1、专题七综合型问题综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这类题目难度大，考查知识多，解这类习题的关键就是善于利用几何图形的有关性质和代数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题值得注意的是，近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力，力求引导考生将数
2、学知识运用到实际生活中去一个趋势代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式问题等三个步骤解综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是
3、，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、运动观点等数学思想方法，能更有效地解决问题代数型综合题【例1】(2013沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A(，0)和点B(1，2)，与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且BDADAC，求点D的坐标(3)在(2)的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于E，连接AE.判断四边形OAEB的形状，并说明理由解：(1)将A(，0)，B(1，2)代入yx2bxc得yx28x.(2)当BDADAC时，BDx轴B(1，2)，当y2时，2x28x，解得
4、x11，x24，点D的坐标为(4，2)(3)四边形OAEB是平行四边形理由如下：抛物线的对称轴是x，BE1.A(，0)，OABE.又BEOA，四边形OAEB是平行四边形【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、平行四边形的判定等知识点1(2014长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点(1，1)，且对称轴为直线x2，点P，Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QBPA1，设点P的横坐标为m.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)求点Q的坐标(用含m的式子表示)；(3)请探究PAQBAB是否成
5、立，并说明理由解：(1)抛物线yx2bxc经过点(1，1)，且对称轴为在线x2，解得.这条抛物线所对应的函数关系式yx24x2(2)抛物线上点P的横坐标为m，P(m，m24m2)，PAm2，QBPA1m21m1，点Q的横坐标为2(m1)3m，点Q的纵坐标为(3m)24(3m)2m22m1，点Q的坐标为(3m，m22m1)(3)PAQBAB成立理由如下：P(m，m24m2)，Q(3m，m22m1)，A(2，m24m2)，B(2，m22m1)，AB(m22m1)(m24m2)2m3，又PAm2，QBm1，PAQBm2m12m3，PAQBAB几何型综合题【例2】(2014咸宁)如图，正方形OABC的
6、边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(4，4)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)(1)PBD的度数为_45_，点D的坐标为_(t，t)_(用t表示)；(2)当t为何值时，PBE为等腰三角形？(3)探索POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值解：(1)如图1，由题可得：APOQ1tt(秒)AOPQ.四边形OABC是正方形，AOABB
7、COC，BAOAOCOCBABC90.DPBP，BPD90.BPA90DPQPDQ.AOPQ，AOAB，ABPQ.在BAP和PQD中，BAPPQD.APDQ，BPPD.BPD90，BPPD，PBDPDB45.APt，DQt.点D坐标为(t，t)故答案为：45，(t，t)(2)若PBPE，则PBEPEB45.BPE90.BPD90，BPEBPD.点E与点D重合点Q与点O重合与条件“DQy轴”矛盾，这种情况应舍去若EBEP，则PBEBPE45.BEP90.PEO90BECEBC.在POE和ECB中，POEECB.OEBC，OPEC.OEOC.点E与点C重合(EC0)点P与点O重合(PO0)点B(4
8、，4)，AOCO4.此时tAPAO4.若BPBE，在RtBAP和RtBCE中，RtBAPRtBCE(HL)APCE.APt，CEt.POEO4t.POE90，PE(4t)延长OA到点F，使得AFCE，连接BF，如图2所示在FAB和ECB中，FABECB.FBEB，FBAEBC.EBP45，ABC90，ABPEBC45.FBPFBAABPEBCABP45.FBPEBP.在FBP和EBP中，FBPEBP.FPEP.EPFPFAAPCEAP.EPtt2t.(4t)2t.解得：t44当t为4秒或(44)秒时，PBE为等腰三角形(3)EPCEAP，OPPEOEOPAPCEOEAOCO448.POE周长是
9、定值，该定值为8.【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及分类讨论的思想等知识，综合性强熟悉正方形与一个度数为45的角组成的基本图形(其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交)是解决本题的关键2(2014绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接OB，动点P满足APQ90，PQ交x轴于点C.(1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是(2，1)，求PA的长(2)当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PAPC的值(3)当动点P在直线OB上时，点D是直线
10、OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若ACEAEC，PD2OD，求PAPC的值解：(1)点P与点B重合，点B的坐标是(2，1)，点P的坐标是(2，1)PA的长为2.(2)过点P作PMx轴，垂足为M，过点P作PNy轴，垂足为N，如图1所示点A的纵坐标与点B的横坐标相等，OAAB.OAB90，AOBABO45.AOC90，POC45.PMx轴，PNy轴，PMPN，ANPCMP90.NPM90.APC90.APN90APMCPM.在ANP和CMP中，APNCPM，PNPM，ANPCMP，ANPCMP.PAPC.PA：PC的值为11.(3)若点P在线段OB的延长线上，过点P作PMx轴，垂
11、足为M，过点P作PNy轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示APNCPM，ANPCMP，ANPCMP.ACEAEC，ACAE.APPC，EPCP.PMy轴，AFCF，OMCM.FMOA.设OAx，PFOA，PDFODA.，PD2OD，PF2OA2x，FMx.PMx.APC90，AFCF，AC2PF4x.AOC90，OCx.PNONOMOMP90，四边形PMON是矩形PNOMx.PA：PCPNPMxx.若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PMx轴，垂足为M，过点P作PNy轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图3所示同理可得：PMx，CA2PF4x，OCx.PNOMOCx.P
12、APCPNPMxx.综上所述：PAPC的值为或.代数和几何型综合题【例3】(2013宁波)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(4，0)，点P在射线AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD.过P，D，B三点作Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于点F，连接EF，BF.(1)求直线AB的函数解析式；(2)当点P在线段AB(不包括A，B两点)上时求证：BDEADP；设DEx，DFy.请求出y关于x的函数解析式；(3)请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为21？如果存在，求出此时点
13、P的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)设直线AB的函数解析式为ykx4，代入(4，0)得：4k40，解得：k1，则直线AB的函数解析式为yx4；(2)由已知得：OBOC，BODCOD90，又ODOD，BDOCOD，BDOCDO，CDOADP，BDEADP，连接PE，ADP是DPE的一个外角，ADPDEPDPE，BDE是ABD的一个外角，BDEABDOAB，ADPBDE，DEPABD，DPEOAB，OAOB4，AOB90，OAB45，DPE45，DFEDPE45，DF是Q的直径，DEF90，DEF是等腰直角三角形，DFDE，即yx；(3)当BDBF21时，过点F作FHOB于点H，DBOOBF
14、90，OBFBFH90，DBOBFH，又DOBBHF90，BODFHB，2，FH2，OD2BH，FHOEOHOEF90，四边形OEFH是矩形，OEFH2，EFOH4OD，DEEF，2OD4OD，解得：OD，点D的坐标为(0，)，直线CD的解析式为yx，由得：则点P的坐标为(2，2)；当时，连接EB，同(2)可得：ADBEDP，而ADBDEBDBE，EDPDAPDPA，DEBDPA，DBEDAP45，DEF是等腰直角三角形，过点F作FGOB于点G，同理可得：BODFGB，FG8，ODBG，FGOGOEOEF90，四边形OEFG是矩形，OEFG8，EFOG42OD，DEEF，8OD42OD，OD，
15、点D的坐标为(0，)，直线CD的解析式为：yx，由得：点P的坐标为(8，4)，综上所述，点P的坐标为(2，2)或(8，4)【点评】此题考查了一次函数、矩形的性质、圆的性质的综合，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组，注意数形结合思想的应用3(2014广安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3与x轴交于点A(4，0)，B(1，0)两点(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限的抛物线上有一动点D.如图(1)，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由如图(2)，直线yx3与抛物线交于点Q，C两点，过
16、点D作直线DFx轴于点H，交QC于点F.请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把点A(4，0)，B(1，0)代入解析式yax2bx3，得，解得，抛物线的解析式为：yx2x3.(2)如答图1，过点D作DHx轴于点H.SODAE6，OA4，SAODOADH3，DH.因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，x2x3，解得：x12，x23.点D坐标为(2，)或(3，)当点D为(2，)时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；当点D为(3，)时，ODAD，平行四边形ODAE不为菱形假设存在
17、如答图2，过点D作DMCQ于M，过点C作CNDF于N，则DMCN2.设D(m，m2m3)(m0)，则F(m，m3)CNm，NFmCFm.DMFCNF90，DFMCFN，DMFCNF，DFCFm.DNNFDFmmm.又DN3(m2m3)m2m，m2mm，解得：m或m0(舍去)m2m3，D(，)综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为(，)试题如图，点O是坐标原点，点A(n，0)是x轴上一动点(n0)，以AO为一边作矩形AOBC，使OB2AO，点C在第二象限，将矩形AOBC绕点A逆时针旋转90得矩形AGDE，过点A的直线ykxm(k0)交y轴于点F，FBFA，抛物线yax2bxc过点E，F，G且
18、和直线AF交于点H，过点H作x轴的垂线，垂足为点M.(1)求k的值；(2)点A的位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC的面积比是否改变？说明你的理由错解(1)由OB2AO，得B(0，2n)当x0时，ym，即F(0，m)，FB2nm.在RtAOF中，AF2m2n2.又FBAF，m2n2(2nm)2，化简得mn.又由ykxmkxn过点A(n，0)，得0knn，k.(2)因为当A点的位置改变时，AMH的面积与矩形AOBC的面积都在改变，所以它们的面积比要改变剖析在第(1)问中运用方程思想找出m与n的关系，再代入A点坐标，算出k值的思路是对的，但由于混淆坐标与距离的概念，将B点坐标确定为(0，2n)，
19、没有考虑到A点在x轴负半轴上，n0，B点在y轴的正半轴上，故B点坐标应为(0，2n)，此错误导致后面求k值出错第(2)问中根据A点位置改变使AMH和矩形AOBC的面积改变，判断面积比改变也考虑不深入，此问可根据题中所给条件，先将AMH和矩形AOBC的面积用含变量n的代数式表示出来(显然图形的面积与点A的位置即n的大小有关)，再求出两个图形面积的比值，若比值为常数，则面积比不随点A的位置的改变而改变；若比值为与n有关的式子，则面积比要随A点位置的改变而改变平面内两点A(x，y)，B(x2，y2)的距离为AB，若A，B在平行于坐标轴的同一条直线上，则AB|x1x2|或AB|y1y2|.正解(1)BO2AO，A点坐标为(n，0)，B点坐标为(0，2n)(n0)当x0时，ykxmm，即点F坐标为(0，m)，FB2nm.在RtAOF中，AF2m2n2，又FBAF，m2n2(2nm)2，化简得mn.又直线ykxmkxn过点A(n，0)，knn0，k.(2)由已知，得AGAO，EABO，则G点坐标为(n，n)，E点坐标为(3n，0)，将E，G，F三点的坐标代入yax2bxc，得抛物线解析式为yx2xn.解方程组得或H点坐标为(5n，3n)，HM3n，AMn5n4n，SAMHHMAM6n2.又S矩形AOBCAOOB2n2，3，是常数AMH与矩形AOBC的面积比不随点A的位置改变而改变
