1、【典型题】高一数学下期末试题(含答案)一、选择题1设，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则2已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是ABCD3已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），且在区间0，2上f（x）=x，若关于x的方程f（x）=loga|x|有六个不同的根，则a的范围为（）ABCD（2，4）4在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是( )ABCD5已知两个正数a，b满足，则的最小值是A23B24C25D266函数的大致图像是（ ）ABCD7若函数在上单调递增，则的取值不可能为（ ）ABCD8定义在上
2、的奇函数满足，且当时，则下列结论正确的是（ ）ABCD9将直线2xy0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2y22x4y0相切，则实数的值为()A3或7B2或8C0或10D1或1110下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）ABCD11已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A7B6C5D412如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）A，且直线是相交直线B，且直线是相交直线C，且直线是异面直线D，且直线是异面直线二、填空题13在 中，若 ， ，则 等于_14在区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x
3、|m的概率为，则m=_15设是数列的前项和，且，则_16对于函数，设，若存在m，n使得，则称与互为“近邻函数”.已知函数与互为“近邻函数”，则实数a的取值范围是_.（e是自然对数的底数）17如图，在等腰三角形中，已知，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_. 18已知，命题：，命题：，若命题为真命题，则实数的取值范围是_19某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 20如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为_三、解答题21记为公差不为零的等差数列的前
4、项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小.22已知函数的部分图象如图所示.（1）求和的值；（2）求函数在的单调增区间； （3）若函数在区间上恰有10个零点，求的最大值.23已知函数在区间2,3上有最大值4和最小值1.(1)求a、b的值；(2)设，若不等式在x上恒成立，求实数的取值范围24如图，在正方体中，是的中点，分别是，的中点.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.25是边长为的等边三角形，,过点作交边于点，交的延长线于点（1）当时，设，用向量表示；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值26记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值【
5、参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【解析】【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断【详解】对于A选项，若，则与平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B选项，若，且，根据直线与平面平行的判定定理知，但与不平行；对于C选项，若，在平面内可找到两条相交直线、使得，于是可得出，根据直线与平面垂直的判定定理可得；对于D选项，若，在平面内可找到一条直线与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知，只有当时，才与平面垂直故选C【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查
6、逻辑推理能力，属于中等题2D解析：D【解析】【分析】利用已知条件推出x+y1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值【详解】解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：则xy的取值范围是：故选D【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力3A解析：A【解析】由得：，当时，函数的图象如图：，再由关于的方程有六个不同的根，则关于的方程有三个不同的根，可得，解得，故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，
7、体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于的不等式，解得即可.4A解析：A【解析】【分析】已知，若有两组解，则，可解得的取值范围.【详解】由已知可得，则，解得.故选A.【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若中，已知且为锐角，若，则无解；若或，则有一解；若，则有两解.5C解析：C【解析】【分析】根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案【详解】根据题意，正数a，b满足，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是25本题选择C选项.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要
8、把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误6B解析：B【解析】由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，故选B7D解析：D【解析】令，即在上单调递增且故选D.8C解析：C【解析】【分析】根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+4）=f（x），即得出f（x）的周期为4，从而可得出f（2018）=f（0）， 然后可根据f（x）在0，1上的解析式可判断f（x）在0，1上单调递增，从而可得出结果.【详解】f（x）是奇函数；f（x+2）=f（-x）=
9、-f（x）；f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；f（x）的周期为4；f（2018）=f（2+4504）=f（2）=f（0），, x0，1时，f（x）=2x-cosx单调递增；f(0) ,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9A解析：A【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2xy+=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y2）2=5，圆心坐标为（1，2
10、），半径为，直线2xy+=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）y+=0，因为该直线与圆相切，则圆心（1，2）到直线的距离d=r=，化简得|2|=5，即2=5或2=5，解得=3或7故选A考点：直线与圆的位置关系10C解析：C【解析】【分析】用面面平行的性质判断的正确性.利用线面相交来判断的正确性，利用线线平行来判断的正确性.【详解】对于，连接如图所示，由于，根据面面平行的性质定理可知平面平面，所以平面.对于，连接交于，由于是的中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交.对于，连接，则，而与相交，即与平面相交，所以与平面相交.对于，连接，则，由线面平行的判定定理可知
11、平面.综上所述，能得出平面的图形的序号是.故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.11B解析：B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.12B解析：B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】如图所示， 作于，连接，过作于连，平面平面平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为2，易知，故选B【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构
12、造直角三角性二、填空题13【解析】由得所以即则又所以故答案为解析：【解析】由 得 所以，即 则 ，又 所以 故答案为.143【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间24上随机地取一个数x若x满足|x|m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6，区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3故答案为315【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需
13、在原式将变形为：再利用递推求解通项公式解析：【解析】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.16【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点解析：.【解析】【分析】先求出的根，利用等价转换的思想，得到在有解，并且使用分离参数方法，可得结果【详解
14、】由，令所以，又已知函数与互为“近邻函数”据题意可知：在有解，则在有解即在有解，令，又令，所以当时当时所以所以，则故答案为：【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.17【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数解析：【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值.【详解】根据题意,连接,如下图所示:在等腰三角形中,已
15、知,则由向量数量积运算可知线段的中点分别为则由向量减法的线性运算可得所以因为,代入化简可得因为所以当时, 取得最小值因而故答案为: 【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.18或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命解析：或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为，根据一元二次方程有解化简命题为或，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题：“，”为真；则，解得：，若命题：“
16、，”为真，则，解得：或，若命题“”是真命题，则，或，故答案为或【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.19【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图解析：【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形，面积为，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为的等腰三角形，面积为，所以面积最大的面的面积是考点：三视图20【解
17、析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2圆锥的高是几何体的体积是解析： 【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，圆锥的高是，几何体的体积是，故答案为【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.三、解答题21（1）（2）当或时,有最大值为20【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式列方程，由此解得，进
18、而求得的通项公式.（2）根据等差数列前项和公式求得，利用配方法，结合二次函数的性质求得的最大值及对应的大小.【详解】（1）设的公差为，且由，得，由，得，于是,所以的通项公式为（2）由（1）得因为，所以当或时,有最大值为20【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式基本量的计算，考查等差数列前项和的最值的求法，属于基础题.22（1），;（2）和;（3）.【解析】【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得，进而求出；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式求出单调增区间，（），然后求出函数在的单调增区间为和.（3）先求出函数中的或（），进而借助周期性求出的最大值为。解：（1），.（2
19、）由（1）知，令，（）得，（）又因为，所以函数在的单调增区间为和.（3）由得或（）.函数在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以的最大值为.23（1）；（2）.【解析】【分析】（1）函数的对称轴方程为，开口向上，则在上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得的值.(2)由题意只需，则只需要求出在上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）开口方向向上，且对称轴方程为 ，在上单调递增. 解得且.（2）在上恒成立所以只需.有（1）知当且仅当，即时等号成立.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等
20、式的应用，属于中档题.24（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合几何体，因为分别是的中点，所以.，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由分别是的中点，得.由线面平行的判定定理平面.，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接，分别是的中点，. 又平面平面，所以直线平面.（2）连接分别是的中点，.又平面平面平面.又平面平面，平面平面.【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.25（1）；（2）【解析】【分析】【详解】（）由题意可知：，且，故，（）由题意，当时，有最大值、26（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
