1、 - 1 - 北京市房山区北京市房山区 20202020 届高三数学第一次模拟检测试题届高三数学第一次模拟检测试题 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题一、选择题共共 1010 小题，每小题，每小小题题 4 4 分，共分，共 4040 分分。在每小题在每小题列列出的四个选项中，出的四个选项中，选出选出符合题目符合题目 要求的要求的一项。一项。 （1）复数i(3i) （A）1 3i （B）1 3i （C）1 3i （D）1 3i （2）函数 (
2、)tan() 6 f xx的最小正周期为 （A） 3 （B） 2 （C） （D）2 （3）已知向量 1 (1,) 2 a，( 2,)m b，若a与b共线，则|b （A）3 （B）5 （C）6 （D）2 2 （4）在二项式 5 (1 2 ) x的展开式中， 3 x的系数为 （A）40 （B）40 （C）80 （D）80 （5）下列函数中，既是偶函数又在(0,)上单调递减的是 （A） 2 yx （B） |ln|yx （C）2 x y （D）sinyxx （6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为 （A） 4 3 （B） 8 3 （C）4 （D）8 左视图 11 4 俯视图 主视图 2 -
3、 2 - （7）已知函数 , 1, ( ) 1, 1. x ax f x bxx 若( 2)0f ，且( )f x在R上单调递增，则a的取值 范围是 （A）(0,2 （B）(1,2 （C）(1,) （D）2,) （8） 设 n a是公差为d的等差数列， n S为其前n项和， 则 “0d ” 是 “n * N， 1nn SS ” 的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）已知直线l：(2)2ym x与圆C： 22 9xy交于A，B两点，则使弦长|AB为 整数的直线l共有 （A）6条 （B）7条 （C）8条 （D）9条 （10）党的十
4、八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少下面的统计 图反映了 20122019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率贫 困人数（人）统计人数（人）100%） 根据统计图提供的信息，下列推断不正确的 是 9899 8249 7017 5575 4335 3046 1660 551 10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.7 0.6 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 0 2000 4000 6000 8000 10000 20122013201420152016201720182019 全国农村贫困人口（万
5、人）全国农村贫困发生率(%) （A）20122019年，全国农村贫困人口逐年递减 （B）2013 2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年 （C）20122019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万 （D）2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6% 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二二、填空题填空题共共 5 5 小题，每小题，每小小题题 5 5 分分，共，共 2525 分。分。 - 3 - （11）已知集合1,2, Am，1,3,4B ，1,3AB ，则m_ （12）设抛物线 2 2xpy经过点(2,1)，则抛物线的焦点坐标为_ （13）已知 n
6、a是各项均为正数的等比数列， 1 1a ， 3 100a ，则 n a的通项公式 n a ；设数列lg n a的前n项和为 n T，则 n T （14）将函数 ( )sin(2) 3 f xx的图象向右平移s(0)s 个单位长度，所得图象经过点 (,1) 2 ，则s的最小值是 （15）如果方程 2 | 1 4 x y y所对应的曲线与函数( )yf x的图象完全重合，那么对于函数 ( )yf x有如下结论： 函数( )f x在R上单调递减； ( )yf x的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； 函数( )f x的值域为(,2； 函数( )( )F xf xx有且只有一个零点 其中正确结论的序
7、号是 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。 全部选对得 5 分，不选或有错选得0分， 其他得 3 分。 三三、解答题解答题共共 6 6 题，共题，共 8585 分分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 在ABC中，2a ，10c ， （补充条件） （）求ABC的面积； （）求sin()AB 从4b， 5 cos 5 B ， 10 sin 10 A这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （17） （本小题 14 分） 随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯
8、用手机应用程序（简称 app）获取新闻 资讯 为了解用户对某款新闻类 app 的满意度， 随机调查了300名用户， 调研结果如下表：（单 位：人） - 4 - 青年人 中年人 老年人 满意 60 70 x 一般 55 25 y 不满意 25 5 10 （）从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率； （）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率； （）现需从参与调研的老年人中选择6人作进一步访谈，若在“满意” 、 “一般” 、 “不满意” 的老年人中各取2人，这种抽样是否合理？说明理由 （18） （本小题 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，P
9、B 平面ABCD，ABBC， / ADBC， 22ADBC，ABBCPB，点E为棱PD的 中点 （）求证： / CE平面PAB； （）求证：AD 平面PAB； （）求二面角EACD的余弦值 （19） （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab过(2,0)A，(0,1)B两点 （）求椭圆C的方程和离心率的大小； （）设M，N是y轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM与椭圆C的另 一个交点为P，直线AN与椭圆C的另一个交点为Q，判断直线PQ与x轴的位置关 系，并证明你的结论 （20） （本小题 15 分） 已知函数 32 ( )22f xxax （）求曲
10、线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （）讨论函数( )f x的单调性； （）若0a，设函数( ) |( )|g xf x，( )g x在 1,1上的最大值不小于3，求a的取值范 围 （21） （本小题 14 分） 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作 称为该数列的一次“Z拓展” 如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次 “Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得 B C E DA P - 5 - 数列的项数记为 n P，所有项的和记为 n S （）求 1 P， 2 P； （）若2020
11、n P，求n的最小值； （）是否存在实数a，b，c，使得数列 n S为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条 件；若不存 在，说明理由 房山区房山区 20202020 年年第一次模拟第一次模拟检测检测答案答案 高三数学高三数学 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2525 分，有两空的第一空分，有两空的第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2 2 分）分） （11）3 （12）(0,1) （13） 1 10n； (1) 2 n n （14） 12 （15）（注：只写或得 3 分） 三、三、解
12、答题（共解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8585 分）分） （16） （本小题 14 分） 解： 选择选择 （）在ABC中，因为 2a ，10c ，4b， 由余弦定理得 222222 24102 cos 22224 abc C ab （）（） ， 因为(0, )C，所以 2 2 sin1 cos 2 CC 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D A A B D C D - 6 - 所以 112 sin242 222 SabC （）在ABC中，ABC 所以 2 sin()sin 2 ABC 选择选择 （）因为 5 cos 5 B ， (0, )B，所以 2 2
13、 5 sin1 cos 5 BB 因为2a ，10c ，所以 112 5 sin2102 225 SacB （）因为2a ，10c ， 5 cos 5 B ， 由 222 2cosbacacB，得 222 5 2102210()16 5 b （） （）， 解得4b， 由 sinsin bc BC ，解得 2 sin 2 C ， 在ABC中，ABC， 2 sin()sin 2 ABC 选择选择 依题意，A为锐角，由 10 sin 10 A 得 2 3 10 cos1 sin 10 AA 在ABC中，因为 2a ，10c ， 3 10 cos 10 A ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA
14、，得 222 3 10 210210 10 bb ()() 解得2b或4b （）当2b时， 1110 sin2101 2210 SbcA 当4b时， 1110 sin4102 2210 SbcA - 7 - （）由2a ，10c ， 10 sin 10 A， sinsin ac AC ，得 2 sin 2 C 在ABC中，ABC， 2 sin()sin 2 ABC （17）（本小题 14 分） 解： （）从所有参与调研的人共有300人，不满意的人数是25 5 1040 记事件D为“从所有参与调研的人中随机选取1人此人不满意” ，则所求概率为 402 ()= 30015 P D. （）记事件M为
15、“从参与调研的青年人中随机选取1人，此人满意” ，则 603 ()= 1407 P M; 记事件N为“从参与调研的中年人中随机选取1人，此人满意” ，则 707 ()= 10010 P N； 则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取1人，恰有1人满意”的概率为 ()()()()()P M NMNP MP NP MP N 373737 =1)1) 71071070 ( （）这种抽样不合理。 理由：参与调研的60名老年人中不满意的人数为20，满意和一般的总人数为 50xy， 说明满意度之间存在较大差异， 所以从三种态度的老年中各取2人不合理。 合理的抽样方法是采用分层抽样，根据x，y，10的具体数
16、值来确定抽样数值。 （18） （本小题 14 分） 证明： （）取PA中点F，连接EF，BF，因为E为PD中点，F为PA中点， 所以/EFAD，且 1 2 EFAD 又因为/BCAD，且 1 2 BCAD 所以/EFBC，且EFBC 所以四边形BCEF为平行四边形， 所以/CEBF， 因为CE平面,PAB BF 平面PAB 所以 / CE平面PAB. （）因为PB 平面ABCD，AD 平面ABCD 所以PBAD 又因为, / ABBC ADBC F B C E DA P - 8 - 所以ADAB， 又ABPBB，ABPB、平面PAB 所以ADPAB 平面. （）因为PB 平面ABCD，AB B
17、C、平面ABCD 所以,PBAB PBBC，又ABBC， 以B为原点，如图建立空间直角坐标系Bxyz， 1 1 (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0),(1,0,0),(1, ) 2 2 BPACE 所以 1 1 (0,0,1),(1, 1,0),(0, ) 2 2 BPACCE 已知平面ACD的一个法向量(0,0,1)BP ； 设平面ACE的法向量( , , )nx y z，则 0 0 n AC n CE ，即 0 11 0 22 xy yz ，令1x ，则1,1yz ； 所以平面ACE的一个法向量为(1,1, 1)n 所以 3 cos, 3 BP n BP n BP n 由图可
18、知二面角EACD为锐角，所以二面角EACD的余弦值为 3 3 . （19）（本小题 14 分） 解： （）依题意得21ab， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 22 3cab，离心率的大小 3 2 c e a （）因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数， 设M，N坐标为(0,)m，(0, )n，则 1 n m ，0,0mn x y z B C E DA P - 9 - 由(2,0)A，M(0,)m得直线AM的方程为mx m y 2 2 2 1 4 2 x y m yxm 整理得02) 1( 22 myym 或0444) 1( 2222 mxmxm 得交点P的纵坐标为 1
19、2 2 m m yP 同理交点Q的纵坐标为 1 2 1) 1 ( 1 2 1 2 2 2 2 m m m m n n yQ 所以0 QP yy，直线PQ与x轴平行 解法二： 设直线AM的方程为)0(2ttyx，直线AN的方程为)0(2ssyx 令0x 得2 M ty，M坐标为 2 (0,) t ，同理N坐标为 2 (0,) s 因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以4st 2 2 1 4 2 x y xty 整理得04)4( 22 tyyt或041616)4( 222 txxt 得交点P的纵坐标为 4 4 2 t t yP 同理得 4 4 4) 4 ( 4 4 4 4 2 2
20、 2 t t t t s s yQ 所以0 QP yy，直线PQ与x轴平行. 解法三： 设直线AM的方程为0)2( 11 kxky，直线AN的方程为0)2( 22 kxky， 令0x 得M坐标为 1 (0, 2 )k，同理N坐标为 2 (0, 2)k - 10 - 因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以14 21 kk 代入椭圆方程得 2 2 1 1 4 (2) x y yk x 041616) 14( 2 1 2 1 2 2 1 kxkxk或04) 14( 1 2 2 1 ykyk 14 416 2 2 1 2 1 k k xP所以 14 28 2 1 2 1 k k xP
21、 得交点P的纵坐标为 14 4 )2 14 28 ( 2 1 1 2 1 2 1 1 k k k k kyP 同理得 14 4 1) 4 1 4( 4 1 4 14 4 2 1 1 2 1 1 2 2 2 k k k k k k yQ 所以0 QP yy，直线PQ与x轴平行. （20） （本小题 15 分） 解： （） 2 ( )62fxxax 由(0)0 f ，(0)2f，得 曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为2y （）定义域为 R R， 2 ( )6223fxxaxxxa 令( )0fx，解得 12 0, 3 a xx 若0a， 2 ( )60fxx，( )f x在R上单调
22、递增； 若0a，在,0上，( )0fx，( )f x单调递增，在(0, ) 3 a 上，( )0fx，( )f x 单调递减，在, 3 a 上，( )0fx，( )f x单调递增； 若0a，, 3 a 上，( )0fx，( )f x单调递增，在( ,0) 3 a 上，( )0fx，( )f x 单调递减，在0,上，( )0fx，( )f x单调递增； - 11 - （）若0a，函数( )f x的单调减区间为0, 3 a ，单调递增区间为(,0), 3 a . 当1 3 a 时，即3a，由（）知，( )f x在 1,0上单调递增，在0,1上单调递减， 则 max ( )max|( 1)|,|(0
23、)|,|(1)|max ,2,|4|3g xfffaa 当1 3 a 时，即03a，( )f x在 1,0和,1 3 a 上单调递增，在0, 3 a 上单调递减， ( )f x在 3 a x 处取得极小值 3 ( )20 327 aa f 则 max ( )max|( 1)|,|(0)|,|(1)|max ,2,4g xfffaa， 若 max ( )3g x，则43a，即01a 综上，实数a的取值范围为0,13, （21） （本小题 14 分） 解： （）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数 1 325P ； 经第2次拓展后的项数 2 549P . （）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中
24、增加一项， 由数列经第n次拓展后的项数为 n P，则经第1n次拓展后增加的项数为1 n P ， 所以 1 (1)21 nnnn PPPP 所以 1 1222(1) nnn PPP ， 由（）知 1 14P ， 11 14 22 nn n P 所以 1 21 n n P ， 由 1 212020 n n P ，即 1 22019 n ，解得10n 所以n的最小值为 10 （）设第n次拓展后数列的各项为 123 , m a a a aac 所以 123nm Saaaaac 因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， - 12 - 所以 11112223 ()()()() nmm Saaaaaaaaaaacc 即 112 23332 nm Saaaac 所以 1 3() nn SSac ， 1 3() 22 nn acac SS 得 1 1 () 3 22 n n acac SS 由 1 232Sabc，则() 3 22 n n acac Sb 若使 n S为等比数列，则 0 2 0 2 ac ac b 或 0 2 0 2 ac b ac 所以，a，b，c满足的条件为 0 0 ac b 或者 20 0 bac b
