1、课时提升作业(六十九)离散型随机变量的均值与方差(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015聊城模拟)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)=()【解析】选B.依题意得:.E(X)=(-1).【加固训练】(2015嘉峪关模拟)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为()A.5B.5.25C.5.8D.4.6【解析】选B.由题意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=,P(X=4)= ,P(X=5)= ,P(X=6)= .由数学期望的定义可求得E(X)=5.25.2.已知随机变量的分
2、布列为P(=k)=,k=1,2,3,则D(3+5)=()A.6B.9C.3D.4【解析】选A.由E()=(1+2+3)=2,得D()=,D(3+5)=32D()=6.3.(2015枣庄模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=()【解题提示】由题意知,XB,由E(X)=5=3,知XB,由此能求出D(X).【解析】选B.由题意知,XB,所以E(X)=5=3,解得m=2,所以XB,所以D(X)=.4.(2015贵阳模拟)一份数学试卷由25个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有1个选项是正确的,每
3、题选正确得4分,不选或选错得0分,满分100分,小强选对任一题的概率为0.8,则他在这次考试中得分的期望为()A.60分B.70分C.80分D.90分【解析】选C.设小强做对题数为,则B(25,0.8),则他得分为4,E(4)=4E()=4250.8=80.5.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)1.75,则p的取值范围是()【解析】选C.由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)
4、2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+31.75,解得p或p,又由p(0,1),可得p.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=p,令随机变量X=则X的方差D(X)等于.【解析】X服从两点分布,故D(X)=p(1-p).答案:p(1-p)7.已知X的分布列则下列式子:E(X)=-;D(X)=;P(X=0)=,正确的个数是.【解析】由E(X)=(-1),故正确.由D(X)=,知不正确.由分布列知正确.答案:28.(2015上海模拟)已知随机变量所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1
5、,p2,p1,若随机变量的方差D()=,则p1+p2的值是.【解题提示】由分布列的性质可得2p1+p2=1,由数学期望的计算公式可得E()的值,由方差的计算公式可得D(),进而即可解得p1,p2.【解析】由分布列的性质可得2p1+p2=1,(*)由数学期望的计算公式可得E()=1p1+2p2+3p1=2(2p1+p2)=2.由方差的计算公式可得D()=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1=,解得p1=,把p1=代入(*)得2+p2=1.解得p2=,所以p1+p2=+=.答案: 三、解答题(每小题10分,共20分)9.美国NBA总决赛采用七局四胜制,赛前预计参加决赛的两队
6、实力相当,且每场比赛组织者可获得200万美元,问:(1)比赛只打4场的概率是多少?(2)组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元的概率是多少?(3)组织者在本次比赛中获利的期望是多少?【解析】(1)依题意,某队以40获胜,其概率为.(2)组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元,则两队至少打6场比赛,分两种情况:只打6场,则比赛结果应是某队以42获得胜利,其概率为P1=,打7场,则比赛结果应是某队以43获得胜利,其概率为P2=,由于两种情况互斥,所以P=P1+P2=,所以获利不低于1200万美元的概率为.(3)设组织者在本次比赛中获利万美元,则的分布列为=1162.5(万美元).因此组织者
7、在本次比赛中获利的期望是1162.5万美元.10.(2015永州模拟)抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率如表所示(0aE(X2),所以应生产甲品牌轿车.5.(13分)(能力挑战题)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)从这15天的数据中任取3天的数据,记表示空气质量达到一级的天数,求的分布列.(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级.【解析】(1)由题意知N=15,M=6,n=3,的可能取值为0,1,2,3,其分布列为P(=k)= (k=0,1,2,3),所以P(=0)=所以的分布列是:(2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为一年中空气质量达到一级的天数为,则B,所以E()=360=144,所以一年中空气质量达到一级的天数为144天.
