1、8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直学习目标理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.知识点一回顾两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)画法：2.两条直线的位置关系3.两个定理(1)基本事实4文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.符号语言：直线a，b，c，ab，cbac.作用：证明空间两条直线平行.(2)等角定理内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.作用：证明两个角相等或互补.4.平面内两直线的夹角(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两
2、直线平行时夹角为0，垂直时夹角为90.(2)范围：两条直线夹角的取值范围是090.知识点二异面直线所成的角1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线aa，bb，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a与b所成的锐角(或直角).2.范围：090.特别地，当90时，a与b互相垂直，记作ab.1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.()3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直.()4.不在某个平面内的两条直线为异面直线.()一、异面直线所成的角例1如图，在
3、正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.解(1)CGFB，EBF是异面直线BE与CG所成的角.在RtEFB中，EFFB，EBF45，BE与CG所成的角为45.(2)连接FH，FBAE，FBAE，AEHD，AEHD，FBHD，FBHD，四边形FBDH是平行四边形，BDFH，HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则AFH是等边三角形，又O是AH的中点，HFO30，FO与BD所成的角为30.反思感悟求两异面直线所成角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(
4、3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是090.跟踪训练1如图所示，在长方体ABCDEFGH中，ABAD2，AE2.(1)求直线BC和EG所成的角；(2)求直线AE和BG所成的角.解(1)连接AC(图略).EGAC，ACB即是BC和EG所成的角.在长方体ABCDEFGH中，ABAD2，tanACB1，ACB45，直线BC和EG所成的角是45.(2)AEBF，FBG即是AE和BG所成的角.易知tanFBG，FBG60，直线AE和BG所成的角是60.二、直线与直线垂直例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，
5、求证：AOA1B.证明如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，A1D1綉BC，四边形A1D1CB是平行四边形，A1BD1C，直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，连接AC，AD1，易证ACAD1，又O为CD1的中点，AOD1C，AOA1B.反思感悟要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.跟踪训练2如图，在正三棱柱ABCABC中，E为棱AC的中点，ABBB2.求证：BEAC.证明取CC的中点F，连EF，BF，E为AC的中点，F为CC的中点，EFAC，BE和EF所成角BEF即为异面直线BE与AC所成角，且EFAC.在正三棱柱ABCABC
6、中，AC2，EF.在等边ABC中，BE，在RtBCF中，BF.在BEF中BE2EF2BF2，BEEF，即BEAC.1.垂直于同一条直线的两条直线一定()A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能答案D2.在三棱锥SABC中，与SA是异面直线的是()A.SB B.SC C.BC D.AB答案C3.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直答案A解析如图，在正方体AC1中，A1BD1C，A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又EF平面A1BCD1，且两直线不平行，直线A1B与直线EF的位置关系是相交.4.如
7、图，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，GEF120，则BD与AC所成角的度数为_.答案60 解析依题意知，EGBD，EFAC，所以GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又GEF120，所以异面直线BD与AC所成的角为60.5.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_.答案60解析连接BC1，AD1，MNBC1AD1，D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.ACD1是等边三角形，D1AC60.1.知识清单：(1)平面内两直线的夹角.(2)异面直线所成的角.(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
8、2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：容易忽视异面直线所成角的范围是090.1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A.异面 B.平行C.相交 D.以上都有可能答案D解析当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面或平行.2.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是()A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30D.l与BD垂直答案A解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行.由于ADB1C1，l必与直
9、线AD不平行.3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条答案A解析如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B. C. D.答案C解析如图，连接BE，ABCD，异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE，AC2，AE3.AB2BE2AE2，ABBE，tanEA
10、B.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线B1D1与CD所成角的大小是_.答案456.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为_.答案解析设棱长为1，A1B1C1D1，AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角.在AED1中，cosAED1.7.在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，AA1AC.若ABACAA11，BC，则异面直线A1C与B1C1所成的角为_.答案60解析因为几何体是棱柱，BCB1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角.在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1A
11、B，AA1AC，连接BA1，ABACAA11，BA1，CA1.BCA1是等边三角形，异面直线A1C与B1C1所成的角为60.8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论正确的为_.(填序号)答案解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确.9.P是平面ABC外一点，PA4，BC2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE3.求异面直线PA与BC所成的角的大小.解如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在PAC中，D是PC的中点，F是AC的中点，
12、DFPA.同理可得EFBC.DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).在DEF中，DE3，又DFPA2，EFBC，DE2DF2EF2，DFE90，即异面直线PA与BC所成的角为90.10.如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD的中点.证明：CD1EF.证明如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.E是BD1的中点，EGBC，EGBC，F是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1
13、C1都是正方形，又G为CD1的中点，DGCD1，D1GD90，异面直线CD1与EF所成的角为90，CD1EF.11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1答案D解析根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行.直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确.12.如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN_.答案5
14、解析取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，MPN即为异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN5.13.如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是_.答案解析ADBC，D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，连接D1C，在D1BC中，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，D1B2，BC2，D1C2，D1B2BC2D1C2，D1CB90，sinD1BC，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.14.在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成的角为30，E，F
15、分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为_.答案15或75解析如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB且EGAB，GFCD且GFCD，由ABCD知EGFG，从而可知GEF为EF与AB所成角，EGF或其补角为AB与CD所成角.AB与CD所成角为30，EGF30或150，由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75，当EGF150时，GEF15，故EF与AB所成角的大小为15或75.15.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为_.答案解析取AC的中点F，连接EF，
16、BF.在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1.在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.16.在空间四边形ABCD中，已知AD1，BC，且ADBC，BD，AC，求AC与BD所成的角的大小.解如图，在空间四边形ABCD中，分别取AB，AD，CD，AC的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GE，EH，HG.由中位线的性质，得EF綉BD，FG綉AC，则EFG为BD与AC所成的角(或其补角)，又EHBC，HGAD，且ADBC，所以EHHG，所以EG2EH2HG222()2121.在EFG中，EF2BD2，FG2AC2，EG2EF2FG21，所以EFG90，即AC与BD所成的角为90.
