1、【新人教版】数学必修二第六单元第2课时正弦定理学习目标1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即.知识点二正弦定理的变形公式1.a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2.sin A，sin B，sin C(其中R是ABC外接圆的半径).思考在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？答案等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.1.正弦定理对任意
2、的三角形都成立.()2.在ABC中，等式bsin Ccsin B总能成立.()3.在ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.()4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.()一、已知两角及任意一边解三角形例1在ABC中，已知A30，B60，a10，解三角形.解根据正弦定理，得b10.又C180(3060)90，c20.反思感悟(1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)因为三角形的内角和为180，所以已知两角一定可以求出第三个角.跟踪训练1在ABC中，已知B30，C105，b4，解三角形.解因为B30，C105，所以A180
3、(BC)180(30105)45.由正弦定理，得，解得a4，c2().二、已知两边及其中一边的对角解三角形例2在ABC中，已知c，A45，a2，解三角形.解，sin C，0C2a，CA.A为小于45的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个.反思感悟这一类型题目的解题步骤为用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；用三角形内角和定理求出第三个角；根据正弦定理求出第三条边.其中进行时要注意讨论该角是否可能有两个值.跟踪训练2在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C等于()A. B. C. D.答案B解析由正弦定理，得，即，解得sin C，ABAC，CB，cos C.三、三角形形状的判断例3在ABC
4、中，已知，且sin2Asin2Bsin2C.求证：ABC为等腰直角三角形.证明，又，a2b2即ab，设k(k0)，则sin A，sin B，sin C，又sin2Asin2Bsin2C，即a2b2c2，ABC为等腰直角三角形.反思感悟判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆的半径)；，；(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：sin A，sin
5、 B，sin C(R为ABC外接圆的半径)；，.跟踪训练3在ABC中，已知2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形答案B解析方法一(利用边的关系进行判断)由正弦定理和余弦定理，2sin Acos Bsin C可化为2ac，即a2c2b2c2，即a2b2，故ab.所以ABC是等腰三角形.方法二(利用角的关系进行判断)因为在ABC中，ABC，即C(AB)，所以sin Csin(AB).由2sin Acos Bsin Csin(AB)，得2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bc
6、os Asin B0，所以sin(AB)0.因为ABb，得AB，B，B.故C，由勾股定理得c2.4.在ABC中，a15，b10，A60，则cos B等于()A. B. C. D.答案D解析由正弦定理，得，sin B.ab，AB，又A60，B为锐角.cos B.5.在ABC中，若sin Asin B，则A与B的大小关系为()A.ABB.Asin B，2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)，即ab，故AB.6.在ABC中，若a，b，B，则A .答案或解析由正弦定理，得sin A，又A(0，)，ab，AB，A或.7.在ABC中，已知a，sin C2sin A，则c .答案2解析由正弦
7、定理，得c2a2.8.在ABC中，已知a2，A60，则ABC的外接圆的直径为 .答案解析ABC外接圆直径2R.9.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c10，A45，C30，求a，b和B.解，a10.B180(AC)180(4530)105.又，b20sin 75205().10.在ABC中，已知acosbcos，试判断ABC的形状.解方法一acosbcos，asin Absin B.由正弦定理，可得ab，a2b2，ab，ABC为等腰三角形.方法二acosbcos，asin Absin B.由正弦定理，可得2Rsin2A2Rsin2B，又A，B(0，)，sin Asin B，A
8、B(AB不合题意，舍去).故ABC为等腰三角形.11.在ABC中，若，则C的值为()A.30 B.45 C.60 D.90答案B解析由正弦定理知，cos Csin C，tan C1，又0Ccos 45，所以B45，C2Bbcsin B，即b2.14.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求B；(2)若b3，sin Csin A，求a，c.解(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bsin Asin Acos B.在ABC中，sin A0，sin Bcos B，tan B.0BB.则下列三个不等式中成立的是 .sin Asin B；cos
9、 Acos Acos B.答案解析ABabsin Asin B，故成立.函数ycos x在区间0，上是减函数，AB，cos A，0BAsin，即sin Acos B，同理sin Bcos A，故成立.16.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a10，b20，A80；(2)a2，b6，A30.解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010，absin A，本题无解.(2)a2，b6，ab，A30bsin A，bsin Aab，本题有两解.由正弦定理得sin B，又0B180，B60或B120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，c2.
