1、13.3.1 等腰三角形第十三章 轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第1课时 等腰三角形的性质 义务教育教科书义务教育教科书(RJ)(RJ)八上八上数学课件课件学习目标1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)导入新课导入新课情境引入定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角讲授新课讲授新课等腰三角形的性质1一剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影
2、部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？互动探究A AB BC CAB=ACAB=AC等腰三角形等腰三角形折一折：ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ACDB折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角 AC B D AB与与AC BD与与CD AD与与AD B 与与C.BAD 与与CADADB 与与ADC猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角等边对等角）.ABCD猜想与验证已知：A
3、BC 中，AB=AC.求证：B=C.证法1：作底边BC边上的中线AD.在ABD与ACD中：AB=AC（已知），BD=DC（作图），AD=AD（公共边），ABDACD（SSS）.B=C（全等三角形对应角相等）.应用格式：AB=AC（已知）B=C（等边对等角）证法2：作顶角BAC的平分线AD，交BC于点D.AD平分BAC，12.在ABD与ACD中，ABAC（已知），），12（已证），ADAD（公共边），），ABD ACD（SAS），），BC.ABCD(12 证法3：证明：作底边BC的高AD，交BC于点D.ADBC，ADB ADC90.在RtABD与RtACD中，ABAC（已知），），ADAD（公共
4、边），），RtABD RtACD（HL），），BC.ABCDABCDx2x2x2x 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析解析：（1）观察BDC与A、ABD的关系，BDC与C、ABC呢？BDC=A+ABD=2 A,ABC=C=BDC=2 A.（2）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来.A+ABC+C=180 x+2x+2x=180,ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=
5、180 ，解得x=36 .A=36，ABC=C=72.x2x2x2x方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数.解：AB=AD=DC B=ADB，C=DAC 设 C=x，则 DAC=x，B=ADB=C+DAC=2x，在ABC中，根据三角形内角和定理，得 2x+x+26+x=180，解得x=38.5.C=x=38.5，B=2x=77.针对训练：例2 等腰三角形的一个内角是50，则这个三角形的底角的大小是()A65或
6、50 B80或40C65或80 D50或80解析：当50的角是底角时，三角形的底角就是50；当50的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65.故选A.A方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论等腰三角形的性质2二建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?想一想：刚才的证明除了能得到BC 你还能发现什么?重合的线段重合的角 A B D C ABAC BDCD ADAD B CBAD CAD ADB ADC=90性质2 等腰三角
7、形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）.ABCD(1 2 填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空.在ABC中，AB=AC时，（1）ADBC,_=_，_=_.(2)AD是中线，_，_=_.(3)AD是角平分线，_ _，_=_.122BDCDADBCBD1BCADCD画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ABCDEFABCD1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分
8、线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（X）（X）（X）（X）（）（）例3 已知点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)如图，若ADAE，求证：BDCE；(2)如图，若BDCE，F为DE的中点，求证：AFBC.典例精析图图证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.图图G方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线当堂练习当堂练习2.如图，在ABC中，AB=A
9、C，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小为（）A40 B30 C70 D50 A1.等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（）A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 B3.(1)等腰三角形一个底角为为75,它的另外两个角为_ _；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为_；(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_ _ _ _ _.75,3072,72或或36,10830，30 4.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50，则底角的大小为_ABCABC70或20注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角
10、三角形两种情况进行讨论.5.如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30，求 BAD 和 ADC的度数.ABCD解：AB=AC，D是BC边上的中点，C=B=30，BAD=DAC，ADC=90.BAC=180-30-30=120.12BADBAC =60.6.如图，已知ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且DBCF，求证：ECDF.DBCECB.DBCF，ECBF，ECDF.证明：ABC为等腰三角形，ABAC，ABCACB.又BD、CE为底角的平分线，1122DBCABCECBACB，7.A、B是44网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置AB分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！8个这样分类这样分类就不会漏就不会漏啦！啦！C1C2C3C4C5C6C7C8拓展提升：课堂小结课堂小结等腰三角形的性质等 边 对 等 角三 线 合 一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.见本课时练习课后作业课后作业
