1、 1JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA数理统计数理统计 2JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA 从历史的典籍中，人们不难发现许从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工记载，说明人们很早就开始了统计的工作作.但是当时的统计，只是对有关事实但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理
2、，而没有在一定理论的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断的推断.3JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA 到了十九世纪末二十世纪初，随着到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科了数理统计学这门学科.4JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG
3、HUA 概率论概率论与与数理统计数理统计是两个有密切联系是两个有密切联系的学科的学科,它们都以随机现象的统计规律为它们都以随机现象的统计规律为研究对象研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：但在研究问题的方法上有很大区别：概率论概率论 已知随机变量服从某分布已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计数理统计 通过对试验数据的统计通过对试验数据的统计分析分析,寻找所服从的分布和数字特征寻找所服从的分布和数字特征,从而从而推断总体的规律性推断总体的规律性.5JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOM
4、ICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA它们构成了统计推断的两种基本形式它们构成了统计推断的两种基本形式.这两这两种推断渗透到了数理统计的每个分支种推断渗透到了数理统计的每个分支.概括起来可以归纳成两大类概括起来可以归纳成两大类:参数估计参数估计根据数据根据数据,用一些方法对分布的用一些方法对分布的未知参数进行估计未知参数进行估计.假设检验假设检验根据数据根据数据,用一些方法对分布的用一些方法对分布的未知参数进行检验未知参数进行检验.数理统计的核心问题数理统计的核心问题由样本推断总体由样本推断总体 6JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND
5、 ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA第第6章章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识6.1 6.1 总体与样本总体与样本6.3 6.3 抽样分布抽样分布6.2 6.2 统计量统计量6.4 6.4 正态总体的样本均值与样本正态总体的样本均值与样本方差的分布方差的分布JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA6.1 总体总体与样本与样本一、总体与个体一、总体与个体二、样本与简单随机样本二、样本与简单随机样本 8JIANGXI UNIVERSITY
6、OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA个体：个体：一、总体与个体一、总体与个体总体总体:所研究的对象的全体所研究的对象的全体,也称母体也称母体.一般用一般用 表示表示X某工厂生产的产品的某项指标某工厂生产的产品的某项指标民意测验的全体对象民意测验的全体对象某林区的树木直径某林区的树木直径组成总体的单个对象组成总体的单个对象,一般用一般用 表示表示iX均均是是随随机机变变量量和和iXX 9JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHAN
7、G HUA抽样抽样:从总体中抽取一部分个体的过程从总体中抽取一部分个体的过程随机抽样随机抽样:从总体中随机抽取一部分个体的过程从总体中随机抽取一部分个体的过程简单随机抽样简单随机抽样:总体中每个个体等可能被抽取的总体中每个个体等可能被抽取的随机抽样随机抽样样本样本:经抽样取得的个体的集合经抽样取得的个体的集合二、样本与简单随机样本二、样本与简单随机样本 10JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA简单随机样本简单随机样本:经简单随机抽样取得的个体的集合经简单随机抽样取得的个体的集合样本点
8、样本点:样本中的个体样本中的个体表表示示一一般般用用),(21nXXX样本容量样本容量:样本中包含的个体的数量样本中包含的个体的数量样本观测值样本观测值:对样本进行观测的结果对样本进行观测的结果,以后未经声明以后未经声明 抽样即为简单随机抽样抽样即为简单随机抽样样本即为简单随机样本样本即为简单随机样本表表示示一一般般用用),(21nxxx 11JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA的的一一个个样样本本为为来来自自总总体体设设XXXXn),(21常见的要求和叙述常见的要求和叙述:为为一一
9、个个随随机机向向量量则则),(21nXXX为为一一个个随随机机变变量量X同同样样的的分分布布且且具具有有和和总总体体相相互互独独立立XXXXn,21样本的同分布性和相互独立性样本的同分布性和相互独立性JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA6.2 统计量统计量一、一、统计量的定义统计量的定义二、二、常用统计量常用统计量 13JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA 对所研究的对象收
10、集了有关样本的数据对所研究的对象收集了有关样本的数据后后,还要对数据进行加工和提炼还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关将样本的有关信息信息,利用数学的工具进行加工利用数学的工具进行加工.引入统计量的概念引入统计量的概念 14JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA定义定义,),(21的的一一个个样样本本为为来来自自总总体体设设XXXXn,),(21不不含含任任何何未未知知参参数数元元函函数数若若nXXXfn.,),(2121的的一一个个统统计计量量为为则则称称nnXXXXXXf含含未未
11、知知参参数数是是否否为为统统计计量量关关键键是是不不),(21nXXXf 15JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例1 的的一一个个样样本本为为来来自自总总体体设设),(),(221 NXXXn为为未未知知参参数数时时当当2,niinXnXXXf12111),()1(为一个统计量为一个统计量 niinXnXXXf122121),()2(为一个统计量为一个统计量 niinEXXnXXXf1213)(1),()3(不是统计量不是统计量未未知知，而而因因为为 iEX 16JIANGXI
12、UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA niinXXXXXf122215)(1),()5(不是统计量不是统计量为一个统计量为一个统计量 nikinXXnXXXf1216)(1),()6(为为常常数数其其中中k niinXXnXXXf12214)(1),()4(为一个统计量为一个统计量 niiXnX11其其中中 17JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA常见统计量常见统计量:样本均值样本均值ni
13、iXnX11)(121nXXXn 样本方差样本方差 niiXXnS122)(1显然显然 niiiXXXXnS1222)(21 niniiiXnXXXn1212)(21 niiXXXXn122)(212122)(1XXnSnii 18JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA样本均方差样本均方差样本标准差样本标准差 niiXXnSS122)(10 样本修正方差样本修正方差 niiXXnS122*)(11显然显然22*1SnnS 2S 2*21SnnS 2*S样本样本k阶中心矩阶中心矩 nik
14、ikXXn1)(1 nikikXn11 样本样本k阶原点矩阶原点矩显然显然1 X22 SJIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA6.3 抽样分布抽样分布一、一、2 2 分布分布二、二、t t 分布分布三、三、F F 分布分布 20JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA 2 2分布的分布的定义及概率密度定义及概率密度一、一、2 2 分布分布).(,2,1),1,0(,2222222
15、21221nnXXXniNXXXXnin 记记为为分分布布的的从从自自由由度度为为服服则则称称随随机机变变量量若若随随机机变变量量且且独独立立同同分分布布设设随随机机变变量量.21JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA2分布的密度函数为分布的密度函数为 000)2(21),(2122xxexnnxfxnn来定义来定义.0,)(01 xdttexxt 其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分)(x 22JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMIC
16、S SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA 2分布的密度函数的图形分布的密度函数的图形 23JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA(1)设设 且且X1,X2相互独立，相互独立，则则 21221nnXX ,222121nXnX ),(2 N(2)设设 相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则 nXnii21222)(1 自自由由度度也也迭迭加加分分布布随随机机变变量量迭迭加加相相互互独独立立的的,2 分布的可加性分布的可加性2 24JIANG
17、XI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA)()(222212nXXXEE )()()(22221nXEXEXE )(2iXnE)()(2iiXEXDn nn )01(2)()(222212nXXXDD )()()(22221nXDXDXD )(2iXnD)()(224iiXEXEn 2241212dxexnx 13 nn2 nDnE2)(,)(22 2 2分布的分布的期望和方差期望和方差 25JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF
18、 STATISTICS ZHANG HUA)(212nP )(2nx 记记为为)(22n 若若)(xF分布函数为分布函数为10,)(2xPxF若若分位数分位数的的分布分布则其解称为则其解称为 2分布的上侧分位数分布的上侧分位数为为而称而称 221)(nx)(221nP 1 (临界值临界值)(21n)(2n 26JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA)20(205.0)20(2025.0)20(295.0)20(2975.0 9.10 59.9 4.31 2.34例例1 查表求临界值查表
19、求临界值 27JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例2 2 设设61,XX 是来自总体是来自总体)1,0(N的样本的样本,又设又设,)()(26542321XXXXXXY 试求常数试求常数,C解解因为因为)3,0(321NXXX )3,0(654NXXX 所以所以),1,0(3321NXXX ),1,0(3654NXXX 且相互独立且相互独立,于是于是),2(33226542321 XXXXXX故应取故应取,31 C则有则有).2(312 Y使使CY服从服从2 分布分布.28JIA
20、NGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUAnYXt/设设 X N(0,1),Y 2(n),且且X,Y相互独立相互独立,服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布.记为记为 t t(n).t t分布的分布的定义及概率密度定义及概率密度二、二、t t分布分布称称随机变量（学生氏分布）（学生氏分布）t分布的密度函数为：分布的密度函数为：212)1()2(2)1(),(nnxnnnnxf 29JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STA
21、TISTICS ZHANG HUA相相互互独独立立若若随随机机变变量量YXnYNX,),(),(22 nYXT/则则随随机机变变量量)(nt相相互互独独立立若若随随机机变变量量YXnYNX,),(/),(222 nYXT2/则则随随机机变变量量nYX/)(nt 30JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.35n=1-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.4n=1
22、n=3-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.4n=1n=3n=10-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.4n=1n=3n=10N(0,1)分分布布的的密密度度曲曲线线 t轴轴对对称称分分布布的的密密度度曲曲线线关关于于 yt 增大n分分布布的的密密度度曲曲线线越越陡陡的的增增大大随随着着 tn,)1,0(Ntn分分布布趋趋于于标标准准正正态态分分布布时时，31JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHAN
23、G HUA)(nt)(1nt)(ntT若若10 则则的的解解称称 xTP)(nt 记记为为 )(ntTP即即分分位位数数的的为为 )(nt xTP对对于于分分布布的的上上侧侧分分位位数数为为称称其其解解)()(1ntntx 1xTPxTP 1xTP)(1ntx )()(1ntnt 分分布布的的对对称称性性由由 t查分位数的重要公式查分位数的重要公式xTPxTP 32JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA查表求下列临界值查表求下列临界值8331.1 2622.2)9(tT若若)9(95.
24、0t 8331.1 )9(975.0t 2622.2 )9(99.0tx 则则821.2)9(01.0tx 即即821.2 01.0 xTP则则)9(99.0t 例例3)9(05.0t)9(025.0t)9(95.0t)9(975.0t99.0 xTP若若99.0 xTP若若975.0 xTP则则)9(975.0tx 即即95.0|xTP若若2622.2 33JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例4 设随机变量设随机变量),1,2(NX随机变量随机变量,21YY43,YY均服从均服
25、从),4,0(N且且)4,3,2,1(,iYXi都相都相互独立互独立,令令,)2(4412 iiYXT试求试求T的分布的分布,并确定并确定0t的值的值,使使.01.0|0 tTP解解由于由于,4,3,2,1),1,0(2/),1,0(2 iNYNXi故由故由t分布的定义知分布的定义知),4(42242)2(4412412412tYXYXYXTiiiiii 34JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA),4(42242)2(4412412412tYXYXYXTiiiiii 即即T服从自由度
26、为服从自由度为 4 的的t分布分布:).4(tT由由.01.0|0 tTP.6041.4)4(995.00 tt 35JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA相相互互独独立立设设随随机机变变量量YXnYmX,),(),(22 分分布布的的服服从从自自由由度度分分别别为为则则称称随随机机变变量量 FnmnYmXF,/),(/nmFnYmXF 记记为为度度分分别别为为第第一一和和第第二二自自由由nm,三、三、F F 分布分布F F 分布的分布的定义及概率密度定义及概率密度 36JIANGXI
27、 UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA00.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91F(20,20)00.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91F(20,20)F(10,10)00.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91F(20,20)F(10,10)F(5,5)增增大大nm,分分布布密密度度曲曲线线 F分分布布密密度度曲曲线线中中可可知知从从 F密密度度曲曲线线越越来来越越陡陡的的
28、增增大大随随着着,nm附附近近集集中中在在分分布布的的随随机机变变量量的的取取值值服服从从1 F对对称称密密度度曲曲线线将将近近似似地地关关于于时时1,xnm 37JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA),(1nmF),(nmF),(nmFF若若10 则则的的解解称称 xFP分分位位数数分分布布的的为为 F),(nmF 记记为为 ),(nmFFP即即的的解解称称 xFP分分布布的的上上侧侧分分位位数数为为 FnmFx),(1 ),(1nmFFP即即 1),(1nmFFP或或 38JIA
29、NGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA定理定理),(nmFF若若有有则则,10 ),(1),(1mnFnmF 且且),(1mnFF证明证明:),(nmFFP又又F1则则mXnY/,),(/nmFnYmXF 因因为为),(mnF),(11nmFFP 则则),(111nmFFP 1),(11nmFFP),(),(11mnFnmF 39JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA)8,10(95
30、.0F)8,10(99.0F)8,10(05.0F)8,10(025.0F)10,8(195.0F 例例5查表求下列分位数查表求下列分位数35.3 81.5 07.31 85.31)10,8(1975.0F 3257.0 2597.0 40JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例6),12,15(FF若若.，使使下下列列等等式式成成立立求求x)12,15(975.0Fx 18.3 975.0)1(xFP975.0)2(xFP025.0 xFP)12,15(025.0Fx )15,12
31、(1975.0F 96.21 3378.0 41JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例7 设设总体总体X服从标准正态分布服从标准正态分布,nXXX,21是来自总体是来自总体X的一个简单随机样本的一个简单随机样本,试问统计量试问统计量5,1562512 nXXnYniiii服从何种分布服从何种分布?解解因为因为,)5(,)5(),1,0(6225122 niiiiinXXNX 且且 512iiX与与 niiX62相互独立相互独立,所以所以),5,5()5(562512 nFnXXni
32、iii再由统计量再由统计量Y的表达式的表达式,即得即得).5,5(nFYJIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA6.4 正正态总体的样本均值与样本方差的分布态总体的样本均值与样本方差的分布一、一个一、一个正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布二、二个二、二个正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布 43JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA的的一一个个样样本本为为来来自自总总体体设设X
33、XXXn),(212,DXEX且且 niiXnX11 niiXXnS122)(1 niiXXnS122*)(11样本均值样本均值样本方差样本方差样本修正方差样本修正方差仍仍是是随随机机变变量量2*2,SSX它们的数学期望或方差为它们的数学期望或方差为)1()(1 niiXnEXE niiEXn11 nn1)1()(1 niiXnDXD niiDXn121221 nn 21 n 一、一个一、一个正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布 44JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA)(1)(12
34、2 niiXXnESE niiXXEn12)(1 niiXXEn12)()(1 )()(2)(1122 niiiXXXXEn )(211 niiiXDXXEDXn )(21122 niinXXEn niinnXXEn12)1()(12 45JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA)(2SE)(2*SE niinnXXnE12)1()(12 niinnXXEn12)1()(12 nnXE22)1()(2 nnXD2)1(2 nnn22)1(2 nn2)1()1(2SnnE )(12SEnn
35、 2 46JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA )(XEnXD2)(22)1()(nnSE 22*)(SE因此因此 47JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA22)3(nS niiXnX11)2(定理定理的的一一个个样样本本为为来来自自正正态态总总体体设设XXXXn),(21则则总总体体),(2 NX),(2nN niiXX122)(1)1(2 n 22*)1(Sn)1(2
36、n 或或相相互互独独立立与与2)1(SX-(1)-(2)48JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUAn取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X),(121nNXnXnii 49JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUAn取不同值时取不同值时 的分布的分布22)1(Sn)1()(1)1(212222*22 nXXSnnSnii 50JIANGXI UNIVERSITY OF
37、 FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA1/nSXT)1(nt推论推论的的一一个个样样本本为为来来自自正正态态总总体体设设XXXXn),(21则则总总体体),(2 NX可可知知随随机机变变量量式式则则由由),()1(2nNX (1)nXU/)1,0(N可可知知随随机机变变量量式式又又由由),1()2(222 nnS (2)1/(22 nnSU)1/(/22 nnSnX 1/nSX 事实上事实上 51JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS Z
38、HANG HUA例例1 设设),2,21(2NX2521,XXX为为X的一的一个样本个样本,求求:样本均值样本均值X的数学期望与方差的数学期望与方差;)2()1(.24.0|21|XP解解)1(由于由于),2,21(2NX样本容量样本容量,25 n,252,212 NX所以所以于是于是,21)(XE.4.0252)(22 XD)2(6.04.02124.0|21|XPXP.4514.01)6.0(2 52JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例2 在设计导弹发射装置时在设计导弹发射装
39、置时,重要事情之一是研重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类对于一类导弹发射装置导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布正态分布),(2 N这里这里,10022米米 现在进现在进行了行了 25 次发射试验次发射试验,用用2 S记这记这 25 次试验中弹次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本着点偏离目标中心的距离的样本修正修正方差方差,试求试求2 S超过超过 50 米米2的概率的概率.解解根据题意根据题意,有有),1()1(222 nSn 53JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AN
40、D ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA于是于是 222250)1()1(50 nSnPSP 1005024)24(12 P12)24(12 P.975.0 于是我们可以以超过于是我们可以以超过%5.97的概率断言的概率断言,2 S超过超过.250 米米 54JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例3 从正态总体从正态总体)5.0,(2 N中抽取容量为中抽取容量为 10 的的样本样本.,1021XXXX是样本的均值是样本的均值,若若 未未知
41、知,计算概率计算概率 1012575.4)(iiXP 与与.225.4)(1012 iiXXP解解由由),5.0,(2 NX有有),1,0(5.0/)(NXi ),10()(45.0210122101 iiiiXX),9()(45.0210122101 iiiiXXXX而而 55JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA,3.18)(4575.4)(10121012 iiiiXPXP 故故),9()(4,)10()(42101221012 iiiiXXX 3.18)10(12 P;05.0
42、95.01 1012225.4)(iiXXP 10129.16)(4iiXXP 9.16)9(2 P.95.0,3.18)10(295.0 ,9.16)9(295.0 56JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例4 从正态总体从正态总体),(2 NX中中抽取容量为抽取容量为 1616的一个样本的一个样本,X2 S分别为样本均值和样本修正分别为样本均值和样本修正求求:2 S的方差的方差)(2 SD及概率及概率.041.2/22 SP解解根据题意根据题意,得得),1()1(222 nSn
43、 所以所以,1)1(22 nSnE),1(2)1(22 nSnD 若若2,均未知均未知,于是于是,)(22 SE).1/(2)(42 nSD 方差方差.57JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA当当16 n时时,615.30/15041.2/2222 SPSP99.0).6.30)15(299.0 ),1()1(222 nSn 58JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA的的一一
44、个个样样本本为为来来自自正正态态总总体体设设XXXXm),(21),(211 NX且且的的一一个个样样本本为为来来自自正正态态总总体体YYYYn),(21),(222 NY均均值值和和样样本本方方差差分分别别表表示示两两样样本本的的样样本本以以22,YXSSYXnmYXU222121)()1(则有则有)1,0(N二、二个二、二个正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布定理定理 59JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA)2/()()()2(222212222121 nmnSmSnmYXTY
45、X )2(nmt212 XmS)1(2 m 事实上由事实上由(2)式式222 YnS)1(2 n 212 XmS222 YnS)2(2 nm 上上式式化化为为时时当当特特别别地地,)3(2221 211)(2221 nmnSmSnmYXTYX )2(nmtnmYXU222121)()1(60JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA222*212*)4(YXSS)1,1(nmF212 XmS)1(2 m 事实上由事实上由(2)式式)1(2 n 212*)1(XSm 222*)1(YSn 上
46、上式式化化为为时时当当特特别别地地,)5(2221 2*2*YXSS)1,1(nmF 61JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA例例5 设两个总体设两个总体X与与Y都服从正态分布都服从正态分布).3,20(N今今从总体从总体X与与Y中分别抽得容量中分别抽得容量,101 n152 n的两个相互独立的样本的两个相互独立的样本,求求.3.0|YXP解解 由题设知由题设知),1,0(5.0153103)2020()(NYXYX 于是于是3.0|YXP 5.03.05.01YXP 15.03.0
47、21.6744.0)42.0(22 62JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA解解 由题设知由题设知)110,18(35202221 FSS 222120 SSp 20352035202221SSp 359,7 Fp0 例例6 分别从方差为分别从方差为20与与35的正态总体抽取容的正态总体抽取容量为量为8和和10的两个样本，求第一个样本修正的两个样本，求第一个样本修正方差方差 是第二个样本修正方差是第二个样本修正方差 的的20倍的倍的概率概率.21 S22 S 63JIANGXI UNIVERSITY OF FINANCE AND ECONOMICS SCHOOL OF STATISTICS ZHANG HUA作业作业 P123 习题六
