1、2.5 随机变量函数及其分布一、随机变量函数的定义二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布一、随机变量函数的定义定义 ).(,)(,)(XgYXYxgyxXYxXxg 记作记作的函数的函数变量变量为随机为随机则称随机变量则称随机变量的值的值的值而取的值而取取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设问题?)(的分布的分布分布求得随机变量分布求得随机变量的的量量如何根据已知的随机变如何根据已知的随机变XgYX Y 的可能值为 ;2,1,0,)1(2222 即 0,1,4.解0002 XPXPYP,41
2、.2的分布律的分布律求求的分布律为的分布律为设设XYX Xp2101 41414141例二、离散型随机变量函数的分布)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故 Y 的分布律为Yp410412141由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXgYX.)(,Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应
3、将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxg例例 已知已知 X 的分布律为的分布律为,2,1,0,)2(kpqkXPk其中其中 p+q=1,0 p 1,求求 Y=Sin X 的分布律。的分布律。解：解：1(0)P Y 02()2mXmP20mmpq21 qp022mP Xmsinsin1,0,12YXk(sin0)2Pk2km 2(1)P Y)22(0mmXP0()241mPXm410mmpq41 qpq 3(1)P Y )232(0mmXP0()243mPXm430mmpq341 qpqYpi4243111qpqqpqpq-1 0 1 第一步 先求Y=2X+8 的分布函数).(yFY)(y
4、YPyFY 82yXP 解.82.,0,40,8)(的的概概率率密密度度求求随随机机变变量量其其他他的的概概率率密密度度为为设设随随机机变变量量 XYxxxfXX例3三、连续型随机变量函数的分布xxfyXd)(28 28 yXP解例)()(yFyfyY ,)28)(28(yyfX第二步 由分布函数求概率密度.d)(28 xxfyX .,0,4280,21)28(81)(其他其他所以所以yyyfY .,0,168,328其他其他yy .,0,40,8)(其他其他xxxfX)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX .32.0,e,0,0)(232的概率密度的概率密度和和求随机变量
5、求随机变量的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYXYxxxxfXxX解,2分布函数分布函数先求随机变量先求随机变量XY 例.d)(d)(xxfxxfyXyX 再由分布函数求概率密度.)()(yFyfYY )()(yyfyyfXX)()(yFyfYY )()(yyfyyfXXyyyy210e)(212)(3 .0,0,0,2eyyyy.d)(d)()(xxfxxfyFyXyXY 当 Y=2X+3 时,有 .3,0,3,e)23(21)(2)23(3yyyyfyY.函数的概率密度的方法函数的概率密度的方法的的出计算连续型随机变量出计算连续型随机变量由上述例题可归纳由上述例题可归纳.)(
6、)(),(),(max(),(),(min(的反函数的反函数是是其中其中xgyhgggg .,0,)()()(,)(,)0)(0)(,)(,),(其他其他其概率密度为其概率密度为随机变量随机变量是连续型是连续型则称则称或恒有或恒有且恒有且恒有处处可导处处可导又设函数又设函数其中其中的具有概率密度的具有概率密度定理设随机变量定理设随机变量yyhyhfyfXgYxgxgxgxxfXXYX证明X 的概率密度为.,e21)(222)(xxfxX,)(baxxgy 设设,)(abyyhx 得得.01)(ayh知知.)0(,),(2也服从正态分布也服从正态分布性函数性函数的线的线试证明试证明设随机变量设随
7、机变量 abaXYXNX例222)(e211abya .,e2122)(2)(yaaaby.),(1)(yabyfayfXY的概率密度为的概率密度为得得其它其它由公式由公式baXYyyhyhfyfXY .,0,)()()()(,(2abaNbaXY 得得例例 ln,yyyx xh yehye 01,0,XYh yhyffyh y其它231,50,01yyyeee其它,00,y 231,01,ln50,XxxXfxYX已知随机变量求的密度函数其它lnYX解：单调递增2235yyee0y 例例,0,0,0 xXXexXfxYex已知随机变量求的密度函数 1,ln,xyexh yy hyy 0,0,
8、XYh yhyhffyy其它ln0,1ln0,yyye其它,0,11yyXYe解：单调递增21y例例 222,0,10,0 xXXexfxYex 21111,ln 1,221xyexh yyhyy 解：0,0,XYh yhyhffyy其它1ln 122111ln 102122,0,yyey其它011,0,y其它0,1YU例例 1,tan220,XxfxYX其它 21tan,arctan,1yx xh yy hyy解：2,0,2XYh yhyffh yy其它21arctan1221,0,yy其它2111yy？例例 已知已知 X N(0,1),Y=X 2,求求 f Y(y)解：解：Y=X 2 不是
9、单调函数，从分布出发：不是单调函数，从分布出发：2()()=YFyP YyP Xy2()YPFXyy 当当 y 0 时，时，()PyXy()()XXFyFy()YF y0,0y()(),0XXFyFyy()YF y 0,0y()(),0XXFyFyy()Yf y 0,0y 12 y()Yfy0,0y 12/221,0yeyy()(),0XXfyfyyX N(0,1)2 21()2yXfye结论：结论：若若 X N(0,1),则则Y=X 22(1)称称Y服从参数为服从参数为1的卡方分布的卡方分布 2 212xXfxe(),XfxX设 是一个连续型随机变量，密度函数为 121122(,(),a b
10、h yhyayxbg严是在互不相交的格单调函数反函数，区间上逐段，且均连续可导。()Yg X则的密度函数为：12()|()|()0()()XiiiYh yfh yhhyyyf，其它，有意义推广定理推广定理Oxy()yg xOxy()yg x5()hy3()hy4()hy1()hy2()hy2a3a4a5b5a1a2b3b4b例例设随机变量设随机变量1,0,X U F x为另一个随机变量为另一个随机变量1YFX证明证明:1yP FX FP Xy0 1,XU YyF 000111XxxxxxF的分布函数的分布函数,且严格单调递增且严格单调递增,则随机变量则随机变量的分布函数是的分布函数是 YFyF
11、 y。YFyyP Y 01,F y又=XF=F y=XFF y F y因此，只要得到均匀分布，由任意一个严格单调递增的分布函数都能得到与之对应的随机变量。习题习题1.一袋中装有一袋中装有5只球只球,编号为编号为1，2，3，4，5从袋中从袋中同时取同时取3只球只球,以以X表示取出的表示取出的3只球的最大号码，只球的最大号码，则随机变量则随机变量X的分布律为的分布律为_.X345P351C353C356C习题2.设随机变量X的密度函数为 1011)(2xxxAxf则常数A_.分布函数F(x)_.1122111dxxAdxxA：解解 A 1 A分布函数 111110)(11112xxdtxxFxt
12、1111arcsin10211xxxx adxxaFA0)(1)()(adxxaFB0)(21)()()()()(aFaFC 1)(2)()(aFaFD:解解选(B)aaaadxxxdxdxxdxxdxxaF0000)(21)()(21)()()()(习题3.设随机变量X的密度函数为是X的分布函数，对任意实数a有 ).()(),(xxx且)(xF习题4.下述函数中,可以作为某个随机变量的分布函数的是：211)()(xxFA 21arctan1)()(xxFB)1(21)()(xexFC )1)()()()(dxxfdxxfxFDx其中其中解：解：不一定非负不一定非负其中其中)()1)()()(
13、)(21)()1(21)()(0)(11)()(2xfdxxfdxxfxFDFexFCFxxFAxx )()()(DCA都不是某个随机变量的分布函数应选 (B)21arctan1)()(xxFB 而（B）F(x)为不减函数分布函数应满足：分布函数应满足：1)(lim)(0)(lim)(.3 xFFxFFxx0)1(1)(2 xxF 上是一个不减函数上是一个不减函数在在 ,.1xF2.F(x)为右连续1)(0)(FFF(x)连续事实上212121212122)()()()(54)5,()4,(PPDPPCPPBPPAYPPXPPNYNX的个别值才有只对，都有对任意实数，都有对任意实数，都有对任意
14、实数则记设 )1(14 XPPP解：解：)1(11552 YPYPP)(A选选习题5习题6.有5位工人独立工作,每个工人一小时平均用电12分钟,且各人工作时用电与否相互独立,求：（1）在同一时刻有3位工人需要用电的概率;（2）在同一时刻最可能有几个工人需要用电;（3）如果仅供3人所需的电力,求超负荷的概率.)51,5(BX23355451)1(C15651)15()1()2(pn543)3(XPXPXP514452.08.02.0 C00672.0 解：X=“一小时用电人数”习题7.某无线电元件次品率为0.01,为了有95%的把握保证一盒元件中至少有100个正品,问每盒应装这种元件多少个？答：
15、每盒装103个元件解：设每盒装100+n个 X表示次品的数量,则X B（100+n，0.01）由于100+n很大,P=0.01很小,可用泊松分布近似PXn0.95查泊松分布累积概率表得：n=3101.0)100(n 习题8.设X为连续型随机变量，其密度函数为 其它其它03232110)(xaaxxaxaxxf（1）确定a（2）若 是对X的三次观测值（理论上有看成与X同分布的随机变量）.求这三次观测中正好有一次大于1.5的概率.dxxf)(1adxaaxadxaxdx2)3(322110 321,XXX21 a解：（1）5.1 XP21)2321(213225.1 dxxdx832121)1(2
16、133 CP 其它其它03232110)(xaaxxaxaxxf（2）若 是对X的三次观测值（理论上有看成与X同分布的随机变量）.求这三次观测中正好有一次大于1.5的概率.321,XXX求（1）常数a;（2）X的分布函数F(x);（3）X的值落在 内的概率.1 a习题9.设随机变量X的密度函数为Rxaexfx 21)(解解:(1)dxaex211adxaedxaexx 002121（2）当x0时 xxtedtexXpxF2121)(当x0时 xtxdtedxexXPxF002121)(xe 211 0210211)(xexexFxx)1()1(11)3(FFXP111121211 eee)1,
17、1(习题10.设X在 上服从均匀分布,令 ,求Y的密度函数。解：解：X的密度函数为的密度函数为 其他其他01121)(xxfX24XY 44)(22yXPyXPyYPyFY )1,1(（1）y4 X2 0必然事件0)(1)(yfyFYY（2）04-y1 3y4时4)(yXPyFY 44yXPyXP )4()4(1yFyFXX 两边对两边对y求导求导)421)(4()421)(4()(yyfyyfyfXXY )4()4(421yfyfyXX yy 4212121421（3）当y3 其他其他043421)(yyyfY0)(0)(yfyFYY)4()4(1)(yFyFyFXXY 3yP(A|)，试证：P(B|A)P(B|)。7.已知随机变量XN（2，2),PX4=0.84,则PX0=()A.0.16B.0.32 C.0.68D.0.84)(xfXYY)(yf)(yf)(yf)(1yf8.设随机变量的概率密度函数为，又，则；B.；C.；D.A.设顾客在某银行的窗口等待的时间X(分钟)服从参数为51指数分布，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求：(1)Y的分布律；(2)PY1。
