1、3 函 数 概 念一、函数的定义二、函数的四则运算三、复合函数四、反函数五、初等函数 函数的概念,在中学数学中我们已有了初步的了解.本节将作进一步的讨论.一、函数的定义:,fDM.xy),()(DxxfyyDf 称为称为 f 的值域的值域;D 称为称为 f 的定义域的定义域;定义定义1 D与与M是是R中非空数集中非空数集,若有对若有对应法则应法则 f,使使D内每一个数内每一个数 x,都有惟一的一个数都有惟一的一个数 y M 与它相与它相对应对应,则称则称 f 是定义是定义在在 D上的函数上的函数,记作记作,)(),(DxxfyyxG 称为称为 f 的图象的图象.注注1 函数由定义域函数由定义域
2、 D 和对应法则和对应法则 f 二要素二要素完全完全决定，因此若给出函数的定决定，因此若给出函数的定义域和对应法则义域和对应法则,也也就确定了函数就确定了函数.它与自变量与应变量的符号无关它与自变量与应变量的符号无关.注注2 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表法和图象法表法和图象法.解析法表示函数时解析法表示函数时,若没有特别指若没有特别指明其定义域明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体有意义的自变量的全体(即存在域即存在域).).QxQxxD,0,1)(例例2 狄利克雷函数狄利克雷函数 000,
3、1,0,1sgnxxxx例例1 符号函数符号函数O11 xy 1yxO狄利克雷狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.18051859,德国德国)黎曼黎曼(Riemann,B.18261866,德国德国)+1,(,N,);()0,0,1(0,1).ppxp qqqqR xxxQ当当既既约约真真分分数数或或 例例3 黎曼函数黎曼函数O0.20.40.60.810.20.40.6xy二、函数的四则运算.,gfDgDf的的定定义义域域为为函函数数的的定定义义域域为为设设函函数数1.,fgfgfgDDD 的定义域为的定义域为,()()()().fgxDDfgxf xg x 且且2.,f gfgfgD
4、DD 的定义域为的定义域为,()()()().fgxDDfgxf xg x 且且*3.,fgffDDDg 的的定定义义域域为为*,gDx xD其中其中()0,g x 且且.)()()(,xgxfxDxgfgf 三、复合函数,fgfDgD设设函函数数的的定定义义域域为为函函数数的的定定义义域域为为fg 复复合合函函数数的的定定义义域域为为,(),f ggfDx xDg xD 且且则则,()().f gxDfg xf g x 21,Rxx 的的复复合合函函数数为为,1)(2xxgfy 例例4 (),0,()f uu ug x函函数数与与函函数数.1,1 gfD其中其中211()()arcsin(l
5、n),e,e;fg h xxD 22()()ln(arcsin),(0,1;fhgxx D21/21/24()()arcsin(ln),e,e;g hfxxD 26()()ln(arcsin(),1,0)(0,1.h gfxxD 213()()arcsin(ln),e,e;gfh xx D 25()()ln(arcsin),1,0)(0,1;hfgxx D ,1,6.kD k 其其中中是是相相应应复复合合函函数数的的定定义义域域2();()arcsin;()ln.f xxg xx h xx设设则则例例5四、反函数(),yf DxD 惟一惟一,)(yxf 使使11().fyfx 因此一般反函数记
6、为因此一般反函数记为,:ffD若函数的定义域为满足若函数的定义域为满足(),yf D 且且,1 f则存在函数则存在函数)(1DfDf 1(),fyxyx反反函函数数表表示示式式中中是是自自变变量量是是注注因变量因变量.由于函数与自变量、因变量记号无关，由于函数与自变量、因变量记号无关，().xf xyxD 其其中中是是使使的的惟惟一一的的,)(1xyf 例例6sh chxx双双曲曲函函数数和和定定义义如如下下:11sh(ee),ch(e+e),R.22xxxxxxxshRshxx在在上上严严格格增增,因因此此有有反反函函数数.1(ee),e2xxxy 设设得得到到的的一一元元二二次次方方程程2
7、(e)2 e10.xxy2ln1(,xyy解解得得负负舍舍)shyx 因因此此的的反反函函数数为为2ln1,R.yxxx+chRRx 因因此此在在和和的的反反函函数数分分别别为为21ln1,1,).yxxxR 增增,在在上上严严格格减减.22ln1,1,).yxxx+chRR1,),Rx 在在和和的的值值域域均均为为在在上上严严格格1(e+e),e2xxxy 设设得得到到的的一一元元二二次次方方程程2(e)2 e10.xxy2ln1,xyy解解得得定义定义1 以下六类函数称为基本初等函数以下六类函数称为基本初等函数);()1(为常数为常数常量函数常量函数ccy (2)();yx 幂函数为实数幂
8、函数为实数);1,0()3(aaayx指数函数指数函数(4)log(0,1);ayx aa 对对数数函函数数(5)sin,cos,yxyx三三角角函函数数;cot,tanxyxy 五、初等函数sup,1,inf,01.rxrarQ rxaaarQ rxa定义定义,1,0 aa定义定义2,arccos,arcsin)6(xyxy 反三角函数反三角函数arctan,arccot.yxyx定义定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算和复由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得合运算所得到的函数到的函数,称为初等函数称为初等函数.狄利克雷函数与黎曼函数狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数是非初等函数.2.f(x)和和 g(x)定义在定义在a,b上上,是否一定存在某个区间是否一定存在某个区间0000,()()aba bxabf xg x 使或使或?)()(,00 xgxfbax 复习思考题3.():R x验验证证黎黎曼曼函函数数具具有有以以下下性性质质0,().R x只只有有有有限限多多个个解解1.函数函数 f(x)定义在定义在 a,b上，上，f(a)=0,f(b)=1,0,1是否一定都在是否一定都在 f 的值域的值域 f(a,b)之中之中
