1、立体几何（理科）立体几何解题中常用的判定定理及性质定理1.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（线线平行线面平行）若aa，ba，ab，则aa2.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行线线平行）若aa，a，ab，则ab3.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直若m，n，mnO，lm，ln，则l4.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行若a，b，则ab5.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有
2、两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行）若aa，ba，abA，ab，bb，则ab6.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行若ab，aa，bb，则ab7.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直若la，lb，则ab8.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面若ab，abl，aa，al，则ab空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的
3、角)(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，m，n即为所求二面角的平面角对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求如图所示，二面角-l-，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2， n1，n2，则二面有-l-的大小为或.空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离点P到平面的距离，d (其中n为的法向量，M为内任一点)空间角的范围(1)异面直
4、线所成的角()：0；(2)直线与平面所成的角()：0；(3)二面角()：0.历年高考真题及解析(2013课标全国，理18)如图，直三棱柱中，分别是的中点，.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面
5、A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.(2014课标全国，理18)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.zxyABCDEGP解：（）设AC的中点为G, 连接EG.在三角形PBD中，中位线EG/PB,且EG在平面AEC上，所以PB/平面AEC.（）设CD=m, 分别以,AB, AD,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则(2015课标全
6、国，理19)如图，长方体，点E，F分别在上，. 过点E,F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形，不必说明画法和理由；（II）求直线AF与平面所成角的正弦值.解：（）交线围成的正方形如图：（）作，垂足为，则， ，因为为正方形，所以于是，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则即所以可取又，故所以直线与平面所成角的正弦值为（2016课标全国，理19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到的位置.（I）证明：平面ABCD；
7、（II）求二面角的正弦值.（）证明：，四边形为菱形，；又，又，面（）建立如图坐标系，设面法向量，由得，取，同理可得面的法向量，(2016课标全国，理19)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（）证明：MN平面PAB；（）求直线与平面所成角的正弦值解：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（）取的中点，连结，由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知，.设为平面的法向量
8、，则，即，可取，于是.高考模拟题1如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AEPD；（2）若PA=AB=2，求二面角EAFC的余弦值2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB=60，PD平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点（）求证：直线AF平面PEC；（）求PC与平面PAB所成角的正弦值3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面
9、A1DC1的距离高考模拟题答案1.（1）证明：四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点，ABC是等边三角形，AEBC，AEAD，PA平面ABCD，AE平面ABCD，AEPA，AEAD=A，AE平面PAD，PD平面PAD，AEPD（2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，A（0，0，0），B（，1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），设平面AEF的一个法向量为，则取z1=1，得=（0，2，1），BDAC，BDPA，P
10、AAC=A，BD平面AFC，为平面AFC的一法向量又，cos=二面角EAFC为锐角，所求二面角的余弦值为2.解：（）证明：作FMCD交PC于M点F为PD中点，点E为AB的中点，又AEFM，四边形AEMF为平行四边形，AFEM，AF平面PEC，EM平面PEC，直线AF平面PEC（）已知DAB=60，进一步求得：DEDC，则：建立空间直角坐标系，则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，0），B（，0）所以：，设平面PAB的一个法向量为：，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：，设向量和的夹角为，cos=，PC平面PAB所成角的正弦值为3.解：（1）解法一：长方体ABCDA1B1C1D1中，因为点E在棱AB上移动，所以EA平面AA1D1D，从而ED1A为直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，RtED1A中，ED1A=45解法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点D1（0，0，1），平面AA1D1D的法向量为，设E（1，y，0），得，由，得，故（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点E（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，2，1），从而，设平面DA1C1的法向量为，由令，所以点E到平面A1DC1的距离为=1
