1、【成才之路】2015版高中数学 1.2 应用举例（第2课时）练习 一、选择题1如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳个场馆B、C的俯角分别为、，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为()ABCD答案B解析在RtADC中，AC，在ABC中，由正弦定理，得BC.2某工程中要将一长为100 m倾斜角为75的斜坡，改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A100mB100mC50()mD200m答案A解析如图，由条件知，AD100sin75100sin(4530)100(sin45cos30cos45sin30)25()，CD100cos7525()，BD25(3)BCBDC
2、D25(3)25()100(m)3要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40m，则电视塔的高度为()A10mB20mC20mD40m答案D解析设ABxm，则BCxm，BDxm，在BCD中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120，x220x8000，x40(m)4若甲船在B岛的正南方A处，AB10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()AminBhC21.5minD2.15h答案A解
3、析当时间tCD2，故距离最近时，t38.此船无触礁的危险8甲船在A处发现乙船在北偏东60的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着_方向前进，才能最快与乙船相遇？答案北偏东30解析如图，设经过t h两船在C点相遇，则在ABC中，BCat，ACat，B18060120，由，得sinCAB.0CAB90，CAB30，DAC603030.即甲船应沿北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇三、解答题9如图所示，两点C、D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1、D1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是45和60，C、D间的距离是12
4、 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)解析在BC1D1中，BD1C1120，C1BD115.由正弦定理，BC1186，A1BBC1186，则ABA1BAA129.89(m)10在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解析设缉私船用t小时在D处追上走私船在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB(1)2222(1)2cos1
5、206，BC.在BCD中，由正弦定理，得sinABCsinBAC，ABC45，BC与正北方向垂直CBD120.在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD，BCD30.故缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船.一、选择题1飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30，向前飞行10 000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75，这时飞机与地面目标的水平距离为()A2 500(1)mB5 000mC4 000mD4 000m答案A解析示意图如图，BAC30，DBC75，ACB45，AB10 000.由正弦定理，得，又cos75，BDcos752 500(1)(m)2渡轮以15
6、km/h的速度沿与水流方向成120角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)()A14.5km/hB15.6km/hC13.5km/hD11.3km/h答案C解析由物理学知识，画出示意图，如图AB15，AD4，BAD120.在ABCD中，D60，在ADC中，由余弦定理，得AC13.5(km/h)故选C3在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A20mB30mC40mD60m答案C解析设O为塔顶在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，BD40，OD
7、20，在RtAOD中，OAODtan6060，ABOAOB40.4.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，则建筑物的高度为()A15mB20mC25mD30m答案D解析设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30m.二、填空题5学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45，乙同学在B地测得树尖的仰角为30，量得ABAC10m树根部为C(A、B、C在同一
8、水平面上)，则ACB_.答案30解析如图，AC10，DAC45，DC10，DBC30，BC10，cosACB，ACB30.6(2014新课标文，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN_m .答案150m解析本题考查解三角形中的应用举例如图，在RtABC中，BC100，CAB45，AC100.在AMC中，CAM75，ACM60，AMC45.由正弦定理知，AM100.在RtAMN中，NAM60，MNAMsin60100150(m)三、解答题7.如图，渔
9、船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12n mile，渔船乙以10n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin的值解析(1)在ABC中，BAC18060120，AB12，AC10220，BAC.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784.解得BC28.所以渔船甲的速度为14n mile/h.(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得.即sin.8据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的
10、A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由分析设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过th到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB.解析如图，设台风中心经过th到达B点，由题意：SAB903060，在SAB中，SA300，AB30t，SAB60，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcosSAB3002(30t)2230030tcos60.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|270即SB22702，化简整理得t210t190，解之得5t5，所以从现在起，经过(5)h S岛开始受到影响，(5)小时后影响结束，持续时间：(5)(5)2(h)答：S岛从现在起经过(5)h受到台风影响，且持续时间为2h.
