1、问题的提出问题的提出：1)10个人摸彩，有个人摸彩，有3张中彩张中彩.问：第问：第1个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？第第2个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？2)10个人摸彩，有个人摸彩，有3张中彩张中彩.问：问：已知已知第第l个人没摸中，个人没摸中，第第2个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？1.4 条件概率条件概率 定义定义1.4.1 对于事件对于事件A、B，若若 P(B)0，则称则称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在为在 B 出现的出现的条件下条件下，A 出现的出现的条件概率条件概率.1.4.1 条件概率的定义条件概率的定义 1)缩减样本空间缩减样本空间：
2、将将 缩减为缩减为 B=B.2)用定义用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率条件概率 P(A|B)的计算的计算 10个产品中有个产品中有7个正品、个正品、3个次品，从个次品，从中中 不放回地抽取两个，不放回地抽取两个，已知第一个取到次已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率品，求第二个又取到次品的概率.P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9 解：解：设设 A=第一个取到次品第一个取到次品，B=第二个取到次品第二个取到次品，例例1.4.1 条件概率条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理满足概率的三条公理.由此得：由此得：P(A B|C)=P(
3、A|C)+P(B|C)P(AB|C)；若若 A 与与 B 互不相容，则互不相容，则P(A B|C)=P(A|C)+P(B|C)；P(|B)=1 P(A|B).条件概率是概率条件概率是概率AA P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注注 意意 点点(1)设设P(B)0，且，且A B，则下列必然成立的是，则下列必然成立的是()P(A)P(A|B)P(A)P(A|B)(2)P(A)=0.6,P(A B)=0.84,P(B|A)=0.4,则则 P(B)=().0.6(2)课堂练习课堂练习乘法公式乘法公式;全概率公式；全概率公式；贝叶斯公式贝叶斯公式.条件概率的三大公式条
4、件概率的三大公式性质性质1.4.2 (1)若若 P(B)0，则，则 P(AB)=P(B)P(A|B)；若若 P(A)0，则，则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若若 P(A1A2 An 1)0，则，则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An 1)1.4.2 乘法公式乘法公式乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有一批零件共有100个，其中个，其中10个不合格品。从中一个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率概率.解：记解：记 Ai=“
5、第第i 次取出的是不合格品次取出的是不合格品”Bi=“第第i 次取出的是合格品次取出的是合格品”,目的求目的求 P(B1B2A3)用乘法公式用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的应用乘法公式的应用9089101009998性质性质1.4.3 若事件若事件B1,B2,Bn是样本空间是样本空间 的一组分割，的一组分割，且且 P(Bi)0，则则1.4.3 全概率公式全概率公式11()()(|)()nniiiiiP ABP B P A BP A 全概率公式用于求复杂事件的概率全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件使用全概
6、率公式关键在于寻找另一组事件 来来“分割分割”样本空间样本空间.全概率公式最简单的形式：全概率公式最简单的形式：注意点注意点(1)()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B 若事件若事件B1,B2,Bn是互不相容的，且是互不相容的，且 P(Bi)0，注意点注意点(2)1nABii()()()(|)11nnP AP ABP B P A Biiiii 则由则由 可得可得 设设10 件产品中有件产品中有 3 件不合格品，从件不合格品，从中中 不放回地取两次，每次一件，求取出不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。的第二件为不合格品的概率。解解：设设 A=“
7、第一次取得不合格品第一次取得不合格品”，B=“第二次取得不合格品第二次取得不合格品”.由全概率公式得：由全概率公式得：()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9)=3/10例例1.4.2 n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸 取，记取，记 Ai为为“第第 i 次摸到中奖券次摸到中奖券”，则，则 (1)P(A1)=1/n.(2)可用全概率公式计算得可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n.(3)可用归纳法计算得可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n,i=1,2,n.摸摸 彩彩 模模 型型 n
8、张彩票中有张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取，张中奖，从中不返回地摸取，记记 Ai 为为“第第 i 次摸到奖券次摸到奖券”，则，则 P(Ai)=k/n,i=1,2,n 结论结论：不论先后，中彩机会不论先后，中彩机会是一样的是一样的.摸摸 彩彩 模模 型型(续续)口袋中有口袋中有a只白球、只白球、b只黑球。在下列情况下，只黑球。在下列情况下，求第求第k次取出的是白球的概率：次取出的是白球的概率：(1)从中一只一只返回取球；从中一只一只返回取球；(2)从中一只一只不返回取球；从中一只一只不返回取球；(3)从中一只一只返回取球，且从中一只一只返回取球，且 返回的同时再加入一只同色球返回的同时再
9、加入一只同色球.思思 考考 题题 罐中有罐中有 b 个黑球、个黑球、r 个红球，每次从中任取一个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入个，取出后将球放回，再加入c 个同色球个同色球和和 d 个异色球个异色球.(1)当当 c=1,d=0 时，为时，为不返回抽样不返回抽样.(2)当当 c=0,d=0 时，为时，为返回抽样返回抽样.(3)当当 c 0,d=0 时，为时，为传染病模型传染病模型.(4)当当 c=0,d 0 时，为时，为安全模型安全模型.波利亚罐子模型波利亚罐子模型 记记 pk(b,r)为为“口袋中有口袋中有b个黑球、个黑球、r个红球时，个红球时，第第k 次取出黑球次取出黑球”的
10、概率，的概率，k=1,2,(1)当当 c=1,d=0 时为不返回抽样，所以由时为不返回抽样，所以由摸彩模型摸彩模型 得：得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,(2)当当 c=0,d=0 时为返回抽样，所以时为返回抽样，所以 pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,(3)当当 c 0,d=0 时，为传染病模型。此时时，为传染病模型。此时pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,波利亚罐子模型波利亚罐子模型(续续)甲口袋有甲口袋有a只白球、只白球、b只黑球；乙口袋有只黑球；乙口袋有n只白球、只白球、m只黑球只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从
11、乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率球的概率.概率为：概率为：全概率公式的例题全概率公式的例题111anbna bn ma bn m Question1:甲口袋有甲口袋有a只白球、只白球、b只黑球；乙口袋有只黑球；乙口袋有n只只白白 球、球、m只黑球只黑球.从甲口袋任取两球放入乙口袋，然从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率的概率.Question2:以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，
12、则情况又如何？口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？思思 考考 题题 要调查要调查“敏感性敏感性”问题中某种比例问题中某种比例 p；两个问题：两个问题：A：生日是否在生日是否在7月月1日前？日前？B：是否考试作弊？是否考试作弊？抛硬币回答抛硬币回答A或或B.答题纸上只有：答题纸上只有：“是是”、“否否”.可用全概率公式分析可用全概率公式分析“敏感性敏感性”问题问题.敏感性问题的调查敏感性问题的调查 乘法公式是求乘法公式是求“几个事件同时发生几个事件同时发生”的概率；的概率；全概率公式是求全概率公式是求“最后结果最后结果”的概率；的概率；贝叶斯公式是已知贝叶斯公式是已知“最后结果最后结果”，
13、求，求“原因原因”的概率的概率.1.4.4 贝叶斯公式贝叶斯公式 Question:某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）已知已知“结果结果”，求，求“原因原因”若事件若事件B1,B2,Bn是样本空间是样本空间 的一组分割，且的一组分割，且P(A)0,P(Bi)0，则则1()()(|)(|)()()()(|)1
14、,2,.,()(|)iiiiiinjjjP ABP B P A BP BAP AP AP B P A BinP BP A B贝叶斯（贝叶斯（Bayes）公式）公式 1)B1,B2,.,Bn可以看作是导致可以看作是导致A发生的发生的原因原因;2)P(Bj|A)是在事件是在事件A发生的条件下发生的条件下,某个原因某个原因Bj 发生的概率发生的概率,称为称为“后验概率后验概率”;3)Bayes公式又称为公式又称为“后验概率公式后验概率公式”或或“逆概公逆概公式式”;4)称称P(Bj)为为“先验概率先验概率”.注注 意意 点点例例1.4.3 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲某商品由三个厂家供应，其
15、供应量为：甲厂家是乙厂家的厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?解：解：用用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设分别记甲、乙、丙厂，设 Ai=“取到第取到第i 个工厂的产品个工厂的产品”，B=“取到次品取到次品”，由题意得由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.11131()(|)(|)()(|)iiiP A P B AP A BP A P B A=0.4由由Bayes公式得公式得:口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？来的那只球是白球的可能性多大？课堂练习课堂练习2/3
