1、第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 ()()nnX zx n z0()()nnX zx n zjTjTTjsTreeeeez )(第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 Z变换存在的变换存在的条件条件：等号右边级数收敛，要求：等号右边级数收敛，要求级数绝对可级数绝对可和和，即：即：使上式成立的使上式成立的Z Z变量取值的域称为收敛域。收敛域一般为变量取值的域称为收敛域。收敛域一般为环状域环状域 令：令：Z=reZ=rejwjw ，代入上式可得到：，代入上式可得到：R Rx-x-rRrRx+x
2、+()nnxxx n zRzR()nnxxx n zRzR 2.5 2.5 序列的序列的Z变换变换收敛域分别是以为收敛域分别是以为Rx-Rx-和和Rx+Rx+为半径的两个圆形成为半径的两个圆形成的的环状域环状域第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 常用的常用的Z Z变换是一个变换是一个有理函数有理函数，可用两个多项式之比表示可用两个多项式之比表示 收敛域总是用极点限定其边界。收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的对比序列的FTFT和和ZTZT的定义式，可得到的定义式，可得到FTFT和和ZTZT之间的关系：之间的关系：单位圆上的单位圆上的Z Z
3、变换就是序列的傅里叶变换。根据已知序列变换就是序列的傅里叶变换。根据已知序列的的Z Z变换变换求序列的求序列的FTFT的条件是：的条件是：收敛域中包含单位圆收敛域中包含单位圆。()()()P zXzQ z()()jjz eX eX z()()jj nnX ex n e()()nnX zx n z z=ez=ejj：表示在表示在z z平面上平面上r=1r=1的圆，的圆，称为称为单位圆单位圆2.5 2.5 序列的序列的Z Z变换变换Q(z)Q(z)的根是的根是X(z)X(z)的极点的极点P(z)P(z)的根是的根是X(z)X(z)的零点的零点第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和
4、系统的频域分析2023-5-162.5.2 Z变换的收敛域变换的收敛域1.1.有限长序列有限长序列 这类序列只在有限的区间（这类序列只在有限的区间（n1 1nn2 2）具有非零的有限）具有非零的有限值，其值，其z z变换为变换为 21nnnnznxzX)()(因为因为X(z)X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有界，是有限项级数之和，故只需级数的每一项有界，则级数就收敛，即要求则级数就收敛，即要求|x(n)z-n|。由于由于x(n)有界，故要求有界，故要求|z|z-n-n|。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16显然，在显然，在0|z|
5、0|z|上都满足此条件。上都满足此条件。znn00,021在在n1 1、n2 2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大0,021nn z00,021nn z01.1.有限长序列有限长序列2.5.2 Z变换的收敛域变换的收敛域Re zIm jz0第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-162 2右边序列右边序列在在nn1时，序列值不全为零，而在时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零。，序列值全为零。1nnnznxzX)()(011nnnnnznxznx)()(第一项为有限长序列，其收敛域为第一项为有限长序列，其收
6、敛域为0|z|0|z|。第二项为第二项为因果序列因果序列，其收敛域为，其收敛域为R Rx-x-|z|z|。zRx右边序列右边序列Z Z变换的收敛域为变换的收敛域为如果序列是如果序列是因果序列，因果序列，其收敛域为其收敛域为R Rx-x-|z|n2，序列值全，序列值全为零的序列。为零的序列。2200nnnnnnnnznxznxznxzX)()()()(xxRznRzn|00|0022第一项为反因果序列，其收敛域为第一项为反因果序列，其收敛域为0|z|0|z|R Rx+x+。第二项为有限长序列，第二项为有限长序列，n n2 200时，其收敛域为时，其收敛域为0|z|0|z|；n n2 200时时,
7、0|z|0|z|。Re zIm jz0 xR20n 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-164 4双边序列双边序列 双边序列是从双边序列是从n=-n=-延伸到延伸到n=+n=+的序列。其的序列。其z z变换为：变换为：10nnnnnnznxznxznxzX)()()()(显然，可以把它看成显然，可以把它看成右边右边序列和序列和左边左边序列的序列的z z变换变换叠加。如果叠加。如果R Rx-x-RRx+x+，则存在一个如下的公共收敛区域，则存在一个如下的公共收敛区域 Rx-|z|Rx+所以，双边序列的收敛域通常是所以，双边序列的收敛域通常是环状环状
8、区域。区域。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 总 结第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16总 结第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-162.5.3 逆逆Z Z变换变换 已知函数已知函数X(z)X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为及其收敛域，反过来求序列的变换称为z z反变换，正、反变换表示为：反变换，正、反变换表示为：),(,)()(zzncRRcdzzzXjnx121 zznnRzRznxzX|,)()(c c是是X(z)X(z)收敛
9、域中一个逆时针方向环绕原点的围线。求收敛域中一个逆时针方向环绕原点的围线。求z z反变换的方法通常有三种：反变换的方法通常有三种：留数法留数法、幂级数法幂级数法和和部分分式展开法部分分式展开法。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-160 xRxRRe zIm zc图图 2.5.3 围线积分路径围线积分路径第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-161.1.用留数定理求逆用留数定理求逆Z Z变换变换 111()Re(),2nnkckX z zdzs X z zzj 11Re(),()()knnkkz zs
10、 X z zzzzX z z1Re(),nks X z zz第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 11111Re(),()()(1)!kNnNnkkz zNds X z zzzzX z zNdz1()()nF zX z z1.1.用留数定理求逆用留数定理求逆Z Z变换变换 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 c c内极点内极点c c外极点外极点 121211Re (),Re (),NNkkkks F z zs F z z N-M-n+12 N-M-n1 注意：注意：第二章第二章 时域离散信
11、号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 已知已知 ，求出，求出x(n)112122113)(zzzX zzzXjnxcnd)(21)(1nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5.0(75 )21)(5.01(75)()(11111第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16)1(22)21(3)2()2)(5.0()75()5.0()2)(5.0()75(2),(sRe5.0),(sRe)(25.0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023
12、-5-16)2)(5.0()75()(zzzzzFnnzFnx)21(35.0 ),(sRe)(x(n)=ResF(z),2=2 2nu(n1)1(22)()21(3)(nununxnn第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16)2)(5.0()75()(zzzzzFnnnzFzFnx222132 ),(sRe5.0),(sRe)()(22213)(nunxnn第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-162.2.幂级数展开法幂级数展开法nnznxzX)()(01nnnnznxznx)()(0211)()(
13、)()(nnnnznxzXznxzX|z|Rx-第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16z zxzxzxzX)1()2()3()(231 z 121012zxxzxzxzX)()()()()(z 212)2()1()0()(zxzxxzX第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 1|,12)(22 zzzzzzXzz 2122 zz1122 zz13 z+3z-11363 zz135 z25 z215105 zz2157 zz+7z-30)(0 nxn0 n1)0(x3)1(x)()12()(nun
14、nx 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 已知已知 ，用长除法求用长除法求其逆其逆Z Z变换变换x(n)x(n)。1|,12)(22 zzzzzzXzzzzzzzzX 23223512)(0)(,0,5)3(,3)2(,1)1(,0 nxkxxxk2zz 221zz z322zzz 323zz 23z)1()12()(nunnx第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 已知已知 求求F(z)F(z)的原函数的原函数f(k)f(k)。,31,342)(2 zzzzzF31)3)(1(2)(zzz
15、zzzzzX1)(1 zzzF1 z 32111)(zzzzF因果序列因果序列3)(2 zzzF3 z 3222719131)(zzzzF113191)(，nx反因果序列反因果序列第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-163 3部分分式展开法部分分式展开法01110111)()()(azazazabzbzbzbzAzBzXnnnnmmmm 01()NmmmA zX zAzzkaazz 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16zzX)(azz 设设 的极点为一阶极点。的极点为一阶极点。zzX)(miii
16、mmzzKzzKzzKzzKzzX12211)(izziizzXzzK )()(3 3部分分式展开法部分分式展开法第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16imiizzzKzX 1)(|z|zi|z|2 3)()2(23zzzXzK)()2(3)(3)()(nunuknxn第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 4131411311)(2221zzzzzzX21|,411311)(21zzzzX2121)21)(21(31 4131)(212zAzAzzzzzzzX61|)21()(21,)(Re2
17、11zzzzXzzXsA65|)21()(21,)(Re212zzzzXzzXsA第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-1621652161)(zzzzX21|z)(2165)21(61)(nunxnn2116521161)(11zzzX第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16)()()()(2211zXnxzXnx2211zaza)()()()(22112211zXazXanxanxa),min(),max(2121z 即即 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析20
18、23-5-162 2、移位特性、移位特性则有若,),()(zzXnx)()()()(zXzmnxzXzmnxmm zz 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16)()(nuanxnaz )1()(nuanynaz nnynx)()(azzzX )(azazY )(1)()(zYzX)(mkmz zmzmk )(0 z第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-163 3、尺度变换特性、尺度变换特性4 4、X(z)X(z)的微分性质的微分性质 xxRzRdzzdXznnxZT|,)()()()()1(zXnx
19、ZTn 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 (1)(1)(ZT)(nuazXn)(dd)(ZTzXzznnx(2)(3)nnnza0nnnznua)(azaz 111azazaz )1(212nnnnzanua0)(ZT1 11azaz第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-165 5、共轭序列、共轭序列 zzRzRzXnxZT|),()(若 zzRzRzXnxZT|),()(则则6 6、反转序列、反转序列 若：若：zzXnx ),()(z11 则有：则有：)()(1 zXnx第二章第二章 时域离
20、散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-167 7、初值定理、初值定理 因果序列因果序列)(lim)0(zXxz120()()(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxz 证明：证明：8 8、终值定理、终值定理因果序列因果序列)()1(lim)(lim1zXznxzn第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-169 9、序列卷积、序列卷积x(n)=x1(n)*x2(n)1010、复卷积定理、复卷积定理则：则：1()()()2czdvW zX v Yjvv yxyxRRzRR|第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散
21、信号和系统的频域分析2023-5-16)()()(),1()()(),()(1nhnxnynuabnubnhnuanxnnn 求求azazznuaZTzXn|,)()(bzbzazbzabzzzH|,)(bzbzzzHzXzY|,)()()()()()(1nubzYZTnyn第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-161111、帕斯维尔、帕斯维尔(Parseval)(Parseval)定理定理dvvvYvXjnynxnc1)1()(21)()(11max(,)min(,)xxyyRvRRR1,1|),()(|),()(yxyxyyxxRRRRRzRn
22、yZTzYRzRnxZTzX第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16221()()()()21()()2jjnjnx n y nX eYedx nX ed第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 00()()NNkkkka y nkb x nk 1.1.求稳态解求稳态解 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-162.2.求暂态解求暂态解 0)()(kkzkyzY第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16进行单
23、边进行单边Z Z变换变换零状态解零状态解 零输入解零输入解第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16 已知差分方程已知差分方程y(n)y(n)0.9y(n0.9y(n1)=0.05u(n)1)=0.05u(n)，y(y(1)=1)=1 1，y(ny(n)=)=0 0，n n 1 1，求，求y(n)y(n)。111105.0)()(9.0)(zzkyzYzzYkk111105.0)1()(9.0)(zzyzYzzY)1)(9.01(9.095.0)(111zzzzY11105.09.0)(9.0)(zzYzzY第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2023-5-16nnnzzzzzzzzzzYzF)1)(9.0(9.095.0)1)(9.01(9.095.0)()(11111)(5.0)9.0(45.0 1 ),(sRe9.0 ),(sRe)(nuzFzFnyn y(n)=0
