1、 从本章起，我们转入课程的第二部分从本章起，我们转入课程的第二部分数数理统计学。数理统计学与概率论是两个密切联理统计学。数理统计学与概率论是两个密切联系的姊妹学科。系的姊妹学科。大体上可以这样说，大体上可以这样说，概率论是数理统计学的概率论是数理统计学的基础，而数理统计学是概率论的重要应用。基础，而数理统计学是概率论的重要应用。数理统计学是这样一门学科：它使用概率论数理统计学是这样一门学科：它使用概率论和其它数学方法，研究和其它数学方法，研究怎样收集怎样收集（通过试验和（通过试验和观察）带有随机误差的数据，并在设定的模型观察）带有随机误差的数据，并在设定的模型（称为统计模型）之下，对这种数据进
2、行（称为统计模型）之下，对这种数据进行分析分析（称为统计分析），以对所研究的问题作出（称为统计分析），以对所研究的问题作出推推断断（称为统计推断）。（称为统计推断）。由于所收集的统计数据（资料）只能反映事由于所收集的统计数据（资料）只能反映事物的局部特征，物的局部特征，数理统计的任务就在于从统计数理统计的任务就在于从统计资料所反映的局部特征以概率论作为理论基础资料所反映的局部特征以概率论作为理论基础去推断事物的整体特征。去推断事物的整体特征。总体、样本和统计量总体、样本和统计量 6.1.1 6.1.1 总体与样本总体与样本 在数理统计中在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的我们将研究对象
3、的某项数量指标的值的全体称为值的全体称为总体总体,总体中的每个元素称为总体中的每个元素称为个体个体.比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命.而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是体，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一个随机变量，常用一个随机变量，常用X表示表示.例例 普查广州市大学生的身高普查广州市大学生的身高.总体总体:广州市全体大学生的身高广州市全体大学生的身高 个体个体:每个学生身高每个学生身高 有限总体有限总体例例 测定一个育苗室各处的温度测定
4、一个育苗室各处的温度.总体总体:育苗室各处温度的全体育苗室各处温度的全体个体个体:每一处的温度每一处的温度 无限总体无限总体 为方便起见，今后我们把总体与随机变量为方便起见，今后我们把总体与随机变量X等等同起来看，即总体就是某随机变量同起来看，即总体就是某随机变量X可能取值可能取值的全体的全体.它客观上存在一个分布，但我们对其它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行研究有必要对总体进行研究.按机会均等的原则随机地从客观存在的总体按机会均等的原则随机地从客观存在的总体中抽取一些个体进行观察或测试的过程称为中抽
5、取一些个体进行观察或测试的过程称为随随机抽样机抽样.从总体中抽出的部分个体从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一叫做总体的一个个样本样本.从总体中抽取样本时从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被不仅要求每一个个体被抽到的机会均等（抽到的机会均等（代表性代表性）,同时还要求每次的同时还要求每次的抽取是独立的（抽取是独立的（独立性独立性）,即每次抽样的结果不即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果影响其他各次的抽样结果,同时也不受其他各次同时也不受其他各次抽样结果的影响抽样结果的影响.这种抽样方法称为这种抽样方法称为简单随机抽简单随机抽样样.由简单随机抽样得到的样本叫做由简单随机抽样得到的样本叫做
6、简单随机样简单随机样本本.往后如不作特别说明往后如不作特别说明,提到提到“样本样本”总是指简总是指简单随机样本单随机样本.从总体从总体X中抽取一个个体中抽取一个个体,就是对随机变量就是对随机变量X进行一次试验进行一次试验.抽取抽取n个个体就是对随机变量个个体就是对随机变量X进行进行n次试验次试验,分别记为分别记为X1,X2,Xn.则样本就是则样本就是n n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn).在一次抽样以后在一次抽样以后,(X1,X2,Xn)就有了一组确定的值就有了一组确定的值(x1,x2,xn),称为称为样本观样本观测值测值.样本观测值样本观测值(x1,x2,xn)可以看成一个随机试验的
7、一个可以看成一个随机试验的一个结果结果,它的一切可能结果的全体构成它的一切可能结果的全体构成一个一个样本空间样本空间.称称(X1,X2,Xn)为样本，为样本，n为为样本容量样本容量.样本分布样本分布 设总体设总体 X 的分布函数为的分布函数为 为样本为样本.12(.,),)(XnFXXX 则样本的联合分布函数为则样本的联合分布函数为 12,1212(,;)(,)(,)(,)nXXXnXXXnFx xxFxFxFx1、样本的联合分布函数、样本的联合分布函数 2、离散型、离散型)(xpxXP 设总体设总体X的分布律为的分布律为 则样本则样本 的联合分布律为的联合分布律为 nXXX,21)()(,2
8、12211nnnxpxpxpxXxXxXP 12,1212(,;)(,)(,)(,)nXXXnXXXnfx xxfxfxfx3 3、连续型：、连续型：则样本则样本nXXX,21设总体设总体X的密度函数为的密度函数为(,),Xfx 的联合的联合密度函数为密度函数为 设总体设总体 X 的分布函数为的分布函数为 为样本为样本.12(.,),)(XnFXXX 则样本的联合分布函数为则样本的联合分布函数为 12,1212(,;)(,)(,)(,)nXXXnXXXnFx xxFxFxFx1、样本的联合分布函数、样本的联合分布函数 样本分布样本分布 例例1 设总体设总体 ，求样本，求样本 的联合分布律。的联
9、合分布律。()XPois nXXX,21(),XPois 总体总体解解:其分布律为其分布律为 ekkXPk!,2,1,0 k于是于是 的联合分布律为的联合分布律为 nXXX,21,2211nnkXkXkXP 1iniikXP niikeki1)!(niiknkenii1)!1(1 niiknkenii1!1 例例2 设总体设总体 ,求样本求样本 的联合密度的联合密度函数。函数。),(2 NXnXXX,21解解:由已知由已知,总体总体X的密度函数为的密度函数为 22()221(,)2xXfxe 于是于是 的联合分布律为的联合分布律为 nXXX,21222)(121 ixnie niixne122
10、)(2122)2(122,1222212(,;,)(,)(,)(,)nXXXnXXXnfx xxfxfxfx 总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总样本观察值，去推断总体的情况体的情况总体分布总体分布.样本是联系两者的桥梁样本是联系两者的桥梁.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体总体.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系样本是总体的反映样本
11、是总体的反映,又是进行统计推断又是进行统计推断的依据的依据.但是样本反映的信息是杂乱的但是样本反映的信息是杂乱的,无序和分散的无序和分散的,所以要针对不同的问题所以要针对不同的问题构造不同的函数构造不同的函数,将信息集中起来将信息集中起来,以便以便于进行统计推断和研究分析于进行统计推断和研究分析,使之易于使之易于揭示问题的本质，统计量就引入了。揭示问题的本质，统计量就引入了。统计量的定义统计量的定义 设设X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X的的样本，称样本，称不含未知参数的样本的不含未知参数的样本的函数函数 g(X1，X2，Xn)为为统计量统计量 若若x1，x2，.，xn为样本观测值，则为样
12、本观测值，则称称g(x1，x2，.，xn)为统计量为统计量g(X1，X2，Xn)的观的观测值测值.统计量是处理、分析数据的主要工具对统计量统计量是处理、分析数据的主要工具对统计量的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代入的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代入进行计算，因而不能含有任何未知的参数进行计算，因而不能含有任何未知的参数【例例】设设X1，X2，Xn是来自总体是来自总体X的样本，的样本，XN(，2)，其中，其中 、2为未知参数，则为未知参数，则 X1，min X1，X2，Xn 均为统计量，但诸如均为统计量，但诸如等均不是统计量，因它含有未知参数等均不是统计量，因它含有未知参数 或或,
13、312121XX ,)(112 niiXn 1X6.1.2、几个常用的统计量、几个常用的统计量 （1）样本均值：）样本均值：niiXnX11（2）样本方差：）样本方差：2211()nniiSXXn12(,)nX XXX是是 中中抽抽取取的的一一本本个样修正样本方差：修正样本方差：22111*()nniiSXXn221*()nnnSnS（4）样本）样本k阶中心矩：阶中心矩：（3）样本）样本k阶原点矩：阶原点矩：11nKkiiXXn11()nkiiXXn1(1,)kMX 就就是是（5）顺序统计量：）顺序统计量：12()()().nXXX12(),.nkXXXXk其其中中 为为将将 从从小小到到大大
14、排排列列第第位位值值12122112()(),=+,.nnnXnnXnXXXnRXX(6 6)样样本本中中位位数数：当当 为为奇奇数数 当当 为为偶偶数数(7 7)样样本本极极差差：212212121,1,2,1lim21limli,m/nitxinniinnniiXXXE XVar XiXXXnPxedtnXnPPxxnR -设设随随机机变变量量 相相互互独独立立同同分分布布，则则 服服从从中中心心极极限限定定理理，即即 有有：定定理理5.2.1 5.2.1（林林德德伯伯格格 赖赖 维维定定理理）221/2txXxedtn 解：解：(0,1)2/XNnnXn 当 较大时，（近似）(0.05)
15、(10.95)/20.975n)1.0|(|XPnnXnP/21.0/2/21.0)05.0()05.0(nn95.01)05.0(2n所以所以(),0(,)lim(|()()|,)0.XXnXnXFxxPFxFx 设设 的的分分布布函函数数为为由由伯伯努努利利大大数数定定律律，对对任任意意，有有为了用概率的方法探讨一个统计量在推断总为了用概率的方法探讨一个统计量在推断总体时的性能或把握推断结论的置信程度，我体时的性能或把握推断结论的置信程度，我们必须要知道统计量的分布或近似分布们必须要知道统计量的分布或近似分布.统计量的分布，通常称为统计量的分布，通常称为抽样分布抽样分布.先讨论统计量的数字
16、特征先讨论统计量的数字特征.122222*22,1,(1)2,6.3 1.nnnXXXXE XVar XE XVar XnnE SE Sn 设设（）是是取取自自总总体体 的的一一个个样样本本，则则 （）；（）=命命题题11122221112222112211222221111111111(2)()(2)1(2)112nnniiiiinnniiiiinnniiiiinniiiiniiiiE XEXE XnnnVar XVarXVar XnnnnSXXXX XXnnXXXnXnXXXXXnn证明：（）1n2222211222222122122222*22111 ()()()()1()()111()
17、11nnniiiiniiiiniiinnE SEXXE XE XnnE XE XE XE XE XE XnVar XE XVar XE XnnnnnnnnnE SESEnn22nS1.2分布分布（为简便计，不通过（为简便计，不通过分布，直接给出分布，直接给出 2 2分布分布定义定义 ）定义定义 设设X1，X2，Xn为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态N(0，1)分布，称随机变量分布，称随机变量服从服从自由度自由度为为n的的 2分布分布，记为，记为 X 2(n)此处自由度指此处自由度指 X 中包含独立变量的个数中包含独立变量的个数可以证明，可以证明，2
18、(n)的概率密度为的概率密度为其中其中()称为伽马函数，称为伽马函数，21niiXX122221,0()2()0,0nxnnXxexfxx0,)(01 dxexx 2分布概率密度分布概率密度o o 图图6.1 2(n)分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线可以看出，随着可以看出，随着n的增大图形趋于的增大图形趋于“平缓平缓”，其图形下区域的，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动重心亦逐渐往右下移动 0,00,)(21)(212222xxexxfxnnn 2分布具有下面性质：分布具有下面性质：(1)(可加性可加性)设设 是两个相互独立的随机变量，且是两个相互独立的随机变量，且 (2)设设证明证明 (
19、1)设设 (2)因为因为 存在相互独立、同分布于存在相互独立、同分布于N(0，1)的随机变量的随机变量X1，X2，Xn，使，使则则22211221212(),(),()XnXnXXnn 则则21niiXX21niiE XEX21niiE X1niiVar Xn12,XX2(),()2.XnE Xn Var Xn 则则（）2(),Xn 11112222222112212,nnnnnXYYYXYYY11112222222212121212().nnnnnXXYYYYYYnn 由于由于Xi独立，且注意到独立，且注意到N(0，1)的四阶原点矩的四阶原点矩为为3，可得，可得 （3）若）若 21niiVa
20、r XVar X4221()niiiE XE X(3 1)21nni2(),(0,1).2 dXnXnNn 则则 例例 设总体设总体 621,),1,0(XXXNX为取自总体为取自总体X的样本的样本,26542321)()(XXXXXXY 令令求常数求常数C，使，使 2 Cy221122(,),(,),XNYNXY ：若若且且 与与 相相互互独独立立注注则则22221212(,)N ababbYaX 一定要记住一定要记住123456123456(0,1),1,2,6,(0,3),(0,3),11()(0,1),()(0,1),331.3iXNiXXXNXXXNXXXNXXXNc ：若若则则于于
21、是是，取取 解解2.t分布分布定义定义 设设X N(0，1)，Y 2(n)，X与与Y独立，称随机变独立，称随机变量量 服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布，又称为学生氏分布，又称为学生氏分布 (Student distribution)，记为记为T t(n)可以证明可以证明t(n)的概率密度为的概率密度为 图图6-2 t分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线nYXT xnxnnnxfnt,1221)(212 图图6.2 t分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线显然显然t分布的概率密度分布的概率密度是是x的偶函数，图的偶函数，图6.2 描绘了描绘了n=1，3，7时时t(n)的概率密度曲线作为比较
22、，还描绘了的概率密度曲线作为比较，还描绘了N(0，1)的概率密度曲线的概率密度曲线 xnxnnnxfnt,1221)(212 可看出，随着可看出，随着n的增大，的增大，t(n)的概率密度曲线与的概率密度曲线与N(0，1)的概率密的概率密度曲线越来越接近度曲线越来越接近可以证明可以证明t分布具有下面性质：分布具有下面性质：即当即当n趋向无穷时趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布近似于标准正态分布N(0,1)一般地，若一般地，若n 30，就可认为，就可认为t(n)基本与基本与N(0，1)相差无几了另外，经积相差无几了另外，经积分可知，若分可知，若 ,则则 2 21(),2xtf xen ()Xt
23、 n20(1),(2)2E XnVar Xnn3.F分布分布定义定义 设设X 2(m)，Y 2(n)，且，且X与与Y独立，称随机变量独立，称随机变量 服从自由度为服从自由度为(m，n)的的F分布分布，记为，记为FF(m，n)m,n分别称为第一分别称为第一自由度和第二自由度自由度和第二自由度.可以证明其概率密度函数为可以证明其概率密度函数为:o X mFY n21222,0()1220,0mmmnFmnmxnxfxmnmxnx 图图6.3 F分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 由由F分布的定义分布的定义容易看出，容易看出，若若F F(m，n)，则，则1/F F(n，m)X mFY n 关于关于
24、 2分布、分布、t分布、分布、F分布，注意以下两分布，注意以下两点：点：（1 1）正确理解三种分布的定义，即三种分布是）正确理解三种分布的定义，即三种分布是由哪些分布衍生出来的，如果某随机变量服由哪些分布衍生出来的，如果某随机变量服从上述三种分布之一种，则该随机变量可以从上述三种分布之一种，则该随机变量可以写成什么样的表达式写成什么样的表达式.（2 2）上述三种分布的随机变量的密度函数形）上述三种分布的随机变量的密度函数形式不要求记忆式不要求记忆.129121612922212160,16,(0,9),.XYXNYNXXXY YYXYXXXZYYY 设设总总体体与与相相互互独独立立，与与 分分别别是是取取自自与与的的简简单单随随机机样样本本,求求统统计计量量所所服服从从的的分分布布例例12912921621129222121612921611(0,9 16)()(0,1)3 411(0,1),1,2,16(16)3313 4(16)1316 iiiiiXXXNXXXNYNiYXXXYYYXXXtY 于于是是解解：
