过一个角度后，M点坐标点坐标为为sin sin sinxACO
6、MMCRRR)cos1(cosROMOCy这是旋轮线的参数方程。这是旋轮线的参数方程。ORCAxyMACMCR122023-5-14132023-5-14M点的速度为：点的速度为：xyvijORCAxyM(sin)(1 cos)xRyR(1cos)(sin)RRijM点的加速度为：点的加速度为：av 22(1 cos)sin(sincos)RRijp接触点速度讨论接触点速度讨论142023-5-14(1 cos)(sin)RRvij M点在该瞬时速度为零！点在该瞬时速度为零！当当M点位于最高点时，即点位于最高点时，即(21)k2 k当当M点与地面接触时，即点与地面接触时，即2Rvi 为什么？为
7、什么？0v 152023-5-14M点的速度始终垂直于点的速度始终垂直于CMsin(1 cos)CMAMACRR rrrij(1 cos)(sin)RRvijORCAxyM(sin)(1 cos)AMRRrijACRri0CMv r222sin2CMvxyRr速度的大小：速度的大小：p任意边缘点速度讨论任意边缘点速度讨论162023-5-14当当M点与地面接触时点与地面接触时2 k2Raj为什么为什么a向上？向上？p接触点加速度讨论接触点加速度讨论172023-5-14OuxRuROOaxROxACROaRORCAxyMp如何求出如何求出 和和ACMCR182023-5-14例例3 绳的一端连
8、在小车的绳的一端连在小车的A点上另一端跨过点上另一端跨过B点的小点的小滑车绕在鼓轮滑车绕在鼓轮C上，滑车离地的高度为上，滑车离地的高度为h。若小车以。若小车以匀速度匀速度v沿着水平方向向右运动，求当沿着水平方向向右运动，求当 时时BC之间绳上一点之间绳上一点P的速度和加速度。的速度和加速度。30hPCABxv/sin2pAvvv/sin0pAaa192023-5-14PvlPalsinxltanxh几何关系：几何关系：2secv hsincospvvl2sincospvvcoshlcoslvsin/2pvvv2233 3cos8vvhhcospav对时间求导对时间求导hPCABxvPvl202
9、023-5-14如果点沿着已知的轨迹运动，运动方程可用点在如果点沿着已知的轨迹运动，运动方程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。运动方程：运动方程：)(tss p速度速度212023-5-14ddd()dddsttstrrv()()tssv 0dlimdsss rrd1dsrddsr)(tss 0sP rs rPor()s trrp加速度加速度222023-5-14()tssa()()tssv 2()stsan切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度ddd dsst d?ds大小？大小？1n方向？方向？232023-5-140dlim
10、dsss 01lim2sin2ss 0limss dds1)(tss 0sP s rPor 返回返回 曲线上曲线上P点的曲率点的曲率2sin2242023-5-14n就是曲线在就是曲线在P点的法向单位向量。点的法向单位向量。)(tss 0sP P ndds与与垂直，其单位向量用垂直，其单位向量用n表示。表示。返回返回252023-5-14例例4 设有一点设有一点M的轨迹是平面曲线，的轨迹是平面曲线，M点的向径为点的向径为r，速度为速度为v。直线。直线OA垂直于过垂直于过M点的切线，并且与切线点的切线，并且与切线交于交于A点。试求点。试求A点点。OMAvxyrq262023-5-14lqrl r
11、 vlv v r r nq r nAqlv()nvOMAxyrqvlnArvvddAllvltrvvnqvv 272023-5-14点点P沿着沿着运动，其在任意时刻的位置可以用运动，其在任意时刻的位置可以用极坐标表示为：极坐标表示为：tt(),()P点的矢径点的矢径:ttt()()()reoPree 径向单位矢量径向单位矢量e 横向单位矢量横向单位矢量eee ee由矢量对时间的导数的物理意义可得：由矢量对时间的导数的物理意义可得：282023-5-14P点的速度为点的速度为()()ttvr 径向速度径向速度横向速度横向速度ttt()()()reeeeeeeoPreev的方向？的方向？29202
12、3-5-14P点的点的加加速度为速度为()()ttav 请注意径向和法向、横向和切向之请注意径向和法向、横向和切向之间的差别！间的差别！径向径向加速度加速度a 横向横向加速度加速度a 2()(2)ee()tveeeeeee OPreeee ee例例5 行星沿着椭圆形轨道绕太阳运动，椭圆方程为行星沿着椭圆形轨道绕太阳运动，椭圆方程为 在行星运动过程中，从太阳到行星的矢径扫过的面在行星运动过程中，从太阳到行星的矢径扫过的面积与时间成正比，或者说面积速度始终保持是常数积与时间成正比，或者说面积速度始终保持是常数即即求行星的加速度。求行星的加速度。302023-5-14/(1cos),01,0peep
13、2C 312023-5-1422d1()0dat 223/aC1cospe2C sinCep221coscosCeC epp2sinpe 22pCa行星的加速度始终指向太阳！行星的加速度始终指向太阳！22(cos)Cpep322023-5-14空间一点可以由三个独立变量空间一点可以由三个独立变量)(),(),(321tqtqtq(称为曲线坐标称为曲线坐标)来描述，来描述，该该点的矢径写成为点的矢径写成为)(),(),()(321tqtqtqrtr则该点的速度用曲线坐标表示为则该点的速度用曲线坐标表示为332211)(qqrqqrqqrtrv332023-5-1431iiqeaai其中其中)(1
14、iiiqqTqTdtdHai3122)(2121iiiqHvT容易证明：如果容易证明：如果ie相互垂直，则点加速度为相互垂直，则点加速度为同理，点加速度也可以用曲线坐标写出来。同理，点加速度也可以用曲线坐标写出来。31iiqevvi则则iiqqHviiiiqrHe1iiqrH)3,2,1(i若令若令342023-5-14zvvvz,径向、横向和径向、横向和 z方向速度为方向速度为由此得由此得)(212222zT于是于是径向、横向和径向、横向和 z方向加速度为方向加速度为zaaaz ,2,2zqqq321,zzyx,sin,cos解：令解：令则有则有1,1zHHH例例6 试求柱坐标形式的速度和加
15、速度公式。试求柱坐标形式的速度和加速度公式。352023-5-14假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标将来的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标将来的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置，现在的位置，例如狗追兔子、导弹打飞机等例如狗追兔子、导弹打飞机等。BA目目标标追击者追击者362023-5-14由假设知由假设知RRvvAA/ABrrR又由又由可得追击问题的可得追击问题的相对运动微分方程相对运动微分方程：RRvvRAB/当当0R时，目标被击中或捕获。时，目标被击中或捕获。通常追击者速率是已知的，通常追击者速率是已知的，如果目标
16、的速度或轨迹如果目标的速度或轨迹也是已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动也是已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动轨迹。轨迹。oA目标目标追击者追击者RBrArB372023-5-14例例7 设靶机以水平速度设靶机以水平速度 u飞行，飞行高度为飞行，飞行高度为h，地对空导弹从地对空导弹从O点发射，其飞行速率为常数点发射，其飞行速率为常数v，试求相对飞行轨迹。试求相对飞行轨迹。huvO382023-5-14解：根据已知条件，在图示平面直角坐标系中有：解：根据已知条件，在图示平面直角坐标系中有：YXR0uvBvvA追击问题的相对运动微分方程：追击问题的相对运动微分方程：22/YXvXuX22/YXvYYxyOhv392023-5-14用极坐标系用极坐标系(以任意时刻导弹的位置为坐标原点以任意时刻导弹的位置为坐标原点)，则，则有有RRRsincosuuvB0vvA追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成vuRcoscosuRsincosuvuRddRuuvuuvCR/)(/)()2/cos()2/sin(vuvuvBBhhxxC/)(/2200/21
