1、2021-2022 高考数学模拟试卷含解析注意事项: 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2. 答题时请按要求用笔。3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1点 A, B, C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段 AB 交于圆
2、内一点M，若OC = mOA + nOB ,( m 0, n 0), m + n = 2 ，则AOB 的最小值为（）A. p6B. p3C pD 2p232. 已知函数 f (x) = memx- ln x ，当 x 0 时， f (x) 0 恒成立，则m 的取值范围为（）A 1 , + B 1 ,e C1, +)D (-,e)ee3. 某中学 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.2 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019 年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A. 与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所
3、增加B. 与 2016 年相比，2019 年一本达线人数减少C. 与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 0.3 倍D2016 年与 2019 年艺体达线人数相同2x - x3 , x 014已知函数 f (x) = ，则 f ( f ( ) = （）ln x, x 0e3AB1C-1D025. 函数 f (x)= sin(x +q )在0, p 上为增函数，则q 的值可以是()pA0B2C pD 3p26. 关于函数 f (x) = -sin x - p 在区间 , 的单调性，下列叙述正确的是（）6 2A单调递增B单调递减C先递减后递增D先递增后递减7. 已知函数 f (x)=
4、 ax +1+ 2x2 + ax -1 （ a R ）的最小值为 0，则a = （）A 1B -1C 1D 1228. 如图，设 P 为 DABC 内一点，且 AP = 1 AB + 1 AC ，则 DABP 与DABC 的面积之比为3411AB4321CD369. 设函数 f (x)= sin (wx +j)（ w 0 ，0 0,b 0) 的右焦点为 F，过右顶点 A 且与 x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于 Ma2b2点，MF 的中点恰好在双曲线 C 上，则 C 的离心率为（）A 5 -1B2C 3D 5p5p 11. 计算log2 sin 4 cos 等于()3 A - 3B 322
5、C - 2D 23312. 已知函数 f (x)在 R 上都存在导函数 f (x)，对于任意的实数都有 f (-x) = e2 x ，当 x 0 ，f (x)若ea f (2a +1) f (a +1) ，则实数a 的取值范围是()A 0, 2 B - 2 ,0 C0, +)D (-,03 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 在ABC 中，BAC 60 ，AD 为BAC 的角平分线，且 AD = 1 AC + 3 AB ，若 AB2，则 BC .4414. 记 S为数列a 的前n 项和，若 annn= Sn -1，则 S27= .15. 已知向量a = (1,
6、x + 1)， b = (x, 2) ，若满足a b ，且方向相同，则 x = 16. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400 人、高二 2000 人、高三n 人中，抽取90 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36 ，那么高三被抽取的人数为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知凸n 边形 A A AA 的面积为 1，边长 A A= a (i = 1,2, n - 1) ， A A = a，其内部一点 P 到边1 2 3ni i +1i2a2a2an 1nA A= a (i = 1,2, n - 1) 的距离分别为d ,
7、d , d , d .求证：1 +2 +n (nn a aa )2 .i i +1i123nddd12n1 2n18（12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧面 BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且 AB = AC =6, AB BC 1 1 11 111（1） 求证： AO 平面 BB C C ；1 1（2） 设B BC = 60 ，若直线 A B 与平面 BB C C 所成的角为45，求二面角 A - B C - B 的正弦值11 11 11211 12a19（12 分）已知矩阵 M = 的一个特征值为 3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.20（12 分）一年
8、之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种植户对一块地的n(n N *)个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 1 ，且每粒种子是否发芽相互独立对每一个坑而言，2如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种（1） 当n 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2） 当n = 4 时，用 X 表示要补播种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望 21（12 分）设 k R ，函数 g(x) = k(x - e) ，其中e 为自然对数的底数.（1） 设函数 f (x) =x.1 - ln x若k = -1 ，试判断函数 f (x
9、) 与 g(x) 的图像在区间(1, e ) 上是否有交点；求证：对任意的k R ，直线 y = g (x) 都不是 y = f ( x) 的切线；（2） 设函数h(x) = 2x - x ln x + xg(x) - ekx ，试判断函数h(x) 是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22（10 分）已知椭圆C : x2 + y2 = 1(a b 0) 的左顶点为 A ，左、右焦点分别为F , F1，离心率为， P 是椭圆上a2b2122的一个动点（不与左、右顶点重合），且PF F 的周长为 6，点 P 关于原点的对称点为Q ，直线 AP,QF交于点 M .1 2
10、2（1） 求椭圆方程；（2） 若直线 PF2与椭圆交于另一点 N ，且 SAF M2= 4SAF N2，求点 P 的坐标.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】由题意得1 = m2 + n2 + 2mn cos AOB ，再利用基本不等式即可求解【详解】将OC = mOA + nOB 平方得1 = m2 + n2 + 2mn cos AOB ，1- m2 - n21- (m + n)2 + 2mn331cos AOB = -+1 -+1 = -22mn2mn2mn（当且仅当m = n =1时等号成立
11、），0 AOB 0 ,显然 memx - ln x 0 在(0,1上恒成立,只需讨论 x 1 时的情况即可, f ( x) 0 memx ln x mxemx eln x ln x ,然后构造函数 g (x) = xex (x 0) ,结合 g(x) 的单调性,不等式等价于mx ln x ,进而求得m 的取值范围即可.【详解】由题意,若 m 0 ,显然 f (x) 不是恒大于零,故 m 0 .m 0 ,则 memx - ln x 0 在(0,1上恒成立;当 x 1 时, f (x) 0 等价于memx ln x ,因为 x 1 ,所以 mxemx eln x ln x .设 g (x) = x
12、ex (x 0) ,由 g ( x ) = e x(1 + x ) ,显然 g(x) 在(0, +) 上单调递增,因为 mx 0,ln x 0 ,所以 mxemx eln x ln x 等价于 g(mx) g(ln x) ,即 mx ln x ,则 m ln x .x设 h(x) =ln x1- ln x(x0) ,则 h (x) =(x 0) .xx2令 h(x) = 0 ,解得 x =e,易得 h(x) 在(0,e) 上单调递增,在(e, + ) 上单调递减,从而 h(x)max= h(e) = 1 ，故m 1 .ee故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的
13、关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 3A【解析】设 2016 年高考总人数为 x，则 2019 年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项 A、B、C、D.【详解】设 2016 年高考总人数为 x，则 2019 年高考人数为1.2x ，2016 年高考不上线人数为0.3x ， 2019 年不上线人数为1.2 x 0.28 = 0.336 x 0.3x ，故 A 正确；2016 年高考一本人数0.3x ，2019 年高考一本人数1.2 x 0.26 = 0.312 x 0.3x ，故 B 错误；2019 年二本达线人数1.2 x 0.4 = 0.48x ，2016 年二本达线人数0
14、.34 x ，增加了0.48x - 0.34 x 0.41 倍，故 C 错误；0.34 x2016 年艺体达线人数0.06x ，2019 年艺体达线人数1.2 x 0.06 = 0.072 x ，故 D 错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目. 4A【解析】2x - x3 , x 0111由函数 f (x) = ，求得 f ( ) = ln= -1 ，进而求得 f ( f ( ) 的值，得到答案.ln x, x 0eee【详解】2x - x3 , x 0由题意函数 f (x) = ，ln x, x 01则 f ( ) = lne【点睛】=
15、 -1 ，所以 f ( f ( ) = f (-1) = 2-1 - (-1)3 =，故选 A.113ee2本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5D【解析】依次将选项中的q 代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当q = 0 时， f (x)= sin x 在0,p 上不单调，故 A 不正确；当q = p 时， f (x)= cos x 在0,p 上单调递减，故 B 不正确；2当q = p 时， f (x)= -sin x 在0,p 上不单调，故 C 不正确；当q = 3p 时， f (x)
16、= -cos x 在0,p 上单调递增，故 D 正确.2故选：D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题. 6C【解析】p p 先用诱导公式得 f (x) = -sin x - 6 = cos x + 3 ,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数 f (x) = -sin x - p = cos x + p 的图象可由 y = cos x 向左平移 p 个单位得到,如图所示, f (x) 在 , 上先6 3 3 2递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题. 7C【解析】g (x)+ h (x)= ax +1设 g (
17、x)- h (x)= 2x2 + ax -1 ，计算可得2g (x), g (x) h (x )f (x)=2h (x), g (x) h (x) ，再结合图像即可求出答案.【详解】g (x)+ h (x)= ax +1g (x)= x2 + ax设 g (x)- h (x)= 2x2 + ax -1 ，则 h (x)= 1- x2，2h (x), g (x) 0 ， 0 0,b 0) 的右顶点为 A(a,0) ，右焦点为 F (c,0) ，a2b2M 所在直线为 x = a ，不妨设 M (a, b) ，a + c b a + c 2 b 2MF 的中点坐标为(, ) .代入方程可得 2 2
18、 ，22- = 1(a + c)25a2b2=， e2 + 2e - 4 = 0 ， e =5 -1 （负值舍去）.4a24故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造 a, c 的齐次方程.11A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】2原式 = log 2 p - p = log cos p = log 1 = log2- 3 = - 3 .2cos 22故选：A2 23 2 2 3 2 22 22【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题. 12B【解
19、析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令 g (x) = ex f (x) ，则当 x 0 ，又 g (-x) = e- x f (-x) = ex f (x) = g (x) ，所以 g(x) 为偶函数，从而ea f (2a +1) f (a +1)等价于e2a+1 f (2a +1) ea+1 f (a +1), g (2a +1) g(a +1)，2因此 g(- | 2a +1|) g(- | a +1|), - | 2a +1| - | a +1|,3 a2 + 2a 0-【点睛】 a 0. 选 B.3本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分
20、析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。713 2【解析】由 AD = 1 AC + 3 AB ，求出 BD,CD 长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出 AC 边，再由余弦定理，即可求解.44【详解】AD = 1 AC + 3 AB , 1 ( AD - AC ) = 3 ( AB - AD ) ,4444CD = 3DB,CD = 3DB，SCD1 AC AD sin CADACAC S ADCADB= 2BD1 AB AD sin BAD2= AB = 2 ，AC= 6,BC2 = AB2 + AC2 -2AB ACcosBAC= 40-26
21、= 28，7BC = 2.7故答案为: 2.【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 14-254【解析】利用 a = S - S(n 2) 代入即可得到 S - 2 = 2(S- 2)(n 2) ，即S - 2是等比数列，再利用等比数列的通项nnn-1nn-1n公式计算即可.【详解】由已知 anS=n -1，得a2 nS=n -1，即 S2n- Sn-1= Sn -1，所以 S2n- 2 = 2(Sn-1- 2)(n 2)S又a = 112-1，即 S1= -2 ， S1- 2 = -4 ，所以Sn- 2是以-4 为首项，2 为公比的等比数列
22、，所以 S - 2 = -4 2n-1 ，即 S = 2 - 2n+1 ，所以 S = 2 - 28 = -254 。nn7故答案为： -254【点睛】本题考查已知 S 与 a 的关系求 S ，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.nnn151【解析】由向量平行坐标表示计算注意验证两向量方向是否相同【详解】 a b ， x(x +1)- 2 = 0 ，解得 x = 1 或 x = -2 ，x = 1 时， a = (1,2), b = (1,2) 满足题意，x = -2 时， a = (1,-1),b = (-2, 2) ，方向相反，不合题意，舍去 x = 1 故答案为：1【点睛】本题考查
23、向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错 16 24【解析】由分层抽样的知识可得2400 90 = 36 ，即n = 1600 ，所以高三被抽取的人数为2400 + 2000 + n1600 90 = 24 ，应填答案 24 2400 + 2000 +1600三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17证明见解析【解析】由已知，易得a d+ a d+ + a d= 2 ，所以2a2a 1 122a2n n aa a () aaa 1 +2 + +n = 2 1 + 2 + + n =a d + a d + a d 1 + 2 + n 利用柯西不
24、等式和基本不等式即ddddd12n12d1 12 2nn nddd12n可证明.【详解】因为凸n 边形的面积为 1，所以a d + a d + + a d= 2 ，1 12 2n n2a2a2a aaa 所以 d 1 + d 2 + + d n = 2 d1 + d2 + + dn 12n12n = (a d+ a d + a d ) a + an n d12 +da +12d n n1 12 2( a da1 + a da2 + a dan )2 （由柯西不等式得）1 1 d12 2 d2n ndn= (a + a + + a )21 2n(nn a aa )2 （由均值不等式得）1 2n【
25、点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.18（1）见解析；（2） 2 5 .5【解析】（1）根据菱形的特征和题中条件得到 B C 平面 ABC ，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；11( 2 ) 建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可【详解】（1）证明：四边形 BB C C 是菱形，1 1B C BC ，11AB BC, AB BC = B,11 B C 平面 ABC11AO 平面 ABC ，1 B C AO1又AB = AC , O 是 BC 的中点，11 AO BC ，1B CBC = O11又 AO 平面 BB C C
26、1 1AB / / A B1 1（2）直线 A B 与平面 BB C C 所成的角等于直线 AB 与平面 BB C C 所成的角1 11 11 1AO 平面 BB C C ，1 1直线 AB 与平面 BB C C 所成的角为ABO ，即ABO = 45 1 1因为 AB = AC =6 ，则在等腰直角三角形 ABC 中 BC= 2 3 ，111所以 BO =3, CO = BO = BO tan30 = 1 1在 Rt ABO 中，由ABO = 45 得 AO = BO =3 ，以O 为原点，分别以OB, OB , OA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O - xyz 1则 A(0,0
27、, 3), B( 3,0,0), B (0,1,0), C (- 3,0,0)11所以 A B = AB = ( 3,0, - 3), BC = (- 3, -1,0)1 11 1设平面 A B C 的一个法向量为n= (x, y, z) ，1 1 11n A B =3x - 3z = 0则 1 1，可得n= (1, - 3,1) ，n B C= - 3x - y = 011 1取平面 BB C C 的一个法向量为n = (0,0,1) ，1 12n n15则cosn , n =12=，12| n1| n |552所以二面角 A - B C - B 的正弦值的大小为 2 5 11 15（注：问
28、题（2）可以转化为求二面角A - BC - B 的正弦值，求出AO = BO =3 后，在Rt OBC 中，过点O 作 BC1的垂线，垂足为 H ，连接 AH ，则AHO 就是所求二面角平面角的补角，先求出OH =最后在 Rt AOH 中求出sin AHO = 25 ）5315=，再求出 AH，22【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题19另一个特征值为1 ，对应的一个特征向量1 a =-1【解析】2根据特征多项式的一个零点为 3，可得 a = 1 ，再回代到方程 f ()= 0 即可解出另一个特征值为l = -1，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征
29、向量.【详解】矩阵 M 的特征多项式为：f (l)= l -1-2-2l - a= (l -1)(l - a)- 4 ，l = 3 是方程 f ()= 0 的一个根，1(3 -1)(3 - a)- 4 = 0 ，解得 a = 1 ，即122 1M = 方程 f ()= 0 即(l -1)(l -1)- 4 = 0 ， l2 - 2l - 3 = 0 ，可得另一个特征值为： l2= -1，设l = -1对应的一个特征向量为：a = x y2则由l a = Ma2-2x - 2 y = 0，得-2x - 2 y = 0 得 x = - y ，令 x = 1 ，则 y = -1，所以矩阵 M 另一个
30、特征值为-1，a = 1 -1对应的一个特征向量【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.520（1）当n = 5 或 n = 6 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为16 ； （2）见解析.【解析】（1）将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值时有 3 个坑要补播种的概率最大（2）n1 时，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，1分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可【详解】 1 3 1 31（1）对一个坑而言，要补播种的概率 P = C 0 + C1 =， 1 n有 3 个
31、坑要补播种的概率为C3 .n 2 3 2 3 2 2 1 n 1 n-1C3 C3 1 nn 2 n-1 2 欲使C3 最大，只需，n 2 1 n 1 n+1C3 C3 n 2 n+1 2 解得5 n 6 ，因为n N * ，所以 n = 5,6, 1 55当 n = 5 时， C3 =；5 2 16n = 6 1 6当时， C3 = 5 ；6 2 16所以当 n = 5 或n = 6 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 5 .16（2）由已知， X 的可能取值为 0，1，2，3，1. X B 4, 1 ，2X01231P所以 X 的分布列为113111648416X 的数学期望
32、EX = 4 1 = 2 .2【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题21（1）函数 f (x) 与 g(x) 的图象在区间(1, e ) 上有交点；证明见解析；（2） k 0 且 k 1 ；2e【解析】（1） 令 F (x) = f (x) - g(x) ，结合函数零点的判定定理判断即可；设切点横坐标为 x ，求出切线方程，得到0x = 2e - elnx00，根据函数的单调性判断即可；（2） 求出h(x) 的解析式，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，确定k 的范围即可【详解】解：（1）当 k = -1 时，函数 g(x) = -x + e ，令 F (x) = f (x) - g(x) =x+ x - e ， x (1, e ) ，1 - lnx则 F (1)= 2 - e 0
