1、考点27 与基本不等式有关的应用题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、（2017江苏高考）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .答案 30解析 总费用240，当且仅当，即时等号成立.2、(2016常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室
2、的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)(1) 求S关于x的函数关系式；(2) 求S的最大值规范解答 (1) 由题设得S(x8)2x916，x(8,450)(6分)(2) 因为8x450，所以2x2 240，(8分)当且仅当x60时等号成立(10分)从而S676.(12分)答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.(14分)3、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P(其中0xa，a为正常数)已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/
3、件(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？规范解答 (1) 由题意知，yPx6.(3分)将P代入化简得y19x(0xa)(5分)(2) y2222310，当且仅当x2，即x2时，上式取等号(8分)所以当a2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分)由y19x，得y，当x0，此时函数y在0,2上单调递增，所以当a2时，函数y在0，a上单调递增，(11分)所以当xa时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大(12分)综上，当a2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a2时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大
4、(14分)【问题探究，变式训练】题型一 利用基本不等式解决与平面图形有关的问题知识点拨： 在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值例1、(2017南通一调）如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1) 当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE面积最
5、大，请给出裁剪方案，并说明理由规范解答 (1) 当EFP时，由条件得EFPEFDFEP.所以FPE.所以FNBC，四边形MNPE为矩形(3分)所以四边形MNPE的面积SPNMN2(m2). (5分)(2) 解法1 设EFD，由条件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.(8分)由得(*)所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN 2 6 6 6 (12分) 6262.当且仅当tan，即tan，时取“”(14分)此时，(*)成立答：当EFD时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62) m2.(16分)【变式1】（2016南京学情调研）如图，某小区拟在空地上建一个
6、占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积 规范解答 设休闲广场的长为xm，则宽为 m，绿化区域的总面积为Sm2，则S(x6)(6分) 2424 2 4244，x(6,600)(8分)因为x(6,600)，所以x2120，当且仅当x，即x60时取等号(12分)此时S取得最大，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60m，宽为40m时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1 944m2.(14分)【变式2】(201
7、6镇江期末）如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域(1) 设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值 规范解答 (1) 如图1，作OHAB，设垂足为H，记OHd，2AOH，因为cosAOH，(1分)要使有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，dOP5 km，(3分)当且仅当ABOP时，dmax5 km.此时min2AOH2.(4分)设AB把园区分成两个区域
8、，其中较小区域面积记为S，由题意得Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6分)f()50(1cos)0恒成立，所以f()为增函数，(7分)所以Sminf50 km2.(8分)答：视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.(9分)图1(2) 如图2，过O分别作OHAB，OH1CD，垂足分别是H，H1，记OHd1，OH1d2，由(1)可知d10,5，所以ddOP225，且d25d，(10分)因为AB2，CD2，所以ABCD2() 2()，(11分)记L(d1)ABCD2()，可得L2(d1)4175，(12分)由d0,25，可知d0或d25时，L2(d1)的最小值是100(74)，从而A
9、BCD的最小值是(2010) km.(13分)答：两条公路长度和的最小值是(2010) km.(14分)图2解后反思 (1) 主要利用OP为定值这一条件，从而根据垂径定理得出取得最值的特殊位置来解题；(2) 利用OP为定值和勾股定理构造基本不等式解题【变式3】(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1) 当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2) 试确定
10、a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值 思路分析 (1) 纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.(2) 先猜想并证明ab时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值规范解答 (1) 当a90时，b40，纸盒的底面矩形的长为902x，宽为402x，周长为2608x.所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，(3分)故S(x)maxS.答：当a90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米(6分)(2) 纸盒的体积V(a2x)(b2x)x，其中x，ab0，且ab3 600.(8分)因为(a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4x4
11、x24(x260x900)，当且仅当ab60时取等号，所以V4(x360x2900x)，x(0,30)(10分)记f(x)4(x360x2900x)，x(0,30)，则f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f(x)0f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16 000，也是最大值(12分)答：当ab60，且x10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 立方厘米(14分)【变式4】(2016盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与
12、正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得EAF45. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF部分规划为蜂巢区，CEF部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为2105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？ 规范解答 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T2105S105(1S)105(S1)，从而只要求S的最小值即可(2分)设EAB(045)，在ABE中，因为AB1，B90，所以BEtan，则SABEABBEtan，(4分)又DAF45，同理得SADFtan(45)，(6分)所以Stantan(45)tan，
13、(8分)令xtan(0,1)，S (10分) (22)1，当且仅当x1，即x1时取等号(12分)从而三个区域的总投入T的最小值约为105元(14分)题型二 利用基本不等式解决利润的最值问题知识点拨：与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。例2、(2019南京学情调研）销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Qbt，其中a，b为常数现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，
14、所得利润为1万元若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值 规范解答 (1)由题意P，Qbt，故当t3时，P，Q3b1. (3分)解得a3，b. (5分)所以P，Qt.从而f(x)，x. (7分)(2)由(1)可得f(x). (9分)因为x，所以x1，故2，当且仅当，即x2时取等号从而f(x)2. (11分)所以f(x)的最大值为 .答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是万元(14分)【变式1
15、】(2018南京学情调研）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时设f(x)t1t2.(1) 求f(x)的解析式，并写出其定义域；(2) 当x等于多少时，f(x)取得最小值？ 本题分为两个阶段：建模和解模，建模阶段就是用自变量x表示时间t1，t2.解模阶段就是根据解析式f(x)1 000求出最小值，思路1，分母的和为常数，运用“1x(100x
16、)”的代入法；思路2，用导数求最值规范解答 (1) 因为t1，(2分)t2，(4分)所以f(x)t1t2，(5分)定义域为x|1x99，xN*(6分)(2) 解法1(基本不等式) f(x)1 000()10x(100x)1010(10分)因为1x99，xN*，所以0，0，所以26，(12分)当且仅当，即当x75时取等号(13分)答：当x75时，f(x)取得最小值(14分)解法2(导数) f(x)，令f(x)0得，x75，xN*(10分)当x(0，75)时，f(x)0，(13分)故当x75时，f(x)取得最小值(14分) 本题要注意定义域的书写，人只能是正整数个，即xN*.一般地，求解函数解析式
17、时，必须给出定义域，否则高考阅卷时会扣分，即便在后面列表中有范围，也没有用【变式2】(2018扬州期末）如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上经测量得，扇形OPQ的圆心角(即POQ)为、半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧相切于点S.设POS(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计(1) 试将公路MN的长度表示为的函数，并写出的取值范围；(2) 试确定的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值规范解答 (1) 因为MN与扇形弧相切
18、于点S，所以OSMN.在RtOSM中，因为OS1，MOS，所以SMtan.在RtOSN中，NOS，所以SNtan，所以MNtantan，(4分)其中.(6分)(2) 解法1(基本不等式) 因为0.令ttan10，则tan(t1)，所以MN.(8分)由基本不等式得MN2，(10分)当且仅当t，即t2时取“”(12分)此时tan，由于，故.(13分)解法2(三角函数) MN.(10分)因为，所以2，故sin1，(12分)所以当sin1，即时，MNmin2.(13分)答：(1) MN，其中；(2) 当时，MN的长度最小，为2千米(14分)(注：第(2)问中最小值对，但第(1)问定义域不对的扣2分)【
19、变式3】(2016南京学情调研）某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍(1) 写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2) 设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P能否大于？并说明理由 规范解答 (1)依题意得ymknmk(ax5)，xN*.(4分)(2) 解法1 依题意x0.2a.(6分)所以P(8分).(13分)答：P不可能大于.(
20、14分)解法2 依题意得x0.2a.(6分)所以P.(8分)假设P，得ka220a25k0.(10分)因为k3，所以100(4k2)0，所以不等式ka220a25k0无解，与假设矛盾，故P.(13分)答：P不可能大于.(14分)【变式4】（2016镇江期末）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润月销售总收入月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x9)元，并投入(x9)万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只，则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润 规范解答 (1) 设每只售价为x元，则月销售量为万只由已知得(x6)(86)5，(3分)所以x2x0，即2x253x2960.(4分)解得8x.(5分)即每只售价最多为18.5元(6分)(2) 下月的月总利润y(x6)(x9)(9分) x x .(10分)因为x9，所以2，(12分)当且仅当，即x10，等号成立，所以ymin14.(13分)答：当x10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元(14分)12
