1、广州市绿翠现代实验学校广州市绿翠现代实验学校 数学科数学科 傅淑虹傅淑虹2017.5.5学习目标：学习目标：1.探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。握解题技巧。2.通过探究归纳，通过探究归纳，体会分类讨论的数学思想体会分类讨论的数学思想方法。方法。环节一：探究学习环节一：探究学习1.已知线段已知线段AB，求作以，求作以AB为边的直角三角形。为边的直角三角形。（一）探究学习（一）探究学习 情况情况1：以线段：以线段AB为直角边，点为直角边，点A为直角顶点的为直角顶点的直角直角三角形，此时点三角形，此时点C在过点在过点A垂直于垂直于AB的直线上，
2、点的直线上，点A除外。除外。公开课图公开课图1.gsp情况情况2：以线段：以线段AB为直角边，点为直角边，点B为直角顶点的直角三角形，为直角顶点的直角三角形，此时此时点点C在过点在过点B垂直于垂直于AB的直线上，点的直线上，点B除外。除外。公开课图公开课图2.gsp情况情况3：以线段：以线段AB为斜边的直角三角形，此时点为斜边的直角三角形，此时点C在以在以AB为直径的圆周上，为直径的圆周上，其中点其中点A和点和点B除外。除外。公开课图公开课图3.gsp2.2.已知线段已知线段ABAB与直线与直线L L相交于线段内点相交于线段内点O O，求作直角三角，求作直角三角形形PABPAB，使点，使点P
3、P在直线在直线L L上上公开课图公开课图4.gsp情况情况1：当直线当直线L与线段与线段AB不垂直时，不垂直时，如图如图情况情况2：当直线当直线L与线段与线段AB垂直时，垂直时，如图如图l3.3.已知线段已知线段ABAB的延长线与直线的延长线与直线L L相交相交(不垂直），不垂直），求作直角三角形求作直角三角形PAB,PAB,使点使点P P在在L L上。上。公开课图公开课图6.gsp6.gsp当直线与圆相离时：当直线与圆相离时：当直线与圆相切时：当直线与圆相切时：当直线与圆相交时：当直线与圆相交时：（二）归纳小结（二）归纳小结 经过线段两个端点作与已知线段垂直的两条垂线，经过线段两个端点作与已
4、知线段垂直的两条垂线，同时以已知线段为直径作圆，找出符合条件的同时以已知线段为直径作圆，找出符合条件的点的位置。简称作点的位置。简称作“一圆两垂线一圆两垂线”。（三）探究应用（三）探究应用 例、如图，已知点A坐标为（0，3），点B坐标为（4，0）直线 垂直于x轴，与x轴交于点（2，0），在直线 上找点P，使得A、B、P三点连线构成直角三角形，求出所有可能点P的坐标。公开课图9.gspll例例1 1：在直线：在直线 上找点上找点P P，使得，使得A A、B B、P P三点连线构三点连线构成直角三角形，求出所有可能点成直角三角形，求出所有可能点P P的坐标。的坐标。分析：分析：1.穷举分类构图穷举
5、分类构图:以以ABAB为直角边，可得为直角边，可得ABP1 1，ABP2 2P1P2以以ABAB为斜边（为斜边（AB为直径作圆）为直径作圆）,可得可得ABP3 3，ABP4 4MP3P42.2.明确待求已知：明确待求已知：l3.3.列式解析运演列式解析运演:(:(解法解法1 1：相似系数法：相似系数法)已知已知AO=3,BO=4,AO=3,BO=4,则则AB=5,AB=5,ABAB中点坐标中点坐标 M M AM=,AM=,要求点要求点P P1 1 、P P3 3的纵坐标的纵坐标b b1 1 、b b3 3,只需求只需求M MP P1 1和和M MP P3 3,再由对称性可求再由对称性可求P P
6、2 2、P P4 4点点P P的坐标是的坐标是178233（，），（2，-），（2，4），（2，-1）322（，）52AMPAMP1 1OAB,OAB,ABPABP3 3BAPBAP4 4例例1 1：在直线：在直线 上找点上找点P P，使得，使得A A、B B、P P三点连线构三点连线构成直角三角形，求出所有可能点成直角三角形，求出所有可能点P P的坐标。的坐标。解：解：1.穷举分类构图穷举分类构图:以以ABAB为直角边，可得为直角边，可得ABP1 1，ABP2 2P1P2以以ABAB为斜边（为斜边（AB为直径作圆）为直径作圆）,可得可得ABP3 3，ABP4 4RtRtABPABP3 3 R
7、t RtBAPBAP4 4RtRtAPAP1 1B B Rt RtB BP P1 1A A，P3P42.2.明确待求已知：明确待求已知：l 已知已知A(0,3),B(4,0),AB=5,A(0,3),B(4,0),AB=5,要求点要求点P P1 1 、P P2 2、P P3 3 、P P4 4的纵坐标的纵坐标 b b1 1 、b b2 2 、b b3 3 、b b4 43.3.列式解析运演：解法列式解析运演：解法2 2（解直角三角形法）：（解直角三角形法）：设设P1坐标为（坐标为（2，y）在）在RtA P1B中，中，22212(3)APy22212BPy22234AB 222112222222
8、(3)342APABBPyy解得：解得：173y 例例1 1：在直线：在直线 上找点上找点P P，使得，使得A A、B B、P P三点连线构三点连线构成直角三角形，求出所有可能点成直角三角形，求出所有可能点P P的坐标。的坐标。P1P2P3P4l解：解：1.1.略略2.2.略略3.3.列式解析运演：解法列式解析运演：解法3 3（斜率负倒数法）：（斜率负倒数法）：已知直线已知直线ABAB ：y=ky=k1 1x+3,kx+3,k1 1=-3/4=-3/4设经过点设经过点APAP1 1的直线为的直线为y=ky=k2 2x+3,x+3,AB AP AB AP1 1,k k1 1k k2 2=-1=-
9、131721)43(322yxkxky解得即直线即直线APAP1 1与直线与直线x=2x=2的交点的交点的的纵坐标纵坐标b b1 1=17/3,=17/3,由对称性可得由对称性可得b b2 2=-8/3=-8/3点点P P的坐标是的坐标是(2,17/3),(2(2,17/3),(2，-8/3),(2,4),(2-8/3),(2,4),(2，-1)-1)变式训练.(2012年广州第24题)如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）求点A、B的坐标。（2）略（3）当直线 过点E（4，0），M为直线 上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直
10、线 的解析式。343832xxy求得求得A A（-4-4，0 0）B B（2 2，0 0）lll公开课图公开课图10.gsp说明：通过几何画板演示，再请同学分析解题思路说明：通过几何画板演示，再请同学分析解题思路（四）课堂小结（四）课堂小结（1 1）分类的思路：一圆两垂线分类的思路：一圆两垂线（2 2）解题步骤：解题步骤：分类定形分类定形找等量找等量列方程列方程解方程解方程写结果写结果（五）拓展练习（五）拓展练习的坐标。出点三角形，若存在，请求是直角使得是否存在点在抛物线、相交于点与已知抛物线PABPPxyBAxyxy,4)2(4)2(.1222的坐标。出点三角形，若存在，请求是直角使得是否存
11、在点在抛物线、相交于点与已知抛物线PABPPxyBAxyxy,4)2(4)2(.12224)2()4()2(20),(22222xyyxyxAByxP为直角边，联立方程组当略解：设点).49,29(.49229)(00924)2(222为点，；代入，舍去Pyyxxxxxxyyx.29,04)2(21214)2(22xxxxxyxy或的坐标。出点三角形，若存在，请求是直角使得是否存在点在抛物线、相交于点与已知抛物线PABPPxyBAxyxy,4)2(4)2(.122252)2()2(4)2(5)2()1(),(222222xxxyyxAByxP为斜边，联立方程组当略解：设点0)2(4)2)(2(
12、0)2(4)2(23242xxxxxxxx0)2(4)2(2)2(2)2)(2(223xxxxxx0)22)(2(2)22()2)(2(2xxxxxx0 1)2(2)2)(2(2xxxx0)3)(2(2xxx34)2(.3,2,02xyxxx代入（舍去）（舍去）解得).3,3(的坐标是点P的坐标。若存在，请求出点是直角三角形，使得是否存在点在抛物线、相交于点与已知抛物线PABPPxyBAxyxy,4)2(.22225)2()1(5)2()1(),(222222xxxyyxAByxP为斜边，联立方程组当略解：设点0)23(,02334xxxxxx0)2422(223xxxxxx0)2()2(2)2(2xxxxxx0)12)(2(2xxxx0)1)(2(2xxx1.1,2,02xyxxx代入（舍去）（舍去）解得).1,1(的坐标是点P的坐标。若存在，请求出点是直角三角形，使得是否存在点在抛物线、相交于点与已知抛物线PABPPxyBAxyxy,4)2(.22224252520)4()2(),(22222yxxyyxyxAByxP解得为直角边，联立方程组当略解：设点).425,25(的坐标是点P425254-2-212yxxyxy解得）（或联立方程组（五）作业布置（五）作业布置 三段六步P146、147
